☉江蘇省江陰市華西實驗學(xué)校 孫小林

培養(yǎng)學(xué)生解題反思習(xí)慣，提升學(xué)生思維能力

☉江蘇省江陰市華西實驗學(xué)校 孫小林

著名數(shù)學(xué)教育家喬治·波利亞說過：“數(shù)學(xué)問題的解決，僅僅是解決了一半，而更重要的是解題之后的回顧與反思.”當(dāng)代建構(gòu)主義學(xué)說認為：“學(xué)生必須在活動中進行建構(gòu)，必須在自己的學(xué)習(xí)過程中不斷進行反省、概括和抽象.”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生通過解題后反思，就會有“既見樹木，又見森林”的學(xué)習(xí)效果.但在解題過程中，學(xué)生往往不注重反思，或由于缺少教師的具體指導(dǎo)，不知道反思什么，該怎么反思？在教師要求下所謂的反思也只停留在把解題過程重新理解一遍，達不到知識內(nèi)化的效果.在解題反思的內(nèi)容上，教師可以從以下幾個角度入手，給學(xué)生指明反思的方向.

一、對思維過程進行反思，培養(yǎng)思維的嚴謹性

思維的嚴謹性是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特點，它要求數(shù)學(xué)結(jié)論的敘述必須精練、準(zhǔn)確，而對結(jié)論的推理論證和系統(tǒng)安排都要求既嚴格又周密.在教學(xué)過程中，教師要不失時機地抓住學(xué)生在解題過程中由于思維不精確、對概念理解不深刻、考慮問題不全面而導(dǎo)致的結(jié)果，有目的地啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生對解題結(jié)果的正誤進行反思，從反思中鑒別結(jié)果的真?zhèn)?，尋找產(chǎn)生錯誤的原因，從而得出正確的解答.

例1如圖1，若點M是x軸正半軸上任意一點，過點M作PQ∥y軸，分別交函數(shù)0）的圖像于點P和Q，連接OP和OQ.則下列結(jié)論正確的是（）.

圖1

此題很多學(xué)生選擇了B，筆者就讓選B的同學(xué)說出解題過程.

這時有學(xué)生說D也對，且說出了理由.接下來筆者就讓學(xué)生反思交流，這時選B的同學(xué)立刻意識到這時筆者再引導(dǎo)學(xué)生進一步反思，能否秒殺說明B錯誤，這時學(xué)生紛紛舉手，筆者明白學(xué)生通過反思意識到y(tǒng)=的圖像在第四象限，因此k2為負，所以為負，因此B成立.這時筆者再次引導(dǎo)選B的同學(xué)反思，有沒有思考D顯然正確？學(xué)生回答看到B，覺得對，就選B了，這時筆者再次讓同學(xué)反思，做選擇題不要看到前面覺得對，后面選項看都不看就直接選，應(yīng)該4個選項都要仔細斟酌，這是做選擇題的技巧.

通過這樣對解題過程的反思能讓學(xué)生意識到解題的哪個環(huán)節(jié)出現(xiàn)了問題，為什么會出現(xiàn)這樣的問題，這樣反復(fù)地引導(dǎo)學(xué)生思考，通過學(xué)生的合作、交流，尋求正確的結(jié)果，顯然比老師直接給出解答更有價值.長期加以訓(xùn)練，不僅有利于學(xué)生對基本知識的進一步理解和鞏固，對于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴謹性也是十分有益的.

二、引導(dǎo)學(xué)生對所涉及的數(shù)學(xué)思想進行反思

在解題時如先思考題目特征，尋求基本思想方法，或在每一次解題后，都對自己的思路作出評價，對解題過程中反映的數(shù)學(xué)思想與方法進行總結(jié)、概括，這樣長此以往，不僅能鞏固知識，避免解題錯誤.還可以把解決問題的數(shù)學(xué)思想方法及對問題的再認識轉(zhuǎn)化為一個學(xué)習(xí)過程，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)思維的能力，達到融會貫通的境界.學(xué)生就會慢慢地形成自己的數(shù)學(xué)思想和獨立的思維方式，從而提高數(shù)學(xué)素質(zhì).

例2如圖2，小明在操場上從A點出發(fā)，沿直線前進10米后向左轉(zhuǎn)40°，再沿直線前進10米后，又向左轉(zhuǎn)40°，…，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點時，一共走了_____米.

圖2

此題培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力和感悟化歸思想.學(xué)生將未知的內(nèi)角轉(zhuǎn)化為已知角（180°-40°=140°），在方程思想的幫助下獲得正確答案：（n-2）×180°=140°×n，解得n=9，小明一共走了90米.有的學(xué)生立足于多邊形的外角和是360°，給出答案：360°÷40°=9，這是整體到局部的思想，優(yōu)化思維建構(gòu)，解題思想方法由抽象到具體，由簡單到深刻，深化解題認識，培養(yǎng)解疑能力.

若使y=k成立的x值恰好有四個，則k的取值范圍為__________.

圖3

本題想到用數(shù)形結(jié)合的思想就成功了一半.接下來作出對應(yīng)函數(shù)的圖像（如圖3）即可.縱觀近年來的中考試題，巧妙運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)”使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機結(jié)合，運用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計算與推理，大大簡化了解題過程.這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要爭取胸中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野.

不斷反思，積累發(fā)現(xiàn)，探索規(guī)律題往往可用歸納猜想的思想；解應(yīng)用題時，可利用設(shè)元、消元思想；解一些最優(yōu)化類題時，往往可用函數(shù)、方程、不等式的思想；在求一些函數(shù)解析式時，往往可用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、待定系數(shù)的思想等.因此，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是知識的精髓，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.

三、引導(dǎo)學(xué)生對解題活動中有聯(lián)系的問題進行反思

例4（1）如圖4，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，AE、BF交于點O，∠AOF=90°.求證：BF=AE.

圖4

圖5

（2）如圖5，正方形ABCD的邊長為12，將正方形沿MN折疊，使點A落在DC邊上的點E處，且DE=5，求折痕MN的長.這是我校月考試卷中的題目.第一問基本都會，第二問很多同學(xué)一籌莫展，毫無思路.但是如果從第一問提煉出正方形ABCD中AE⊥BF，則有BF=AE，在圖5中試著尋找有沒有互相垂直的線段，學(xué)生立刻發(fā)現(xiàn)由折疊可知AE⊥MN，因此茅塞頓開，MN=AE，易求得AE=所以

圖6

（1）直接寫出點A、B的坐標(biāo)，并求直線AB與CD的交點E的坐標(biāo).

（2）動點P從點C出發(fā)，沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動；同時，動點N從點A出發(fā)，沿線段AO以每秒1個單位長度的速度向終點O運動，過點P作PH⊥OA，垂足為H，連接NP.設(shè)點P的運動時間為t秒.

①若△NPH的面積為1，求t的值；

②點Q是點B關(guān)于點A的對稱點，問：BP+PH+HQ是否有最小值？如果有，求出相應(yīng)的點P的坐標(biāo)；如果沒有，請說明理由.

此題是我校初二期中考試的壓軸題，第（1）問許多學(xué)生做不出來，其實是求BP+PH+HQ有最小值.連接PB，CH，則四邊形PHCB是平行四邊形.所以BP=CH.所以BP+ PH+HQ=CH+HQ+2.當(dāng)點C、H、Q在同一直線上時，CH+ HQ的值最小.因為點C、Q的坐標(biāo)分別為（0，2）、（-6，-4），所以直線CQ的解析式為y=x+2.所以點H的坐標(biāo)為（-2，0）.因此點P坐標(biāo)為（-2，2）.BP+PH+HQ中PH=CO= 2，故只需求BP+HQ的最小值.注意到PH∥BC，且PH= BC，從而可將BP平移至CH，轉(zhuǎn)化為求CH+HQ的最小值，利用“兩點之間，線段最短”知，當(dāng)C、H、Q三點共線時，CH+HQ=CQ最小.

其實本題的原型題為：如圖7，要在一條河上架一座橋MN（河的兩岸互相平行，橋與河岸垂直），在何處建橋，使得E、F兩地的路程最短，作出圖形.

學(xué)生只要將所求與此題勾連，就會豁然開朗，順利求解.

這樣的解題反思就可以達到會一個、會一片的目的，真正做到融會貫通、舉一反三.

圖7

四、引導(dǎo)學(xué)生對解題的結(jié)果進行反思

例6因式分解4a2-64.

往往學(xué)生會得出這樣的結(jié)果4a2-64=（2a+8）（2a-8），很顯然，2a+8和2a-8中均沒有把公因式2提取出來，正確解法應(yīng)為4a2-64=4（a+4）（a-4），如果解完題反思一下有沒有公因式，再反思一下因式分解的一般步驟，先提取公因式，再用公式法，結(jié)果應(yīng)是分解到不能再分解為止，這樣解題的正確率就會大大提高，而且可以培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴謹性.

很多同學(xué)得出的結(jié)果是a<3，此題學(xué)生只要對結(jié)果a<3稍微反思一下就知道當(dāng)a=0時分式的值為0，所以正確的結(jié)果應(yīng)為a<3且a≠0，再反思由為正，所以為負，又a2≥0，所以滿足a≠0且2a-6＜0，從而得出正確答案.

五、引導(dǎo)學(xué)生進行一題多解、一題多變，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維及創(chuàng)新能力

例8蘇科版課標(biāo)教材九年級上冊“4.3用一元二次方程解決問題”，問題1：如圖8，一塊長方形鐵皮的長是寬的2倍，四角各截去一個正方形，制成高5cm，容積是500cm3的無蓋長方體容器，求這塊鐵皮的長和寬.這是一道一元二次方程應(yīng)用題，在學(xué)生掌握了一定的代數(shù)基本知識的背景下，我們可以考慮讓學(xué)生的思維發(fā)散，或改變一下思維方式.在這樣的理念之下，可以將原題進行如下改編：

圖8

如圖9，一塊長方形鐵皮的長是寬的2倍.

（1）你能通過適當(dāng)?shù)募羝凑郫B，把它制作成一個無蓋的長方體盒子嗎？請畫出示意圖，并作簡要的文字說明.

圖9

（2）若制成高5cm，容積是500cm3的無蓋長方體容器.求這塊鐵皮的長和寬.

這樣的改編，弱化了條件，“逼”著學(xué)生把制作的“活動經(jīng)驗”體現(xiàn)出來，學(xué)生有的實踐操作，有的抽象思考.無論通過什么方式，只有在四個角上截去相同的正方形才能解決問題.這樣原問題變得目標(biāo)指向多元化、價值擴大化，從而提高了課堂的深度和廣度.

如果我們再把長方形改成正方形、正三角形和正五邊形，分別通過剪拼得到直四棱柱模型、直三棱柱模型、直五棱柱模型，經(jīng)過這樣的改編，學(xué)生對解決2013年無錫市中考最后一題，就有點似曾相識了，解決起來就相對順利不少.

附2013年無錫市中考試卷第28題：下面給出的正多邊形的邊長都是20cm.請分別按下列要求設(shè)計一種剪拼方法（用虛線表示你的設(shè)計方案，把剪拼線段用粗黑實線，在圖中標(biāo)注出必要的符號和數(shù)據(jù)，并作簡要說明）.

（1）將圖10中的正方形紙片剪拼成一個底面是正方形的直四棱柱模型，使它的表面積與原正方形的面積相等；

（2）將圖11中的正三角形紙片剪拼成一個底面是正三角形的直三棱柱模型，使它的表面積與原正三角形的面積相等；

（3）將圖12中的正五邊形紙片剪拼成一個底面是正五邊形的直五棱柱模型，使它的表面積與原正五邊形的面積相等.

圖10

圖11

圖12

此題還可以繼續(xù)推廣：長為α的正n邊形，折疊成直n棱柱，并使其表面積與原正多邊形的面積相等，折疊后的直n棱柱的底面邊長為，高為

通過對數(shù)學(xué)問題的一題多變，提供適當(dāng)?shù)闹R鋪墊，向?qū)W生展示知識的發(fā)生、形成及發(fā)展的過程，能讓學(xué)生體會到知識是如何從已有知識中逐漸演變或發(fā)展而來的，從而理解知識的來龍去脈，形成一個知識網(wǎng)絡(luò).將這種有層次推進的變式用于概念形成、問題解決和構(gòu)建活動經(jīng)驗系統(tǒng)，可以幫助學(xué)生融會貫通，構(gòu)建起良好的知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)靈活解決問題的能力，避免反復(fù)的機械性訓(xùn)練，同時又讓學(xué)生領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的和諧、奇異與美妙，使他們自發(fā)地投入到學(xué)習(xí)中去，真正成為學(xué)習(xí)的主人.

解法一：整體法，①+②得2x+2y=2-3a，所以x+y=.又因為x、y的和是負數(shù)，所以

通過解法一和解法二的比較，學(xué)生明顯感覺解法二簡單.我們平時鼓勵學(xué)生做完一道題多想想還有沒有別的解法，這樣就可以培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)確理解和靈活運用數(shù)學(xué)規(guī)律及方法，也可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，正所謂“條條大路通羅馬”，要想得到正確的答案，可以有很多途徑，但是方法有好有壞，老師引導(dǎo)學(xué)生進行橫向和眾向的比較，進行解題的再反思，可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維，那么也就真正意義上實現(xiàn)了授之以魚不如授之以漁.

通過一題多解或一題多變，每一種解法變法可能用到不同章節(jié)的知識，這樣一來可以復(fù)習(xí)相關(guān)知識.掌握不同解法技巧，同時每一種解法又能解很多道題，然后比較眾多解法中對這一道題哪一種最簡捷，最合理？把本題的每一種解法和結(jié)論進一步推廣，同時既可看到知識的內(nèi)在聯(lián)系、巧妙轉(zhuǎn)化和靈活運用，又可梳理出推證恒等式的一般方法和思路：從左到右、從右到左、中間會師、轉(zhuǎn)化條件等，善于總結(jié)，掌握規(guī)律，探求共性，再由共性指導(dǎo)我們?nèi)ソ鉀Q碰到的這類問題，問題便會迎刃而解.

六、反思題目錯解問題，學(xué)會錯題歸類，建立錯題檔案，提高解題能力

例10已知⊙O1與⊙O2的半徑分別為R1和R2，且R1和R2是方程x2-4x+3=0的兩根，且圓心距d=6，則兩圓的位置關(guān)系為（）.

A.相交B.內(nèi)含C.外離D.不能確定

錯解：因為R1和R2是方程

x2-4x+3=0的兩根，故由根與系數(shù)的關(guān)系可得R1+R2=8.因為圓心距d=6<8，所以⊙O1與⊙O2相交，故選A.

錯因：對兩圓的五種位置關(guān)系理解不深，錯把d＜R+r作為兩圓相交的條件.

綜上所述，解題反思是習(xí)題資源再生的催化劑.如果學(xué)生在每次解題以后都能對自己的思路作出自我評價，探討成功的經(jīng)驗或失敗的教訓(xùn)，那么學(xué)生的思維就會在更高的層次上進行概括，并進入理性認識階段.有助于學(xué)生弄清問題的實質(zhì)，促進知識的有效遷移，提高解題的效率和準(zhǔn)確率.持續(xù)不斷的解題反思，學(xué)生解決問題的能力一定會增強，最后會有更強的超越所給定的信息而發(fā)現(xiàn)新信息的能力.解題反思使人的注意從問題本身轉(zhuǎn)移到自身的加工過程，因而解題反思是優(yōu)化思維，培養(yǎng)創(chuàng)造性人才的有效途徑.解題后反思是一種習(xí)慣和意識，它的形成要靠教師正確、長期的示范和引導(dǎo)，需要教師在教學(xué)中注意解題后的“停頓”和“留步”，養(yǎng)成反思習(xí)慣，變“學(xué)會知識”為“學(xué)會學(xué)習(xí)”，并將這種反思習(xí)慣推廣到廣泛的學(xué)習(xí)與生活中去，形成反思能力.

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