☉浙江省紹興市柯橋區(qū)平水鎮(zhèn)中 沈岳夫

細(xì)研試題構(gòu)作圖形尋找突破
——例談最值問題求解的若干策略

☉浙江省紹興市柯橋區(qū)平水鎮(zhèn)中 沈岳夫

綜觀2015年的各地中考試卷，發(fā)現(xiàn)諸多有關(guān)求最值的試題，這類試題因其涉及的知識(shí)面廣，如角、三角形、四邊形、圓、直角坐標(biāo)系等知識(shí)與函數(shù)圖像相結(jié)合，背景豐富，表現(xiàn)形式靈活，備受命題者青睞，是中考的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)，同時(shí)更是使學(xué)生頗感困惑的拉分題.由于命題者的精心打造，使試題不斷更新、富有創(chuàng)意.但筆者通過研究發(fā)現(xiàn)，這些問題還是萬變不離其宗，存在一定的解題規(guī)律與技巧，往往可以通過添加輔助線，構(gòu)造適當(dāng)?shù)膱D形，則能化難為易，打破解此類最值問題的突破口.現(xiàn)采擷幾例，總結(jié)出解決最值問題的若干種常用方法或技巧，以期達(dá)到拋磚引玉的效果.

一、策略1——以“確定動(dòng)點(diǎn)位置，添作平行線”為突破口

圖1

例1（2015年四川樂山卷）如圖1，已知直線y=

解析：如圖2，作直線l1∥l2∥AB，且直線l1與⊙C相切，切點(diǎn)為點(diǎn)D，直線l2經(jīng)過圓心C.

因?yàn)辄c(diǎn)P是⊙C上的一動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)D處時(shí)，此時(shí)△PAB的面積最大.由題意易得點(diǎn)A（4，0），B（0，-3），所以O(shè)A=4，OB=3，進(jìn)而求得AB=5.

圖2

設(shè)點(diǎn)C到AB的距離為h1，若連接AC，則BC×sin∠ABO=AB×h1，即，解得.又因?yàn)橹本€l1與直線l2之間的距離h2=1，所以直線l1上的點(diǎn)到AB的距離h=h1+h2=所以S△ABC=.故選C.

點(diǎn)評(píng)：動(dòng)點(diǎn)問題是中考的熱點(diǎn)題，?？汲Ｐ?解答此題有兩處難點(diǎn)：一是確定動(dòng)點(diǎn)P的位置，二是添作平行線，計(jì)算出點(diǎn)P到AB的最大距離.由于點(diǎn)P在⊙C上運(yùn)動(dòng)，且要使△PAB的面積最大，所以想到作直線l1∥AB，與⊙C相切于D點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)D時(shí)，到AB的距離最大，這樣就打開了解題的突破口.關(guān)鍵是最大距離h需分兩段求解，當(dāng)計(jì)算點(diǎn)C到AB的距離h1時(shí)，應(yīng)運(yùn)用面積法則顯得較為簡捷，接下來自然想到平行線之間距離處處相等，可得h2=1，進(jìn)而求得h的長，從而使問題迎刃而解.當(dāng)然如果熟知點(diǎn)到直線的距離公式的話，不用面積法，也可直接求出h1的長.

二、策略2——以“找準(zhǔn)兩定一動(dòng)，作一次軸對稱”為突破口

例2（2015年四川涼山州卷）菱形OBCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖3所示，頂點(diǎn)B（2，0），∠DOB=60°，點(diǎn)P是對角線OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E（0，-1），當(dāng)EP＋BP最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為________.

解析：連接ED，如圖4.因?yàn)樗倪呅蜲BCD是菱形，所以點(diǎn)B、點(diǎn)D關(guān)于OC對稱，所以DP=BP.

要使EP＋BP最短，即EP＋DP最短，只有當(dāng)點(diǎn)D、P、E在一直線上，EP＋DP最短，即為DE的長.

圖3

圖4

點(diǎn)評(píng)：此題是求兩條折線段最小值問題，屬于“馬飲水模型”的經(jīng)典問題，只是命題教師動(dòng)足了腦筋，融入了一次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，使試題難度增大.解題時(shí)應(yīng)抓住兩個(gè)“定點(diǎn)”（即點(diǎn)B、點(diǎn)E）、一個(gè)“折點(diǎn)”（動(dòng)點(diǎn)P）為切入口.當(dāng)折點(diǎn)P在對角線OC上移動(dòng)，作定點(diǎn)B關(guān)于折點(diǎn)P所在直線OC的對稱點(diǎn)D是解題的關(guān)鍵，達(dá)到“化同為異”的目的.當(dāng)P點(diǎn)的位置確定以后，根據(jù)題意，把問題轉(zhuǎn)化為求直線OC、直線ED的交點(diǎn)坐標(biāo)，至此解題思路已柳暗花明，細(xì)心計(jì)算即可求得答案.

三、策略3——以“由旋轉(zhuǎn)證垂直，補(bǔ)輔助圓尋軌跡”為突破口

例3（2015年湖北武漢卷）如圖5，△ABC、△EFG均是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC、EF的中點(diǎn)，直線AG、FC相交于點(diǎn)M.當(dāng)△EFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段BM長的最小值是（）.

圖5

圖6

解析：如圖6，連接AD、DG.由題意知AD=DG，DC= DF，則△DAG和△DCF都是等腰三角形.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)，可知∠ADG=∠CDF=α，則∠DAG=∠DCF=90°-90°，故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡始終在以AC為直徑的圓上.

現(xiàn)以AC為直徑作圓，設(shè)圓心為O，連接BO與⊙O相交于點(diǎn)P，則線段BP的長即為線段BM長的最小值.由圖形可知，BP=BO-PO=，故選D.

點(diǎn)評(píng)：此題屬于旋轉(zhuǎn)問題，除了能靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)知識(shí)外，解答本題有兩處難點(diǎn)：首先，應(yīng)借助旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證出∠AMC=90°，這是制勝的關(guān)鍵一步，然后發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M始終在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)；其次，當(dāng)作出以AC為直徑的輔助圓時(shí)，應(yīng)依據(jù)“圓外一點(diǎn)與圓上各點(diǎn)連線中，到過該點(diǎn)和圓心的直線與圓的近交點(diǎn)距離最短、遠(yuǎn)交點(diǎn)距離最長”才是確定BM長的最小值的關(guān)鍵.可見，構(gòu)造出輔助圓，能挖掘出圖形隱含的性質(zhì)，從而使題設(shè)和結(jié)論的邏輯關(guān)系明朗化.

四、策略4——以“旋轉(zhuǎn)作出最大圖，構(gòu)造三角形”為突破口

例4（2015年浙江臺(tái)州卷）如圖7，正方形ABCD的邊長為1，中心為點(diǎn)O，有一邊長大小不定的正六邊形EFGHIJ繞點(diǎn)O可任意旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，這個(gè)正六邊形始終在正方形ABCD內(nèi)（包括正方形的邊），當(dāng)這個(gè)六邊形的邊長最大時(shí)，AE的最小值為_________.

圖7

圖8

由題意知，不論正六邊形EFGHIJ怎樣旋轉(zhuǎn)，總存在△AOE，使AO-OE≤AE≤AO+OE（當(dāng)O、A、E三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立），所以當(dāng)O、A、E三點(diǎn)共線時(shí)，AE的長度最小，其最小值為

點(diǎn)評(píng)：本題以正方形為背景，將正六邊形及圖形旋轉(zhuǎn)融于一體，考查了學(xué)生對圖形的觀察、識(shí)別、轉(zhuǎn)化及探究能力.因?yàn)槿魏芜\(yùn)動(dòng)中或多或少存在著“數(shù)”的關(guān)系或“形”的不變性，因此解答此類問題的關(guān)鍵是抓住圖中線段AO、OE的不變量，將求AE的最小值轉(zhuǎn)化為“三角形模型”，然后對AE與AO-OE進(jìn)行比較，只有當(dāng)O、A、E三點(diǎn)共線時(shí)，AE的長度最小.

五、策略5——以“抓住一定兩動(dòng)，作兩次軸對稱”為突破口

例5（2015年湖北鄂州卷）如圖9，∠AOB=30°，點(diǎn)M、N分別是射線OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，OP平分∠AOB，且OP=6，當(dāng)△PMN的周長取最小值時(shí)，四邊形PMON的面積為_______.

圖9

圖10

解析：此題屬于“一定點(diǎn)”+“兩動(dòng)點(diǎn)”，化“折線”為“直線”，依據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”.我們先看折線段P—M—N，因?yàn)镻為定點(diǎn)，M為動(dòng)點(diǎn)，N為動(dòng)點(diǎn)，此時(shí)只要作定點(diǎn)P關(guān)于動(dòng)點(diǎn)M所在直線OA的對稱點(diǎn)P1（如圖10）.同理，可作定點(diǎn)P關(guān)于動(dòng)點(diǎn)N所在直線OB的對稱點(diǎn)P2，這樣將折線段PM+MN+NP轉(zhuǎn)化為折線段P1M+MN+NP2，所以當(dāng)P1M、MN、NP2在一條直線上時(shí)，P1M+MN+NP2最小，即△PMN的周長最小.

根據(jù)題意及作圖，可知△P1OP2是正三角形，∠OP1P=∠OPP1=75°，∠MP1P=∠MPP1=15°，∠OPM=75°-15°=60°.由于MN⊥OP，所以△PCM是直角三角形.設(shè) PM=a，則CM=

作OM的中垂線DE分別交OA、OB于D、E點(diǎn).連接EM，則EM=OE，∠MEC=30°.所以.因?yàn)镺E+EC+CP=OP，所以解得a=6（2-.所以MN=2CM=.所以

點(diǎn)評(píng)：一般地，當(dāng)通過作軸對稱或翻折以后，能得到一些特殊角，如45°、60°、90°、120°等，可運(yùn)用“兩點(diǎn)之間線段最短”求解.此題已知△PMN的周長取最小值時(shí)，直接求四邊形PMON的面積較為困難，因此，首先，進(jìn)行轉(zhuǎn)化——作圖，即通過作兩次軸對稱變換，改變線段的位置，優(yōu)化圖形的結(jié)構(gòu)，把三條線段“展開來”，然后再“接起來”成“三折線”；其次，計(jì)算，要根據(jù)條件挖掘出一些隱含的信息，如∠OPM=60°，MN⊥OP等會(huì)給計(jì)算帶來便捷.當(dāng)然求OC時(shí)，如果熟記tan15°的三角函數(shù)值，就可以不作中垂線DE，直接用tan15°=，求出OC的長，進(jìn)而獲解.

六、策略6——以“定線旋轉(zhuǎn)顯軌跡，確定位置畫出圖”為突破口

例6（2015年廣東梅州卷）在Rt△ABC中，∠A= 90°，AC=AB=4，D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn).若等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α≤180°），記直線BD1與CE1的交點(diǎn)為P.

（1）如圖11，當(dāng)α=90°時(shí)，線段BD1的長等于______，線段CE1的長等于_______；（直接填寫結(jié)果）

（2）如圖12，當(dāng)α=135°時(shí)，求證：BD1=CE1，且BD1⊥CE1；

（3）①設(shè)BC的中點(diǎn)為M，則線段PM的長為________；

②點(diǎn)P到AB所在直線的距離最大值為_______.（直接填寫結(jié)果）

圖11

圖12

（2）證明略.

②因?yàn)镽t△ADE是繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所以D1、E1在以A為圓心，AD為半徑的圓上.當(dāng)BD1所在直線與⊙A相切時(shí)（如圖13），直線BD1與CE1的交點(diǎn)P到直線AB的距離最大，根據(jù)前面積累的經(jīng)驗(yàn)，易知四邊形AD1PE1是正方形.

過點(diǎn)P作PG⊥AB，交AB所在直線于點(diǎn)G.在 Rt△ABD1中，易求BD1=進(jìn)而求得∠ABP=30°.由于四邊形AD1PE1是正方形，所以PD1=AD1= 2，所以故點(diǎn)P到AB所在直線的距離最大值為

圖13

點(diǎn)評(píng)：本題第（3）問中的第②小題，由于Rt△ADE是繞點(diǎn)A（定點(diǎn)）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，會(huì)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D的軌跡不變，即在以A為圓心，AD為半徑（定長）的圓上運(yùn)動(dòng)，所以要使點(diǎn)P到直線AB的距離最大，只有當(dāng)BD1所在直線與⊙A相切才滿足題意.因此，解答此類問題，如果在“數(shù)”的關(guān)系上難以突破，那么不妨在“形”上深入觀察、分析、思考，畫出圖形，逐步確定要求的結(jié)論，從而構(gòu)造出直角三角形，成為打開解題突破口的關(guān)鍵圖形.

七、策略7——以“遇幾何體化平圖，畫出路徑作比較”為突破口

例7（2015年浙江金華卷）圖14，圖15為同一長方體房間的示意圖，圖16為該長方體的表面展開圖.

（1）蜘蛛在頂點(diǎn)A′處.

①蒼蠅在頂點(diǎn)B處時(shí)，試在圖14中畫出蜘蛛為捉住蒼蠅，沿墻面爬行的最近路線；

②蒼蠅在頂點(diǎn)C處時(shí)，圖15中畫出了蜘蛛捉住蒼蠅的兩條路線，往天花板ABCD爬行的最近路線A′GC和往墻面BB′C′C爬行的最近路線A′HC，試通過計(jì)算判斷哪條路線更近？

（2）在圖16中，半徑為10dm的⊙M與D′C′相切，圓心M到邊CC′的距離為15dm，蜘蛛P在線段AB上，蒼蠅Q在⊙M的圓周上，線段PQ為蜘蛛爬行路線.若PQ與⊙M相切，試求PQ的長度的范圍.

圖14

圖15

圖16

解析：（1）①如圖17，連接A′B，線段A′B就是所求作的最近路線.

圖17

圖18

②兩種爬行路線如圖18所示，由題意可得：

（2）如圖19，連接MQ，因?yàn)镻Q為⊙M的切線，點(diǎn)Q為切點(diǎn)，所以MQ⊥PQ.所以在Rt△PQM中，有PQ2=PM2-QM2=PM2-100，當(dāng)MP⊥AB時(shí)，MP最短，PQ取得最小值，此時(shí)MP=30+20=50，所以PQ

圖19

圖20

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，MP最長，PQ取得最大值，如圖20，過點(diǎn)M作MN⊥AB，垂足為N.由題意可得PN=25，MN= 50，所以在Rt△PMN中，PM2=AN2+MN2=252+502，所以在Rt△PQM中，

點(diǎn)評(píng)：幾何體表面中的最值問題，在歷年中考試題中都有所涉及.本題看上去是一個(gè)長方體表面的路線問題，實(shí)際上是通過長方體的表面展開圖將其轉(zhuǎn)換為平面問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，同時(shí)還應(yīng)注意長方體有多種平面展開圖，因此為了求其表面上兩點(diǎn)之間的最短路徑，需要針對所有可能的情況分類討論，然后才能確定最短路線（如第（1）小題中的第②問）.除此之外，還要有數(shù)形結(jié)合的思想（如第（2）小題），結(jié)合圖形確定當(dāng)MP⊥AB時(shí)，MP最短，PQ取得最小值；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，MP最長，PQ取得最大值.真正做到以“形”助“數(shù)”，以“數(shù)”輔“形”，使代數(shù)與幾何等知識(shí)有機(jī)結(jié)合，將問題轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)的問題加以解決.

從以上諸例不難看出，最值問題一直是中考的熱點(diǎn)問題.因?yàn)閺膶W(xué)生考查的角度來看，求最值問題是一個(gè)綜合能力的考查；從內(nèi)容上來看它涉及初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)——特殊三角形、特殊四邊形、圓與勾股定理等；從方法上來說，它涉及代數(shù)式的變形與變換，數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造法，運(yùn)用公理，作輔助圓等；從能力角度來說，它要求學(xué)生有一定的分析問題、解決問題的能力，所以無論從考試角度及能力培養(yǎng)上，遇到不斷出現(xiàn)的最值方面的中考新題，應(yīng)怎樣構(gòu)造圖形，要構(gòu)造何種圖形才能打開解題的突破口，確實(shí)值得我們一線教師去不斷了解、更新和探索解決.

1.馬先龍.構(gòu)造圖形打開解中考幾何最值問題的突破口［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中版），2014（10）.

2.宋盛華.幾何體表面中的最短路徑問題解析［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2014（4）.

3.李玉榮.一組最值難題“圓”來如此容易［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（6）.

4.沈岳夫.構(gòu)造輔助圓，架起探求綜合題的橋梁［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（6）.

5.沈岳夫.細(xì)研試題構(gòu)建模型化解難點(diǎn)［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2015（4）.H