張承忠, 葉邦彥, 梁立東, 胡習(xí)之, 趙學(xué)智

(1. 華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣州 510640; 2.華南師范大學(xué) 軟件學(xué)院，廣東 佛山 528225)

基于高速攝影實(shí)驗(yàn)的小提琴琴弦三維振動(dòng)特性研究

張承忠1，2, 葉邦彥1, 梁立東1, 胡習(xí)之1, 趙學(xué)智1

(1. 華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣州 510640; 2.華南師范大學(xué) 軟件學(xué)院，廣東 佛山 528225)

小提琴弓弦之間的相互作用機(jī)理非常復(fù)雜，由于粘滑摩擦作用形成一個(gè)復(fù)雜的振動(dòng)系統(tǒng)。通過(guò)理論分析和實(shí)驗(yàn)方法，對(duì)琴弦的振動(dòng)特性進(jìn)行了研究。為了測(cè)量琴弦的三維振動(dòng)情況，設(shè)計(jì)一個(gè)基于高速攝影的非接觸式光學(xué)測(cè)量系統(tǒng)，通過(guò)在琴弦上設(shè)置一些顏色標(biāo)定點(diǎn)，拍攝拉、撥弦時(shí)琴弦的振動(dòng)圖像，得到兩種不同機(jī)制的琴弦振動(dòng)特征，包括振動(dòng)位移、速度及弦上標(biāo)定點(diǎn)的空間運(yùn)動(dòng)軌跡等。對(duì)弦上不同位置點(diǎn)的位移曲線進(jìn)行了比較，研究其振動(dòng)鋸齒波的正、逆程時(shí)間比值變化和振動(dòng)包絡(luò)線的形成過(guò)程，最后分析了影響弦振幅的因素。

弦振動(dòng)；高速攝影；亥姆霍茲運(yùn)動(dòng)；粘滑摩擦；運(yùn)動(dòng)軌跡

小提琴弓弦之間的相互作用機(jī)理非常復(fù)雜，琴弦的振動(dòng)特性直接影響其聲學(xué)品質(zhì)[1]。1862年，亥姆霍茲(Helmholtz)提出了琴弦“亥姆霍茲運(yùn)動(dòng)”；Raman[2]在1918年發(fā)表了弓拉弦振動(dòng)力學(xué)理論專著，給出了一個(gè)簡(jiǎn)化的弦振動(dòng)模型。目前，很多學(xué)者都在探索建立小提琴弦振動(dòng)的精確模型[3-6]，Vinod Kumar等[7]通過(guò)有限元方法研究了小提琴弦形狀函數(shù)，Guettler等[8]使用脈沖響應(yīng)分析弓弦多方面的聲學(xué)問(wèn)題。Debut等[9]研究了在遠(yuǎn)程位置使用結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)來(lái)識(shí)別作用在弓弦的非線性激勵(lì)力。

弓弦經(jīng)典的物理模型是Coulomb摩擦模型，但是最近的研究表明這個(gè)經(jīng)典模型過(guò)于簡(jiǎn)單，因此提出了一些改進(jìn)模型，如熱摩擦模型[10]。

通過(guò)實(shí)驗(yàn)直接測(cè)量琴弓與琴弦的相互作用而不干擾琴弦的運(yùn)動(dòng)非常困難[11]，文獻(xiàn)中鮮有這樣的研究報(bào)道。本研究設(shè)計(jì)了基于高速攝影的非接觸式三維振動(dòng)測(cè)量系統(tǒng)，通過(guò)對(duì)視頻序列圖片進(jìn)行計(jì)算機(jī)圖象處理，研究琴弦在琴弓的拉力和壓力產(chǎn)生周期振動(dòng)的振動(dòng)特性，包括位移、速度和弦上點(diǎn)的空間運(yùn)動(dòng)軌跡等。并對(duì)影響提琴音色的重要參數(shù)鋸齒波的回程時(shí)間與振動(dòng)周期的比值進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)分析和討論。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證實(shí)了琴弦的振動(dòng)形態(tài)是由亥姆霍茲描述的鋸齒三角波形，其正、逆程時(shí)間變化的規(guī)律與亥姆霍茲預(yù)言的基本一致。

1 琴弦振動(dòng)理論

1.1 亥姆霍茲運(yùn)動(dòng)

亥姆霍茲用振動(dòng)顯微鏡觀察了琴弦的常規(guī)振動(dòng)，他把琴弦的運(yùn)動(dòng)描述成一個(gè)尖角沿著拋物線包絡(luò)來(lái)回的周期運(yùn)動(dòng)，如圖1(a)所示。振動(dòng)分為弓拉弦的正程和滑動(dòng)返回的逆程兩個(gè)階段[12]。如圖1(b)所示，琴弦上的A點(diǎn)隨時(shí)間的位移曲線是鋸齒三角波，速度在時(shí)間Trt+期間保持正值Vrν+，而在t-TF期間保持負(fù)值ν-VF。亥姆霍茲的分析認(rèn)為：

TF/T=Xc/L

(1)

式中：TF是下降時(shí)間，T是振動(dòng)周期，Xc是琴碼到觀察點(diǎn)的距離，L是弦的長(zhǎng)度。

圖1 亥姆霍茲運(yùn)動(dòng)原理Fig.1 Movement principle of Helmholtz

1.2 弓弦摩擦模型

通常琴弓與琴弦之間的相互作用可以用“黏滑”摩擦模型來(lái)描述：在波形上升期間，由于靜摩擦力，琴弓與琴弦黏在一起做勻速運(yùn)動(dòng)；當(dāng)琴弦偏離中心位置后，由于弦的彈性恢復(fù)力增大，克服了靜摩擦力，琴弦就往相反的方向滑動(dòng)，這時(shí)弓弦相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度增加，摩擦力減少。

琴弦運(yùn)動(dòng)屬于摩擦振動(dòng)模型，有一個(gè)依賴于速度的摩擦系數(shù)。設(shè)琴弓與琴弦之間的摩擦力為fB(t)處的摩擦力為：

(2)

式中:υC是弓弦的相對(duì)速度函數(shù)，F(xiàn)N是琴弓的壓力，在弓弦黏著期間，存在著靜摩擦系數(shù)μ0，而對(duì)于滑動(dòng)期間有一個(gè)變化的摩擦系數(shù)μ(vc)，文獻(xiàn)[13]給出了滑動(dòng)摩擦因數(shù)：

(3)

1.3 琴弦的振動(dòng)方程

弦振動(dòng)問(wèn)題屬于自然界常見(jiàn)的振動(dòng)問(wèn)題之一。根據(jù)物理學(xué)描述，一條理想的長(zhǎng)度為L(zhǎng)、橫截面積為A的弦，弦兩端固定并且受軸向張力F而拉伸。描述弦振動(dòng)主要特征是其橫向位移y(x,t)，可由下式來(lái)描述：

(4)

式中：ρ是琴弦的密度，f(x,t)是作用在弦線上且垂直于弦的初始位置的外部激勵(lì)力。

弦的橫向振動(dòng)頻率f，即弦的基頻率為：

(5)

實(shí)際上小提琴有各種演奏技巧，琴弦可能同時(shí)受到弓的水平、垂直和軸向分力的作用。軸向分力引起的振動(dòng)比橫振動(dòng)的基音高幾個(gè)八度且振幅很小可以忽略。而琴弦受到的垂直方向與水平方向外力都作用在弦線上且垂直于弦的初始位置，所以都屬于橫向振動(dòng)的范疇，應(yīng)該滿足振動(dòng)方程(4)。因此如在f(x,t)激勵(lì)琴弦時(shí)，琴弦除產(chǎn)生水平方向位移y(x,t)外，還存在垂直方向位移z(x,t)，則描述琴弦在兩個(gè)方向外力作用下振動(dòng)規(guī)律的微分方程為：

(6)

2 琴弦三維振動(dòng)的高速攝影實(shí)驗(yàn)

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置與實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

為了測(cè)量小提琴撥弦和拉弦過(guò)程中弦的三維振動(dòng)情況，在全息照相光學(xué)平臺(tái)上設(shè)計(jì)了一個(gè)琴弦的三維振動(dòng)測(cè)量系統(tǒng)，如圖2所示。

圖2 小提琴琴弦三維振動(dòng)高速攝影實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.2 High-speed photography platform for 3D violin vibration

在小提琴琴弦上設(shè)置一些紅色標(biāo)定點(diǎn)，根據(jù)圖3的光路設(shè)計(jì)，攝影機(jī)可以直接拍攝到標(biāo)定點(diǎn)C在X-Z平面內(nèi)的振動(dòng)(攝像頭中點(diǎn)c’)。 標(biāo)定點(diǎn)C在X-Y平面的振動(dòng)則通過(guò)光路變化傳遞到攝像頭中的點(diǎn)c”而被同時(shí)記錄。通過(guò)調(diào)整平面鏡3的位置和方位，可以使攝像頭中的點(diǎn)c’與通過(guò)光路反射后的點(diǎn)c”分隔開(kāi)來(lái)，從而可以同時(shí)拍攝得到C點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)的振動(dòng)情況，然后通過(guò)對(duì)圖像進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，可以得到琴弦標(biāo)定點(diǎn)C的三維振動(dòng)數(shù)據(jù)。

圖3 小提琴琴弦三維振動(dòng)高速攝影光路設(shè)計(jì)Fig.3 Optical path design for violin 3D vibration photography

2.2 實(shí)驗(yàn)過(guò)程與數(shù)據(jù)處理

實(shí)驗(yàn)采用彼岸科儀有限公司的HiSpec LTR高速數(shù)位成像儀，其拍攝速度為18～30 000 幀/秒，拍攝畫(huà)面像素可達(dá)1280×1024，并能定義拍攝區(qū)域，通過(guò)軟件控制攝像及錄像回放。實(shí)驗(yàn)采用德國(guó)Pirastro鋼絲琴弦進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，其參數(shù)見(jiàn)表1。

實(shí)驗(yàn)分全景錄像和顯微放大拍攝，在強(qiáng)度足夠的無(wú)頻閃光源照射下，通過(guò)調(diào)整攝像機(jī)的視野和放大倍數(shù)實(shí)現(xiàn)。圖的比例可通過(guò)在測(cè)試物上貼比例尺，再根據(jù)照片上比例尺長(zhǎng)度進(jìn)行標(biāo)定。

表1 琴弦參數(shù)

拍攝前先調(diào)整平面鏡片的位置，使鏡頭內(nèi)能同時(shí)出現(xiàn)標(biāo)記紅點(diǎn)的實(shí)像和經(jīng)過(guò)平面鏡反射而成的虛像，實(shí)驗(yàn)獲取的圖片如圖4所示。其中全景拍攝選取拍攝速度為3 249 幀/秒，圖片分辨率為1 648×284，局部放大拍攝的速度為6 650 幀/秒，圖片分辨率為336×480。

對(duì)小提琴的G弦和E弦進(jìn)行拉弦和撥弦實(shí)驗(yàn)，拉弦實(shí)驗(yàn)條件為：弓速=0.250～0.5 m/s，弓壓1-3N，弓弦接觸位置離琴馬約為30 mm，50 mm。

實(shí)驗(yàn)中將高速攝像數(shù)據(jù)保存為圖片序列格式和視頻文件格式。應(yīng)用圖像和數(shù)據(jù)處理的方法[13-15]對(duì)高速攝影的圖片進(jìn)行標(biāo)定點(diǎn)坐標(biāo)的提取，標(biāo)定點(diǎn)坐標(biāo)提取的圖像處理程序包括：① 裁剪圖像提取兩個(gè)感興趣的區(qū)域(ROI)，使每個(gè)ROI包括一個(gè)標(biāo)記。② 過(guò)濾裁剪的圖像。③ 使用圓形霍夫變換提取序列圖像標(biāo)定點(diǎn)的坐標(biāo)。④ 對(duì)數(shù)據(jù)奇異值作分解處理[13]。數(shù)據(jù)提取之后在MATLAB軟件中通過(guò)編程自動(dòng)得到琴弦上標(biāo)定點(diǎn)在三個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)軌跡數(shù)據(jù)。有了位移數(shù)據(jù)，由于時(shí)間間隔是已知的，就可計(jì)算出弦上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度。

圖4 高速攝影部分圖片F(xiàn)ig.4 Several pictures obtained by high-speed photography

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 撥弦實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

圖5 撥G弦時(shí)標(biāo)定點(diǎn)的振動(dòng)曲線Fig.5 Vibration curves of mark point by plucking G string

提琴撥弦的位移數(shù)據(jù)是從上萬(wàn)張連續(xù)圖像使用上述圖像處理算法提取出來(lái)的，結(jié)果如圖5所示。當(dāng)撥弦后，琴弦標(biāo)定點(diǎn)的衰減振動(dòng)過(guò)程如圖5(a)所示。垂直方向的振動(dòng)出現(xiàn)延時(shí)。弦運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的水平位移和垂直位移曲線如圖5(b)所示，兩個(gè)方向的波形都類似簡(jiǎn)諧振動(dòng)的波形，其正、逆程時(shí)間相等。圖5(b)下面的圖是標(biāo)定點(diǎn)的空間運(yùn)動(dòng)軌跡，為近似的橢圓，隨著振動(dòng)的衰減，橢圓越來(lái)越小直至為零。該軌跡證明通常撥弦時(shí)，琴弦是作三維空間振動(dòng)的，因此僅用弦振動(dòng)式(4)來(lái)研究其振動(dòng)是不夠的，有必要用式(6)來(lái)描述琴弦的振動(dòng)特性。此外，從圖5(c)的速度曲線可以看到，撥弦振動(dòng)的速度上升比較緩慢，與拉弦的(見(jiàn)后)不同。

3.2 拉弦實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

圖6是從拉弦實(shí)驗(yàn)記錄的7 101幅序列圖像采用計(jì)算機(jī)圖像處理方法得到的。從標(biāo)定點(diǎn)Y方向的位移曲線(圖6(a))可看出，小提琴琴弦的橫向運(yùn)動(dòng)是一個(gè)近似的鋸齒三角波形，其正程上升時(shí)間較長(zhǎng)，這是因?yàn)檎虝r(shí)琴弦受較慢弓速的制約，逆程則由于受弦的回彈力和較小的弓弦滑動(dòng)摩擦力，所以快速返回。

從圖6(a)的空間軌跡可以知道，拉弦時(shí)由于弓的壓力，弦基本保持在運(yùn)弓平面內(nèi)振動(dòng)。所以通常研究時(shí)可采用攝像頭與運(yùn)弓平面垂直進(jìn)行測(cè)量，但實(shí)際上由于調(diào)整困難和拉弓的不穩(wěn)定性，加上四條弦處在不同方位，實(shí)驗(yàn)中很難保證攝像頭與運(yùn)弓平面垂直。本實(shí)驗(yàn)的特點(diǎn)在于，通過(guò)兩個(gè)方向的測(cè)量數(shù)據(jù)，可以繪出弦振動(dòng)的空間軌跡，有助于分析弦振動(dòng)的機(jī)理，同時(shí)還可根據(jù)運(yùn)弓軌跡線的傾斜程度補(bǔ)償因攝像頭與運(yùn)弓平面不垂直產(chǎn)生的幅度誤差。

圖6 拉G弦時(shí)標(biāo)定點(diǎn)的振動(dòng)曲線Fig.6 Vibration curves of mark point by bowing G string

3.3 琴弦上不同位置點(diǎn)位移波形分析

根據(jù)式(1)，距離XC和L改變時(shí)弦振動(dòng)的正逆時(shí)間會(huì)改變。實(shí)驗(yàn)通過(guò)在按壓琴弦縮短弦長(zhǎng)獲得的G弦標(biāo)定點(diǎn)的橫向振動(dòng)波形如圖7所示，可見(jiàn)由于弦長(zhǎng)縮短，鋸齒波的逆程時(shí)間相對(duì)圖6變長(zhǎng)。

圖7 縮短弦長(zhǎng)拉G弦的振動(dòng)情況Fig.7 Vibrationcurves of mark on shortened G string

圖8 G弦上不同標(biāo)定點(diǎn)的振動(dòng)波形比較Fig.8 Comparing of vibration curves for mark points

在全景視頻的圖片序列測(cè)量到的琴弦不同位置點(diǎn)的橫向位移如圖8所示。從圖可看出弦中部的點(diǎn)(5、6)的位移值較大，這是由于兩端固定的弦振動(dòng)時(shí)弦中部的變形撓度較大。弦上各點(diǎn)位移曲線的正、逆程時(shí)間如表2所示，靠近琴馬的點(diǎn)逆程時(shí)間較短，到弦的中部，正、逆程時(shí)間趨向相等。這一結(jié)論與式(1)和一些文獻(xiàn)給出的結(jié)論相同[3]。

表2 弦上各標(biāo)定點(diǎn)位移曲線周期變化

在圖8各曲線上取同一瞬時(shí)琴弦上不同位置的位移值，可描繪出某一瞬時(shí)弦的振動(dòng)軌跡，在一個(gè)周期內(nèi)取多個(gè)瞬時(shí)的數(shù)據(jù)，就可得到弦振動(dòng)一個(gè)周期的形態(tài)，圖9(a)的包絡(luò)線接近拋物線，是由各曲線的最大正負(fù)位移值繪出，它們出現(xiàn)在不同的瞬時(shí)，即我們看到的包絡(luò)線實(shí)際是由弦上不同點(diǎn)持續(xù)形成的。這說(shuō)明弦的運(yùn)動(dòng)非常復(fù)雜，特別在靠近弓弦接觸處的地方，會(huì)疊加有各種類型的振動(dòng)。

圖9 拉G弦時(shí)的振動(dòng)形態(tài)Fig.9 Vibration configuration of bowing G string

本實(shí)驗(yàn)的各種拉弓的實(shí)驗(yàn)情況結(jié)果如表3所示，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果看到，運(yùn)弓方法無(wú)論是拉弓還是推弓，弓速和弓弦接觸位置變化時(shí)，位移曲線都符合亥姆霍茲的鋸齒波形，且基本滿足式(1)。

表3 各種拉弦實(shí)驗(yàn)情況比較

3.4 影響小提琴琴弦振幅的因素

通過(guò)改變弓速、弓壓和弓弦接觸點(diǎn)的位置，研究了影響弦振幅的因素。實(shí)驗(yàn)通過(guò)在弓上添加重量提高弓壓，弦的最大振幅由拍攝照片的G弦振動(dòng)包絡(luò)線測(cè)量，如圖9(b)所示，實(shí)驗(yàn)結(jié)果歸納如下：

(1) 當(dāng)弓速度從0.25 m/s提高到0.5 m/s 時(shí)，G弦的最大振幅由6 mm增加到14 mm(弓壓保持為1.5 N)，這時(shí)提琴的聲音增大。

(2) 當(dāng)弓壓從1 N 增加到3 N時(shí)，G弦的最大振動(dòng)幅度5 mm增加到9 mm(弓速保持為0.25 m/s)，這時(shí)聲音增大較明顯。

(3) 當(dāng)弓弦接觸點(diǎn)離琴馬的距離由30 mm增加到50 mm時(shí)，G弦的最大振幅由6 mm減少到4 mm，(保持弓速=0.25 m/s，弓壓=1.5 N)。這時(shí)提琴的聲音略為減小。

通過(guò)分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，改變弓速對(duì)弦的振幅影響較大，而弓壓對(duì)聲音響度的影響較顯著。

4 結(jié) 論

本文設(shè)計(jì)了基于高速攝像的非接觸式光學(xué)測(cè)量系統(tǒng)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)，獲得了琴弦上標(biāo)定點(diǎn)的位移曲線和空間軌跡，并達(dá)到亞像素分辨率。因?yàn)榍傧艺穹?，振?dòng)頻率高，本文采用圓形霍夫變換處理算法和奇異值分解算法，對(duì)記錄的大量序列圖像進(jìn)行坐標(biāo)提取、特征識(shí)別和分析處理，研究了小提琴琴弦的振動(dòng)特性，得到如下結(jié)論：

(1) 將高速攝影的二維平面拍攝擴(kuò)展為三維檢測(cè)，可得到弦振動(dòng)的三維空間軌跡和運(yùn)動(dòng)特征；實(shí)驗(yàn)證實(shí)了撥弦和拉弦是兩種不同機(jī)制的弦振動(dòng)方式：前者作三維空間振動(dòng)，后者基本為平面振動(dòng)；弓拉弦時(shí)弦上點(diǎn)的位移曲線是由亥姆霍茲預(yù)言的鋸齒三角波和由折角形成的拋物包絡(luò)線運(yùn)動(dòng)。本研究為建立弦振動(dòng)的精確模型提供了實(shí)驗(yàn)支持。

(2) 弓拉弦正程時(shí)，弦受到較大的靜摩擦力激勵(lì)，琴弦儲(chǔ)存了彈性勢(shì)能，逆程雖受到弓的阻礙，但由于滑動(dòng)摩擦力較小，回程時(shí)間較短，所以系統(tǒng)總的來(lái)說(shuō)是獲得正能量，琴弦能一直維持振動(dòng)。

(3) 實(shí)驗(yàn)結(jié)果證實(shí)，弓拉弦時(shí)弦上不同點(diǎn)的位移鋸齒波曲線的回程時(shí)間與振動(dòng)周期的比值變化有如下特點(diǎn)：靠近弓弦作用點(diǎn)，其逆程時(shí)間相對(duì)較短；遠(yuǎn)離作用點(diǎn)逆程時(shí)間變長(zhǎng)，到弦的中部，正、逆程時(shí)間趨向相等。對(duì)于撥弦，弦上所有點(diǎn)的振動(dòng)位移曲線的正、逆程時(shí)間都相等。

(4) 弓拉弦時(shí)，增大弓速和弓壓及使弓弦接觸點(diǎn)靠近琴馬都能使弦的振幅增加和提琴聲音變響；由于靠近琴馬處弦的逆程波形變化較陡，通過(guò)琴馬和琴體的作用，使聲音的高頻成分較為豐富。

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Video photography experiment on string vibration of violin

ZHANG Cheng-zhong1,2, YE Bang-yan1, LIANG Li-dong1, HU Xi-zhi1, ZHAO Xue-zhi1

(1. School of Mechanical and automotive Engineering, South China University of Technology, Guangzhou 510640, China;2. School of Software, South China Normal University, Foshan 528225, China)

The interaction mechanism between violin bow and string is very complicated due to the stick-slip friction action, and it forms a complex vibration system. The vibration characteristics of violin strings were studied through theoretical analysis and experimental method. In order to measure the three dimensional vibration configuration of strings, an optical noncontact measurement system based on high-speed photography was designed. Some color marks were set on string and then the vibration images were got when bowing or plucking the violin string. The string vibration characteristics of two different action mechanisms of plucking and bowing string were investigated, including vibration displacement, velocity and space trajectory of the mark points on string. By comparing the displacement curves of the different points on string, the variety of the ratio of positive process time to negative process time of vibration sawtooth waveform were studied, and the formation process of vibration enveloping curve was observed. The factors affecting the vibration amplitude of violin string were analyzed.

string vibration; high speed video photography; Helmholtz motion; stick-slip friction; motion track

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51375178)

2013-08-31 修改稿收到日期：2014-04-23

張承忠 女，博士生，1968年生

葉邦彥 男，教授，博士生導(dǎo)師，1949年生

TN911.7; TH165.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.09.032