李迎娣

(黃河科技學院國際學院，河南鄭州450000)

二階變系數(shù)線性齊次微分方程的一些解法

李迎娣

(黃河科技學院國際學院，河南鄭州450000)

[摘要]探討了如何求二階變系數(shù)線性齊次微分方程的解.利用常數(shù)變易法求解；利用Riccati 方程的相關結論來求解.

[關鍵詞]二階變系數(shù)線性微分方程；Riccati方程；常數(shù)變易法；通解

在理論較充分、應用較廣泛的線性變系數(shù)微分方程卻沒有通用的求解方法，于是二階變系數(shù)齊次線性微分方程的解的問題是人們比較感興趣的課題.文章對系數(shù)滿足特定條件的二階變系數(shù)微分方程，通過常數(shù)變易法，化為恰當方程，化為Riccati方程來求解.

y″+p(x)y′+q(x)y=0

(1)

其中p(x),q(x)是關于x的連續(xù)函數(shù).

1利用常數(shù)變易法求解

在常微分方程里，利用常數(shù)變易法[1]，求解微分方程對應的特征方程，求得特征根，再根據(jù)性質得到微分方程的通解.二階變系數(shù)線性齊次微分方程能不能也用同樣的方法來求解呢？因為其系數(shù)是連續(xù)變化的，故特征方程的方法就不適用了.但可以嘗試用常數(shù)變易法來求解(1)的解[2].解法如下，

設y1(x)是方程(1)的一個特解，則cy1(x)(c為任意常數(shù))也是方程(1)的一個解.利用常數(shù)變易法，設與y1(x)線性無關的解是y2(x)=c(x)y1(x)，其中c(x)是待定函數(shù)，將y2(x)代入方程(1)得，方程(2).

(2)

又y1(x)是方程(1)的解，故：y1″(x)+p(x)y1′(x)+q(x)y1(x)=0

化簡為：

(3)

方程(3)可降階，故令u(x)=c(x)′，方程(3)化為：

一般，若已知二階變系數(shù)線性齊次微分方程的一個特解，利用常數(shù)變易法設出另外一個解，將該解代入原方程，得到一個可降階的方程，便可通過解可降階的方程得到二階變系數(shù)線性齊次微分方程的通解.

2利用Riccati方程換元求解

將二階變系數(shù)線性齊次微分方程通過換元法化為Riccati方程，再利用Riccati方程通解的結論，進而得出原微分方程的通解.

2.1　Riccati方程的相關結論

1841年，法國數(shù)學家劉維爾證明了著名的Riccati方程

y′=p(x)y2+q(x)y+r(x)

(4)

一般是不可積的，即不能用我們熟知的初等積分法來求解.

其中c為任意常數(shù).

2.2　定理及其證明

定理1[5]若方程(1)的系數(shù)滿足P′(x)=q(x)時，則方程(4)是可積的，且通積分是：

其中C1，C2為任意常數(shù).

(5)

(6)

方程(6)為關于u(x)的一個Riccati方程，又P′(x)=q(x)，故方程(6)的系數(shù)滿足引理1的條件，得其可積且能積分是：

以上證明過程是利用變量代換的方法，把二階變系數(shù)齊次線性微分方程y″+p(x)y′+q(x)y=0化簡為Riccati方程，然后再利用已知的結論算出二階變系數(shù)齊次線性微分方程的通解.

參考文獻：

[1] 王高雄,周之銘,朱恩銘,等.常微分方程(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2000．

[2] 胡勁松,李先富,鄭克龍.一種變系數(shù)線性微分方程的求解方法[J].重慶工商大學學報(自然科學版),2005,22(3):220-222.

[3] 馮錄詳.一特殊類型Riccati方程的積分[J].石河子大學學報(自然科學版),1997,(4):316-318.

[4] 龐建華.Riccati方程的一些新的可積條件[J].廣西工學院學報,2008，(2):89-92.

[5] 張玉蘭.二階變系數(shù)線性齊次微分方程的通解[J].長沙大學學報,2013,27(2):1-3.

[作者簡介]李迎娣(1985—)，女，河南商丘人，助教，主要從事計算數(shù)學方面的研究.

[收稿日期]2015-08-10

[中圖分類號]O175

[文獻標識碼]A

[文章編號]1009-2102(2015)03-0001-02