孫海，王培屹，鄭寧，楊琳，陳育志

（1.中航工業(yè)沈陽(yáng)發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)研究所，沈陽(yáng)110015；2.北京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，北京100083）

0 引言

在葉輪機(jī)械工程應(yīng)用中，流體誘發(fā)振動(dòng)導(dǎo)致葉片斷裂是1種主要的結(jié)構(gòu)破壞形式。其引發(fā)的故障在各類發(fā)動(dòng)機(jī)故障中占相當(dāng)高的比例，且危害較大，是航空燃?xì)鉁u輪發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)完整性和可靠性的主要威脅。而轉(zhuǎn)靜干涉是葉輪機(jī)械流體誘發(fā)強(qiáng)迫振動(dòng)的重要因素，是由轉(zhuǎn)、靜子葉片間的相互轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生的非定常流動(dòng)現(xiàn)象。國(guó)內(nèi)外雖然對(duì)由轉(zhuǎn)靜干涉引起的尾流激振或者由勢(shì)流擾動(dòng)而引起的強(qiáng)迫響應(yīng)開展了一些研究，但在氣動(dòng)層面非定常脈動(dòng)壓力的計(jì)算精度、效率和強(qiáng)迫響應(yīng)阻尼比的取法以及工程適用性等方面還存在不足。

本文采用非線性諧波法計(jì)算非定常流動(dòng)產(chǎn)生的諧波壓力，進(jìn)而計(jì)算該壓力在葉片上的強(qiáng)迫響應(yīng)，計(jì)算精度和效率都有一定提升，建立了適合工程應(yīng)用的、能夠評(píng)估由于轉(zhuǎn)靜干涉誘發(fā)的強(qiáng)迫響應(yīng)的方法。

1 研究背景

一般來說，葉輪機(jī)械中的流體誘發(fā)振動(dòng)問題可以分為氣動(dòng)彈性穩(wěn)定性問題和響應(yīng)問題2種基本類型。氣動(dòng)彈性穩(wěn)定性問題對(duì)應(yīng)葉輪機(jī)械的自激振動(dòng)，而響應(yīng)問題對(duì)應(yīng)強(qiáng)迫振動(dòng)。與葉片的自激振動(dòng)相比，在航空發(fā)動(dòng)機(jī)的發(fā)展歷程中，由流體激勵(lì)誘發(fā)的強(qiáng)迫振動(dòng)所造成的葉片振動(dòng)破壞故障的次數(shù)要遠(yuǎn)超過由葉片顫振造成的故障。

當(dāng)前對(duì)轉(zhuǎn)靜干涉研究較多的是上游葉片對(duì)下游葉片的尾流激振和下游葉片的勢(shì)流擾動(dòng)對(duì)上游葉片非定常表面力的周期性影響。

由于尾流激振力或勢(shì)流擾動(dòng)很難用具體的解析表達(dá)式表示，因而數(shù)值模擬計(jì)算尾流激振力是工程中最主要的方法。A.J.Sander和Fleeter[1]研究了1種可用于預(yù)測(cè)軸向和離心式葉輪機(jī)械響應(yīng)的模型，用于分別計(jì)算葉片排在上下游勢(shì)流和在上游尾跡作用下的強(qiáng)迫響應(yīng)。結(jié)果證明，無論是在軸流還是在離心式壓氣機(jī)中，葉片的強(qiáng)迫響應(yīng)幅值為同一量級(jí)。因此，對(duì)于葉片排間距較近的壓氣機(jī)，流勢(shì)與葉片尾跡具有同樣的重要性。Y·T·Lee和J·Z·Feng[2]等研究了不可壓流在多級(jí)葉排的流動(dòng)情況，分別研究了轉(zhuǎn)子/靜子、靜子/轉(zhuǎn)子2種模型。研究指出，在軸向間距為10%弦長(zhǎng)時(shí)，尾跡效應(yīng)提供了氣動(dòng)載荷峰值的10%。針對(duì)轉(zhuǎn)子數(shù)目的影響，研究了轉(zhuǎn)子1/靜子/轉(zhuǎn)子2模型，并且轉(zhuǎn)子1和靜子、轉(zhuǎn)子2和靜子之間的軸向間距可調(diào)，發(fā)現(xiàn)不同軸向間距最小值到最大值的非定常氣動(dòng)力變化較大。Bjorn Laumert和Hans.Martensson[3]通過3維數(shù)值模擬，得出在亞聲速工況下，轉(zhuǎn)子葉片壓力面上壓力值主要受靜葉尾流的影響，而在吸力面，壓力值主要受靜葉勢(shì)流和尾跡共同影響。由于3維轉(zhuǎn)子葉片沿徑向形狀不同，使得葉片表面壓力分布沿徑向也有所不同。葉片表面激振力的大小沿葉根向葉尖幅值逐漸減小。Stuart M[4]提出1種松散的耦合方式對(duì)葉片在氣流激振力下強(qiáng)迫響應(yīng)進(jìn)行預(yù)估計(jì)算。假定氣動(dòng)力對(duì)葉片的模態(tài)沒有影響，先在ANSYS中計(jì)算葉片某一模態(tài)的振型和頻率，然后將其帶入CFD進(jìn)行頻域求解，計(jì)算氣動(dòng)力和阻尼力，再帶回有限元模型計(jì)算該模態(tài)下的振動(dòng)響應(yīng)。王梅等[5]通過研究均勻葉柵的尾跡引起的高頻振動(dòng)問題，把已有的氣動(dòng)計(jì)算方法和強(qiáng)度計(jì)算方法整個(gè)串起來，為工程應(yīng)用初步建立起了1個(gè)尾流激振情況下葉片振動(dòng)應(yīng)力預(yù)估的半經(jīng)驗(yàn)方法。具體是通過計(jì)算轉(zhuǎn)子通道流場(chǎng)，得到轉(zhuǎn)子葉片表面的非定常壓力幅值沿葉片表面的分布，然后在結(jié)構(gòu)計(jì)算中將葉片表面的壓力幅值等效地轉(zhuǎn)化為有限元節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)力，再通過有限元方法計(jì)算葉片的振動(dòng)應(yīng)力。但是，非定常流場(chǎng)計(jì)算采用的參數(shù)多項(xiàng)式方法精度不足，阻尼的取法也使響應(yīng)計(jì)算的準(zhǔn)確性受到影響。孟越等[6]針對(duì)轉(zhuǎn)子葉片在前排靜子葉片尾流激振[7]情況下的位移和應(yīng)力進(jìn)行預(yù)估計(jì)算，采用3維非定常求解，將3維非定常氣動(dòng)力引入轉(zhuǎn)子葉片有限元結(jié)構(gòu)計(jì)算中，對(duì)尾流激振情況下葉片強(qiáng)迫響應(yīng)問題[8]進(jìn)行瞬態(tài)分析。通過分析可知，葉片響應(yīng)大小與葉片表面所受氣動(dòng)激振力大小、相位和分布有關(guān)。寧方飛[9]以1.5級(jí)高負(fù)荷風(fēng)扇為研究對(duì)象，利用諧波法[10-11]捕獲了轉(zhuǎn)子激波向上游的傳播，以及轉(zhuǎn)子尾跡對(duì)下游靜子的影響，結(jié)果與常規(guī)非定常方法吻合，但并未涉及強(qiáng)迫響應(yīng)計(jì)算。

2 非定常脈動(dòng)力的研究對(duì)象、計(jì)算方法和結(jié)果

2.1 研究對(duì)象

針對(duì)某風(fēng)扇試驗(yàn)件進(jìn)口可變彎度導(dǎo)向葉片開展數(shù)值模擬和試驗(yàn)研究。風(fēng)扇進(jìn)口可變彎度導(dǎo)向葉片分為固定部分和可調(diào)部分，可調(diào)部分可繞轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)以滿足不同轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)子預(yù)旋的需求，由于導(dǎo)葉可調(diào)部分只在轉(zhuǎn)軸處固支，與常規(guī)靜子的2段全部固定相比，更容易受轉(zhuǎn)靜干涉影響而被誘發(fā)振動(dòng)。因此，針對(duì)后排轉(zhuǎn)子葉片的位勢(shì)作用對(duì)上游可調(diào)葉片的強(qiáng)迫響應(yīng)進(jìn)行分析。

2.2 非線性諧波法

非線性諧波法（nonlinear harmonic method）能夠在一定的計(jì)算量范圍之內(nèi)，提供1種介于定常和非定常之間的計(jì)算方法，其計(jì)算精度較高能夠滿足計(jì)算要求。該方法將流體非定常擾動(dòng)傅里葉分解為不同階次諧波疊加。基于求解時(shí)間平均和不同諧波階次的定常輸運(yùn)方程，能夠有效地在頻域內(nèi)求解非定常問題，尤其是對(duì)于轉(zhuǎn)靜干涉問題有較高的計(jì)算效率和精度。

轉(zhuǎn)靜干涉是葉輪機(jī)械流動(dòng)中最常見的非定常因素，對(duì)轉(zhuǎn)、靜子通道內(nèi)流動(dòng)的影響具有周期性。采用諧波函數(shù)逼近，經(jīng)過周期性擾動(dòng)近似以及線化假設(shè)，可以將N-S方程分解為時(shí)均方程和擾動(dòng)方程，擾動(dòng)方程的個(gè)數(shù)由諧波的階次確定，各階擾動(dòng)方程之間相互獨(dú)立，在諧波的頻率給定之后，可以將擾動(dòng)方程由時(shí)域轉(zhuǎn)化到頻域。最后在頻域內(nèi)對(duì)時(shí)均方程和各階擾動(dòng)方程耦合求解，就能得到流場(chǎng)各物理量的時(shí)均值和各階擾動(dòng)值，將其疊加起來就得到近似解?？梢酝ㄟ^選擇諧波的階數(shù)來控制求解的精度，諧波階次越高，求解精度也就越高。

引入周期性擾動(dòng)假設(shè)后，在非定常流動(dòng)中，守恒型變量可以分解為時(shí)均值與周期性擾動(dòng)之和，而每個(gè)周期性的擾動(dòng)可以用N階諧波來逼近，即

采用有限體積法的守恒型非定常流動(dòng)方程可表示為

式中：Ωi為網(wǎng)格單元的體積；Fc和Fv分別為離散的對(duì)流項(xiàng)和黏性項(xiàng)；S為面積；Q為源項(xiàng)。

具體展開式見文獻(xiàn)[12]。展開式中包含的未知數(shù)數(shù)目是原N-S方程的2N+1倍，求解諧波方程僅相當(dāng)于求解2N+1個(gè)時(shí)刻的定常方程。理論上，計(jì)算的諧波階次趨于無窮，其計(jì)算結(jié)果應(yīng)當(dāng)趨近于時(shí)間推進(jìn)的非定常求解結(jié)果。一般選取前若干階（小于5）即可滿足工程需求。而且，一般認(rèn)為，第1階非定常擾動(dòng)在幅值上占絕對(duì)主導(dǎo)地位（對(duì)于尾跡或勢(shì)流造成的非定?，F(xiàn)象），高階擾動(dòng)因其頻次過高，其距風(fēng)扇葉片低階共振頻率過遠(yuǎn)，因此影響較小。

2.3 計(jì)算設(shè)置及結(jié)果分析

網(wǎng)格使用AUTOGRID5生成。Vilmin認(rèn)為若要成功運(yùn)用N L H法模擬葉排間的流動(dòng)狀況，上下游葉片周向網(wǎng)格數(shù)需要達(dá)到一定要求，具體見文獻(xiàn)[13]。根據(jù)網(wǎng)格數(shù)目限定，做出風(fēng)扇網(wǎng)格，采用NUMECA的Fine進(jìn)行計(jì)算。

以該多級(jí)風(fēng)扇試驗(yàn)件作為流場(chǎng)計(jì)算對(duì)象。計(jì)算時(shí)給定進(jìn)口總溫28815K，進(jìn)口總壓101325Pa，給定出口靠近輪轂位置靜壓值，且靜子出口靜壓滿足簡(jiǎn)單徑向平衡方程。采用Harmonic Method進(jìn)行非定常計(jì)算。非定常流場(chǎng)求解以相同進(jìn)、出口邊界條件下的定常結(jié)果為初場(chǎng)。為提高計(jì)算效率，每個(gè)擾動(dòng)的諧波數(shù)設(shè)置為2，每個(gè)葉排最大的擾動(dòng)數(shù)設(shè)置為2。

風(fēng)扇進(jìn)口可調(diào)導(dǎo)葉第1階諧波壓力實(shí)部、虛部及幅值如圖1所示。第1階諧波壓力反映了后排轉(zhuǎn)子的非定常勢(shì)流影響，主要分布在可調(diào)導(dǎo)葉表面上半部，由此判斷，諧波壓力幅值較大區(qū)域可能會(huì)引起較大的強(qiáng)迫響應(yīng)。

風(fēng)扇后排轉(zhuǎn)子50%、90%葉高相對(duì)馬赫數(shù)如圖2所示。后排轉(zhuǎn)子馬赫數(shù)圖中的空白部分為超聲區(qū)。可調(diào)導(dǎo)葉表面依舊是諧波壓力幅值。在轉(zhuǎn)子90%葉高吸力面有較強(qiáng)激波，而在50%葉高處沒有激波。由于可調(diào)導(dǎo)葉和轉(zhuǎn)子存在相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)子上半部分存在的激波通過勢(shì)流作用不斷掃掠前排可調(diào)導(dǎo)葉，影響可調(diào)導(dǎo)葉上半部，尤其影響靠近尾緣的后半部分邊界層狀況，造成較大的諧波壓力脈動(dòng)。

圖1 風(fēng)扇進(jìn)口可調(diào)導(dǎo)葉第1階諧波壓力

3 強(qiáng)迫響應(yīng)分析

本文建立的強(qiáng)迫諧響應(yīng)的分析模型，應(yīng)用MATLAB和ANSYS的2次開發(fā)語(yǔ)言APDL編制流場(chǎng)與結(jié)構(gòu)的接口程序，將流場(chǎng)計(jì)算的3維非定常激振力完整加載到結(jié)構(gòu)中，并對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行強(qiáng)迫響應(yīng)瞬態(tài)分析，具體計(jì)算流程如圖3所示。

選取可調(diào)導(dǎo)葉部分（略去固定支板）進(jìn)行有限元建模，葉片在厚度方向分為2層，對(duì)前緣和尾緣進(jìn)行了適當(dāng)加密，整體網(wǎng)格數(shù)約為1.6萬，如圖4所示。模擬可調(diào)導(dǎo)葉真實(shí)的約束情況，給定葉尖前緣部分全約束，葉根前緣部分周向和軸向約束，可繞徑向軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

圖2 風(fēng)扇后排轉(zhuǎn)子50%、90%葉高相對(duì)馬赫數(shù)和第1階諧波壓力幅值

圖3 強(qiáng)迫諧響應(yīng)分析系統(tǒng)

圖4 有限元模型及施加約束

利用SURF154單元進(jìn)行脈動(dòng)壓力的傳遞，利用F E M模型表面節(jié)點(diǎn)以及CFD模型靠近葉片的第1層網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)插值，如圖5所示。圖中紅色節(jié)點(diǎn)為F E M模型可調(diào)導(dǎo)葉部分，藍(lán)色為CFD模型（包括固定支板）。程序自動(dòng)尋找較近點(diǎn)進(jìn)行插值，因此多余的固定支板不影響插值結(jié)果。

對(duì)葉片進(jìn)行模態(tài)分析，找尋到與勢(shì)流激勵(lì)相近的模態(tài)階數(shù)。在氣動(dòng)載荷的激勵(lì)下，進(jìn)行諧響應(yīng)分析，模態(tài)阻尼比取5e-4von Misesstress如圖6所示。除去轉(zhuǎn)軸處固支帶來的應(yīng)力集中，葉身振動(dòng)應(yīng)力幅值約為20MPa，與試驗(yàn)應(yīng)力水平相當(dāng)。

不同模態(tài)阻尼比振動(dòng)響應(yīng)分析的動(dòng)應(yīng)力結(jié)果見表1。從表中可見，模態(tài)阻尼比是振動(dòng)響應(yīng)分析的重要影響因素。如果試驗(yàn)?zāi)軌颢@得較為準(zhǔn)確的阻尼數(shù)據(jù)，則采用該方法能夠較好地評(píng)估葉片由于尾流激振或勢(shì)流擾動(dòng)造成的強(qiáng)迫響應(yīng)。然而，在工程設(shè)計(jì)階段，沒有試驗(yàn)件的生產(chǎn)，無法通過試驗(yàn)獲得阻尼數(shù)據(jù)，因此很難準(zhǔn)確確定模態(tài)阻尼比，導(dǎo)致諧響應(yīng)分析存在較大誤差。這就要分析在不需要阻尼比的情況下，評(píng)估這種強(qiáng)迫響應(yīng)造成的高周疲勞水平。

圖5 CFD與FEM模型插值節(jié)點(diǎn)

圖6 阻尼比為5e-4時(shí)諧響應(yīng)von Missesstress

表1 不同模態(tài)阻尼比下響應(yīng)分析的動(dòng)應(yīng)力結(jié)果

4 模態(tài)激勵(lì)因子評(píng)估強(qiáng)迫響應(yīng)

如前所述，在葉輪機(jī)械中，由轉(zhuǎn)靜干涉引起的葉片強(qiáng)迫響應(yīng)振動(dòng)主要是以轉(zhuǎn)速為基頻的周期性激勵(lì)。尤其是在某些特定階激勵(lì)頻率（可引起危險(xiǎn)共振的，如第n階激勵(lì)頻率）作用下葉片的強(qiáng)迫響應(yīng)。

與一般激勵(lì)不同，這里的激勵(lì)為非同步激勵(lì)，即除了頻率以外，在任意時(shí)刻，流場(chǎng)中的任意1點(diǎn)（包括葉片表面上）的作用力由2個(gè)參數(shù)確定，即：幅值和相位。這2個(gè)參數(shù)均是點(diǎn)的空間位置坐標(biāo)的函數(shù)。

尾流激勵(lì)或者是勢(shì)流擾動(dòng)所具有的非同步激勵(lì)場(chǎng)的特性，決定了葉片的強(qiáng)迫響應(yīng)既取決于激振力場(chǎng)又取決于模態(tài)位移場(chǎng)。模態(tài)激勵(lì)因子可以包含這2方面性質(zhì)，能夠?qū)δ畴A共振的相對(duì)危險(xiǎn)性做出一定評(píng)價(jià)。

激振力、模態(tài)位移都以場(chǎng)的形式出現(xiàn)，其中激振力場(chǎng)又是場(chǎng)的復(fù)數(shù)形式的疊加。這就使得激勵(lì)-響應(yīng)之間的關(guān)系可以從場(chǎng)的角度描述?？梢砸霘W氏空間的相關(guān)概念，從數(shù)學(xué)上討論激勵(lì)場(chǎng)與模態(tài)位移場(chǎng)的空間相對(duì)位置對(duì)葉片響應(yīng)的影響，從理論上給出模態(tài)激振因子的解釋。

定義模態(tài)激勵(lì)因子[14]

式中：｛F｝為激勵(lì)的幅值向量；[Λ（ejθ）]為以激勵(lì)相位為對(duì)角線元素的對(duì)角矩陣；｝為對(duì)系統(tǒng)質(zhì)量矩陣歸一的第s階模態(tài)向量。模態(tài)激勵(lì)因子的幾何意義為尾流激勵(lì)的空間分布與葉片振動(dòng)模態(tài)的夾角。

激勵(lì)因子的幅值反映了尾流激勵(lì)或勢(shì)流擾動(dòng)在某階模態(tài)投影的大??；相角反映了激振力場(chǎng)與模態(tài)位移場(chǎng)間的夾角，夾角越小，作用越強(qiáng)。

以某風(fēng)扇導(dǎo)向器葉片與轉(zhuǎn)子軸向間距改變對(duì)尾跡激振的影響為對(duì)象，對(duì)非同步激勵(lì)場(chǎng)作用下葉片高激振力場(chǎng)階共振的危險(xiǎn)性評(píng)定方法進(jìn)行校核，結(jié)果如圖7所示。

圖7 激勵(lì)因子及其和相角隨軸向間距變化

從圖中可見，隨著軸向間距的增加，激勵(lì)因子的模呈下降趨勢(shì)，這與實(shí)際物理現(xiàn)象吻合；相位變化，反映了上游尾跡進(jìn)入下游轉(zhuǎn)子通道的時(shí)間先后發(fā)生了變化?？梢?，激勵(lì)因子能夠直觀定量地反映出結(jié)構(gòu)、氣動(dòng)參數(shù)變化對(duì)結(jié)構(gòu)共振響應(yīng)造成的影響，能夠真實(shí)地反映物理實(shí)際。

對(duì)可調(diào)導(dǎo)葉，在計(jì)算過程中提取載荷向量和模態(tài)向量，計(jì)算出激勵(lì)因子，如圖8所示。按經(jīng)驗(yàn)，模態(tài)激勵(lì)因子與之前計(jì)算的振動(dòng)應(yīng)力水平相當(dāng)。本文雖然對(duì)轉(zhuǎn)靜干涉中的后排對(duì)前排的勢(shì)流擾動(dòng)進(jìn)行計(jì)算，其方法也同樣適用于尾流激振。

圖8 可調(diào)導(dǎo)葉勢(shì)流激勵(lì)狀態(tài)下的模態(tài)激勵(lì)因子

5 結(jié)論

利用非線性諧波法以及插值程序，把已有的氣動(dòng)計(jì)算方法和強(qiáng)度計(jì)算方法結(jié)合起來，為轉(zhuǎn)靜干涉中的尾流激振和勢(shì)流擾動(dòng)產(chǎn)生的強(qiáng)迫響應(yīng)建立了適用于工程設(shè)計(jì)的、合理的流固耦合計(jì)算模型及研究流程。

（1）非線性諧波法可以有效計(jì)算轉(zhuǎn)靜干涉導(dǎo)致的勢(shì)流擾動(dòng)和尾流激振脈動(dòng)壓力，精度和計(jì)算效率能達(dá)到工程要求，比定常和非定常計(jì)算有有一定的優(yōu)勢(shì)。

（2）對(duì)于強(qiáng)迫響應(yīng)分析，結(jié)合強(qiáng)迫響應(yīng)計(jì)算的應(yīng)力和模態(tài)激勵(lì)因子，可以對(duì)這種勢(shì)流擾動(dòng)或尾流激振誘發(fā)的強(qiáng)迫響應(yīng)作出相應(yīng)評(píng)估。

（3）隨著經(jīng)驗(yàn)的積累，模態(tài)激勵(lì)因子可以單獨(dú)作為評(píng)估參數(shù)，并可以在完成氣動(dòng)設(shè)計(jì)后對(duì)這種轉(zhuǎn)靜干涉進(jìn)行評(píng)估，迅速地回饋氣動(dòng)設(shè)計(jì)，減少設(shè)計(jì)流程和時(shí)間，而且可以避免引入阻尼比的誤差，提高工程上評(píng)估這種高周疲勞的精度和效率。

[1] Sander A J,Fleeter S.Blading response to potential field interactions in axial and radial flow turbomachinery[J].Journal of Propulsion and Power，1998，14（2）：199-207.

[2] Lee Y T,Feng J Z.Potential and viscous interactions for a multiblade row compressor[C]//ASME Turbo Expo 2003，Collocated with the 2003 International Joint Power Generation Conference,USA:American Society of Mechanical Engineers，2003.

[3] Bjorn Laumert，HansMartensson.Investigation of unsteady aerodynamic blade excitation mechanisms in a transonic turbine stage,Part I:phenomenological identification and classification[J].Journal of Turbomachinery，2002，124（3）：410-418.

[4] Wei Ning，StuartM.Blade forced response prediction for industrial gas turbines—Part2:verification and application[C]//ASME Turbo Expo 2003,Collocated with the 2003 International Joint Power Generation Conference，USA:American Society ofMechanical Engineers，2003.

[5] 王梅，江和甫，呂文林.在尾流激振情況下葉片振動(dòng)應(yīng)力預(yù)估技術(shù)[J].航空動(dòng)力學(xué)報(bào)，2007，22（4）：608-613.WANG Mei，JIANG Hefu，LV Wenglin.Method to predict the blade vibration stress induced by wake flow[J].Journal of Aerospace Power，2007，22（4）：608-613.(in Chinese)

[6] 孟越，李琳，李其漢.尾流激振情況下葉片強(qiáng)迫響應(yīng)瞬態(tài)分析方法[J].北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，32（6）：671-674.MENG Yue，LI Lin，LI Qihan.Transient analytical method of vane forcing response under stator-rotorwake influence[J].Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2006，32（6）：671-674.(in Chinese)

[7] 孟越，李琳，李其漢.不對(duì)稱靜子尾跡流場(chǎng)激振力分析及計(jì)算方法[J].北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，33（9）：1005-1008.MENG Yue，LI Lin，LIQihan.Investigation of force under asymmetry statorwake[J].Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2007，33（9）：1005-1008.(in Chinese)

[8] 李潤(rùn)澤，李琳.跨聲速工況下流體誘發(fā)葉片振動(dòng)研究[J].航空動(dòng)力學(xué)報(bào)，2008，23（4）：747-753.LIRunze，LI Lin.An investigation of flow induced blade vibrations at the transonic operating condition[J].Journal of Aerospace Power，2008，23（4）：747-753.(in Chinese)

[9] Du Pengcheng，Ning Fangfei.Application of the harmonic balance method in simulating almost periodic turbomachinery flows[R].ASME 2014-GT-25457.

[10] Ning F,Xu L.Numerical investigation of transonic compressor rotor flow using an implicit 3D flow solver with one-equation spalart-all maras turbulence model[R].ASME 2001-GT-0359.

[11] Ning F.MAP：a CFD package for turbomachinery flow simulation and aerodynamic design optimization[R].ASME 2014-GT-26515.

[12] He L.Harmonic solution of unsteady flow around blades with separation[J].AIAA Journal，2008，46（6）：1299-1307.

[13] Vilmin S，Hirsh C，Lorrain E.Unsteady flow modeling across therotor/stator interface using the nonlinear harmonic method[R].ASME-2006-GT-90210.

[14] Li Lin，Wang Peiyi.Evaluation of high-order resonance of blade underwake excitation[R].ASME 2010-GT-23148.