吳逸飛，鄒正平

（1.南昌航空大學飛行器工程學院，南昌330063；2.北京航空航天大學能源與動力工程學院，北京100191）

0 引言

隨著計算技術(shù)的飛速發(fā)展，研究各種流體流動的重要方法包括計算流體力學（CFD）數(shù)值模擬、傳統(tǒng)的理論分析和試驗測量方法。采用數(shù)值模擬方法研究問題時常常會簡化，例如幾何和物理模型的簡化、物性參數(shù)和邊界條件的近似等，造成實際情況與結(jié)果之間存在差異[1]。在航空發(fā)動機研制中，受認識、設(shè)計技術(shù)、制造工藝及裝配等客觀因素的限制，實際裝機后系統(tǒng)和各部件所達到的性能水平與理論設(shè)計值必定存在不確定性的偏差[2]。在渦輪設(shè)計和加工過程中，在轉(zhuǎn)靜子之間的軸向間隙及泄漏流、強度和加工方面存在的葉片葉根倒角、葉形的偏差、圓機匣及轉(zhuǎn)子偏心等造成的轉(zhuǎn)子周向非均勻葉尖間隙等問題，都會導致渦輪真實幾何條件與原始理想設(shè)計存在偏差，從而造成渦輪實際與設(shè)計性能的偏差[3-5]；同時，在渦輪工作過程中，溫度與離心載荷等產(chǎn)生受力變形、磨損、高溫氧化、熱腐蝕、燒蝕、表面產(chǎn)生凹坑或有塵物堆積等情況[6-7]，導致零件性能隨工作時間發(fā)生退化。在數(shù)值計算和試驗中，合理的邊界條件是重要影響因素之一。Garg等[8]研究不同射流入口邊界條件可導致射流出口下游高達60%的換熱系數(shù)差異。在航空發(fā)動機中，燃燒室出口溫度分布、高自由流湍流度和熱條紋等參數(shù)影響第1級靜葉傳熱；中、低自由流湍流度、上游靜葉片后緣的不穩(wěn)定尾流、熱條紋以及旋轉(zhuǎn)影響第1級動葉傳熱[9]。文獻[10-12]表明來流的速度分布、湍流強度、溫度分布、壓力分布、質(zhì)量流量和雷諾數(shù)等氣動熱力邊界條件對流體的流動有重要影響。在數(shù)值模擬方法應用中，不同的物理模型對結(jié)果產(chǎn)生不同的影響，例如有/無黏、定常/非定常、湍流模型、多相流動、化學反應等[13]。20世紀70年代中期前，葉輪機械內(nèi)部流場的數(shù)值模擬大都基于無黏流體流動模型。但是，無黏流動假設(shè)改變了流體的物理屬性，在數(shù)學上使流動方程及相應的定解條件發(fā)生了本質(zhì)變化，應該考慮采用黏性流體流動模型[14]。葉輪機內(nèi)存在不同尺度、頻率和類型的非定常流動現(xiàn)象，采用全3維非定常數(shù)值模擬研究其內(nèi)部一些固有的非定常流動現(xiàn)象，可進一步提高氣動熱力性能[15]。

本文針對氣動熱力學邊界條件不確定性的數(shù)值模擬方法進行探討，分析邊界條件與真實情況的差異對數(shù)值模擬計算結(jié)果的影響。

1 試驗方法

目前流體中不確定性分析主要指模型參數(shù)不確定性對其輸出參數(shù)的影響，即不確定性在流場中的傳播，且不確定性變量為服從概率分布的隨機變量[13]。

蒙特卡洛（MC，Monte Carlo）[16]方法是隨機分析常用的方法，其實質(zhì)是通過大量隨機試驗，利用概率論解決問題。主要優(yōu)點是其斂散性依賴于獨立的隨機參數(shù)個數(shù)，得到的結(jié)果是隨機變量。因此，在給出點估計后，還需要給出該估計值的波動程度及區(qū)間估計。缺點是高精度的計算結(jié)果需要大量的隨機數(shù)即需抽取大量樣本，因此計算成本較高且效率低。拉丁超立方抽樣（LHS，Lat in Hypercube Sampling）是1種多維分層抽樣方法，合并了隨機和分層抽樣的優(yōu)點，是最好的小樣本蒙特卡洛方法之一[17]。對于多個隨機變量的輸入，分層抽樣需要將輸入的樣本空間等概率化為N個區(qū)域。工作原理是首先定義參與計算機運行的抽樣數(shù)目N；其次把每次輸入等概率地分成N列，xi0

圖1 LHS方法抽樣

假設(shè)關(guān)于輸入變量的線性函數(shù)

利用MC和LHS抽樣方法分別估計均值，結(jié)果為

標準誤差分別為

本文采用試驗設(shè)計（DOE，Design of Experi-ment）[18]方法進行研究。首先以某一確定性解為基礎(chǔ)，對具有不確定性的設(shè)計變量統(tǒng)計LHS抽樣產(chǎn)生隨機變量的相關(guān)參數(shù)；然后對所有抽取的樣本進行確定性解，對這些確定性結(jié)果進行統(tǒng)計后得到響應變量；最后分析不確定性設(shè)計變量對響應變量的影響。應用CFD軟件，可避免出現(xiàn)修改現(xiàn)有求解器而可能造成新誤差的風險。具體流程如圖2所示。

圖2 邊界條件不確定性數(shù)值模擬方法流程

DOE通過改變1個系統(tǒng)的輸入來觀察輸出的情況。目的是確定哪些設(shè)計變量對響應的影響最大；通過設(shè)定有影響的設(shè)計變量水平，以使響應達到或盡可能接近期望值，并使其分散度（或方差）盡可能減小，最大限度地減小不可控參數(shù)對響應的影響。通過試驗數(shù)據(jù)的分析探索設(shè)計空間，得出設(shè)計變量對響應的影響，并以此作出設(shè)計決定。

對確定性解的響應變量數(shù)組進行數(shù)據(jù)分析處理，包括敏度分析、主效應分析、交互效應分析等，如用帕累托法（Pareto）得出來流邊界條件對流體的影響。

2 算例

采用DOE法需要對每個抽取的樣本進行CFD數(shù)值模擬計算，為了節(jié)省計算時間和成本，本文僅給出1個簡單算例說明來流邊界條件不確定性數(shù)值模擬的方法在原理和流程上是可行的。例如：孔板流量計是通過測孔板前后的壓力差來計算管道中的流量。假定幾何和物理模型均不變，僅考慮來流邊界條件變化，確定其對孔板前后壓力變化的影響。

2.1 算例模型

根據(jù)原理對孔板流量計模型進行簡化，如圖3所示。從圖中可見，可以構(gòu)建對稱軸以上的部分為模型對2維對稱流動問題進行數(shù)值模擬。

圖3 孔板流量計簡化模型

設(shè)定計算流體為水，流動形態(tài)為湍流，采用κ-ε模型，流動為定常，不可壓縮，計算不計重力作用對流體性能的影響。流體入口半徑AB=20mm，孔在距離入口100mm的位置，孔板厚度為2mm，內(nèi)徑為20mm；在孔板右側(cè)面切45°，出口端面距孔板右側(cè)100mm。網(wǎng)格劃分采用非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，數(shù)目為6947個，如圖4所示。

圖4 網(wǎng)格分布

2.2 實現(xiàn)方法

本算例運用商業(yè)軟件Fluent進行CFD模擬，設(shè)定確定性數(shù)值模擬來流邊界條件中的湍流度tu和流體進口速度v為設(shè)計變量。然后在輸出的結(jié)果中提取進、出口面壓力Pi（面加權(quán)平均）、Po為響應目標。采用LHS方法，通過DOE組件對設(shè)計變量抽樣，樣本為100個，分別計算得出響應結(jié)果，然后分析每種設(shè)計變量對每個響應的影響，得出主效應和Pareto貢獻率圖。

為了避免2個來流邊界條件下不同上下限百分比對流動產(chǎn)生不同的影響，設(shè)定二者相同的賦值范圍，即上、下限分別為各自150%、50%初值。為了闡述該方法的原理，在賦值時給的范圍比較大，以便分析所得邊界條件的不確定性能引起流動變化的量突顯出來，而在實際情況下的不確定性邊界條件變化的范圍不一定有這么大。

3 結(jié)果分析

Cp與Re的關(guān)系如圖5所示。流動為定常且不可壓縮，幾何模型也不變。橫、縱坐標分別為進口流體的雷諾數(shù)Re和對壓差無量綱化的壓力系數(shù)Cp。

圖5 Cp與Re的關(guān)系

從圖中可見，Cp隨著Re的增大而增大。當湍流度變化時，Cp在湍流度不變時位置上下波動。

Cp與tu的關(guān)系如圖6所示。從圖中可見，來流速度不變時，Cp變化較平緩，在tu=0.10～0.13之間最小，隨著tu增大則Cp也增大。當來流速度發(fā)生變化時，Cp則會在來流速度不變時的位置上下劇烈波動，且在最大、最小速度壓力系數(shù)值的范圍之內(nèi)。

圖6 Cp與tu的關(guān)系

可見，來流速度和湍流度都能引起壓差的變化，如圖7所示。從圖中可見，tu變化比Re變化使壓力系數(shù)Cp的波動更劇烈，即tu對Cp的影響要大于Re的影響。

圖7 Cp的主效應

在來流速度和湍流度為其各自基準值的±50%的偏差范圍，對Cp的影響的最大正、負偏差分別為8.7%、4.6%。來流邊界條件對流體影響正負偏差最大的壓力、速度云圖如圖8所示。

圖8 來流邊界條件對流體影響正、負偏差最大的壓力和速度

如果期望得到各設(shè)計變量對響應的影響，可以對抽樣樣本計算所得的數(shù)據(jù)組進行Pareto法分析，得出來流速度和湍流度對壓力系數(shù)的貢獻率，其中tu和Re對Cp的貢獻率分別為64.04%、35.96%。

4 總結(jié)

綜上所述，提取來流邊界條件為設(shè)計變量，通過LHS方法抽樣計算及pareto法分析可以得出不同敏感邊界條件對流體流動的影響。當來流Re和tu給出初值±50%變化時，得出Cp偏差中最大正、負偏差分別為8.7%和4.6%；Re和tu對Cp的貢獻率分別為35.96%和64.04%。

利用該方法可以研究多個來流邊界條件共同作用下對流體流動的影響，例如在復雜的流動中，提取多于算例中2個來流邊界條件，邊界條件之間的交互相互影響關(guān)系也遠比算例中的復雜，該方法只需要根據(jù)所抽樣本數(shù)進行計算，計算量不會因為提取邊界條件種類的增加而增大，抽樣數(shù)越多計算量越大，所得數(shù)據(jù)分析則越精確。本方法也可對來流邊界條件不確定性的范圍進行提前約束，并根據(jù)研究對象的具體情況設(shè)定，對流體的影響偏差的范圍也可以通過數(shù)據(jù)處理分析得出，又可反推出要達到流體流動的某種狀態(tài)或某些范圍，則需要控制的邊界條件的不確定性范圍。在研究航空發(fā)動機時，可以提取來流邊界條件為設(shè)計變量，并設(shè)定來流邊界條件不確定性的誤差范圍，模擬計算得出壓氣機或渦輪等的效率誤差，分析得出邊界條件中對壓氣機或者渦輪等的效率影響最大的參數(shù)，為調(diào)控這些不確定性的來流邊界條件提供可靠依據(jù)。如果對所提取的設(shè)計變量進行擴展，比如將幾何模型的關(guān)鍵尺寸提取為設(shè)計變量，則可研究幾何模型不確定性對數(shù)值模擬結(jié)果與實際情況的差異等。

5 結(jié)束語

本文針對考慮來流邊界條件不確定性的數(shù)值模擬方法進行嘗試性研究，分析了對流體流動的影響。算例結(jié)果表明，在來流邊界條件中湍流度的不確定性對壓力系數(shù)的影響大于來流速度的?？紤]來流邊界條件不確定性的數(shù)值模擬方法比傳統(tǒng)數(shù)值模擬方法計算量有所增加，其大小由所抽取樣本數(shù)決定。該方法可擴展應用到更多來流邊界條件不確定且更復雜的流動分析，或應用于其他模型的不確定性數(shù)值模擬。

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