田春紅（南京航空航天大學(xué)　金城學(xué)院，江蘇　南京　211156）

三維Boussinesq方程關(guān)于速度的一個(gè)爆破準(zhǔn)則

田春紅
（南京航空航天大學(xué)金城學(xué)院，江蘇南京211156）

摘要：研究了三維Boussinesq方程的正則性問(wèn)題，在乘子空間獲得了三維Boussinesq方程的一個(gè)新的爆破準(zhǔn)則。

關(guān)鍵詞：Boussinesq方程；爆破性；乘子空間

0　引言及預(yù)備知識(shí)

三維不可壓縮的Boussinesq方程是大氣科學(xué)中重要的模型之一，在地理學(xué)中也有重要的應(yīng)用，基于它的重要性，三維不可壓縮的Boussinesq方程已成為流體動(dòng)力學(xué)方程研究中的熱點(diǎn)［1-4］。

本文考慮下面的三維Boussinesq方程

在R3上的初值問(wèn)題，其中表示流體的速度場(chǎng)，P=P() x，t是壓力，是溫度場(chǎng)，μ>0是粘性系數(shù)，κ>0是熱擴(kuò)散系數(shù)，u0,θ0分別表示初始速度和初始溫度，且

空間X?r的范數(shù)定義如下：

1　主要結(jié)果及其證明

在乘子空間X?r獲得了三維不可壓縮的Boussinesq方程新的正則性準(zhǔn)則。

證明不失一般性，假定μ=κ=1。首先證明在條件（2）下結(jié)論成立。對(duì)系統(tǒng)（1）中的前兩個(gè)方程關(guān)于微分，然后分別乘以，通過(guò)在R3上進(jìn)行分部積分，得到

注意到不可壓縮條件??u=0，把（3）與（4）式相加有

對(duì)I1，利用分部積分、Ho?lder不等式及Young不等式可得

類似地，可以得到I2的估計(jì)：

估計(jì)I3。利用Young不等式可以得到

把估計(jì)式（6）～（8）代入式（5），得

所以

對(duì)于T0

通過(guò)式（11）可以得到

對(duì)式（13）在區(qū)間[T0]，t應(yīng)用Gronwall不等式，在條件

下，我們得到

這里C0是依賴T0的正數(shù)。

接下來(lái)做H3-范數(shù)估計(jì)，需用到下面的交換子估計(jì)［5］：

對(duì)A1作如下估計(jì)：

用估計(jì)式（14），對(duì)于T0

對(duì)于A2：

對(duì)于A3，再利用式（18）、（19），可以得到

把上面各估計(jì)式代入式（16），得到

定理1說(shuō)明了Boussinesq方程的正則性是由速度場(chǎng)u決定的。

參考文獻(xiàn)(References)

［1］李林銳，王術(shù).三維Boussinesq方程在有界區(qū)域的爆破性準(zhǔn)則［J］.河南科學(xué)，2010，28（9）：1065-1070.

［2］董柏青，宋娟.三維部分粘性Boussinesq方程的爆破準(zhǔn)則［J］.中國(guó)科學(xué)：數(shù)學(xué)，2010（12）：1225-1236.

［3］QIU H，DU Y，YAO Z. Serrin-type bloe-up criteria for three-dimensional Boussinesq equations［J］. Appl Anal，2010，89：1603-1613.

［4］QIU H，DU Y，YAO Z. Bloe-up criteria for 3D Boussinesq equations in the multiplier space［J］. Comm Nonl Sci Numer Simulat，2011，16：1820-1824.

［5］KATO T，PONCE G. Commutator estimates and the euler and navier-stokes equations［J］. Comm Pure Appl Math，1988，41 （7）：891-907.

（責(zé)任編輯：胡燕梅）

Blow up Criteria of 3D Boussinesq Equations on Speed

TIAN Chunhong
（Department of Basic Sciences，Nanhang Jincheng College，Nanjing 211156，Jiangsu，China）

Abstract：Considers the three-dimensional Boussinesq equations with the incompressibility condition，obtains a new blow up criteria for the three-dimensional Boussinesq equations in the multiplier space.

Keywords：Boussinesq equations；blow up criteria；multiplier space

作者簡(jiǎn)介：田春紅（1978—），女，講師，碩士，研究方向：微分方程。

收稿日期：2014-10-28

DOI：10.16389/j.cnki.cn42-1737/n.2015.01.006

中圖分類號(hào)：O175.8

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1673-0143（2015）01-0031-04