魏 峰, 王全九, 秦新強, 周蓓蓓

(1.西安理工大學 水資源研究所, 陜西 西安 710048; 2.西安理工大學 理學院, 陜西 西安 710048)

考慮尺度效應的土壤溶質運移動力學特征分析

魏 峰1,2, 王全九1, 秦新強2, 周蓓蓓1

(1.西安理工大學 水資源研究所, 陜西 西安 710048; 2.西安理工大學 理學院, 陜西 西安 710048)

摘要：[目的] 為了了解土壤環(huán)境中彌散尺度效應、動力學吸附等作用對溶質運移過程的影響。[方法] 應用Laplace變換方法和復變函數(shù)理論推得溶質運移動力學模型的解析解。利用De Hoog數(shù)值反演方法，驗證解析解的正確性，利用解析解分析溶質在土壤中的運移特征。[結果] 解析解的計算結果與反演函數(shù)Fourier級數(shù)項數(shù)2N較大(N=500)時的De Hoog數(shù)值計算結果吻合很好；土壤溶質濃度隨尺度效應的增強、吸附作用及生物降解作用的減弱而增大；分子擴散、一階動力學吸附以及吸附相溶質降解作用對溶質運移變化影響較小。[結論] 所推求解析解是正確的；土壤溶質運移的彌散尺度效應，溶質在液相和吸附相間的線性分配作用及溶質在液相中的降解作用是影響土壤溶質運移過程的主要因素。

關鍵詞：尺度效應； 非平衡吸附； 反應性溶質； Laplace變換； 解析解

水土環(huán)境污染是一個受到廣泛關注的問題。污染物、鹽分等溶質在土壤中運移、轉化是一個復雜過程。因此，探求溶質運移機理，建立適當?shù)哪M模型并尋求準確解，對分析預測溶質在水土環(huán)境中的運移范圍和分布特征至關重要，對預測和防治水土環(huán)境污染、土壤鹽漬化具有重要意義。對流—彌散方程是描述土壤中溶質運移規(guī)律的基本方程，但是土壤對溶質吸附而產生的延遲作用以及土壤非均質性結構產生的彌散尺度效應常常被概化為常數(shù)去處理[1-2]，這往往是不合適的[3-5]，不能反映實際農業(yè)水土環(huán)境污染、施肥過程中溶質運移轉化的動力學特征。由于土壤結構的多尺度特性，實際中土壤呈非均質特性，彌散度隨溶質運移距離而變化[3,6-8]?；诖?，人們將彌散度表示為土壤溶質運移距離的函數(shù)。參考文獻[7—9]將彌散度表示為土壤溶質運移距離的線性函數(shù)，在考慮線性吸附或無吸附時，通過Laplace變換得到了溶質運移問題的解析解。高光耀等[10]通過Laplace變換及De Hoog方法[11]得到了注水井附近反應性溶質運移問題的數(shù)值反演解。Chen等[12]用溶質運移距離的漸進函數(shù)表示彌散度，通過Laplace變換得到了溶質運移問題的冪級數(shù)解。Kumar等[13]將孔隙水流速度及水動力彌散系數(shù)都表示為距離的函數(shù)，利用積分變換技術得到非均質土壤中溶質運移問題的解析解。Perez等[14]考慮了線性平衡吸附作用，利用積分變換得到非均質土壤中的溶質運移問題的冪級數(shù)解。土壤顆粒對溶質吸附不是瞬時完成的，而是一個緩慢的過程，常表現(xiàn)為非平衡動力學特性。因此，預測、分析土壤溶質運移過程時，考慮土壤顆粒對溶質的動力學吸附特性非常重要[5,15-17]。

本文在充分考慮對流彌散、非平衡動力學吸附及微生物降解等條件下，建立水土環(huán)境中考慮尺度效應的溶質運移轉化的動力學模型。利用Laplace變換及解析反演方法得到模型的解析解，并對水動力彌散、動力學吸附及生物降解等作用對溶質運移過程的影響做進一步的分析，以期為土壤環(huán)境治理以及合理施肥等提供理論依據(jù)。

1數(shù)學模型

1.1　土壤溶質遷移的控制方程

溶質在土壤中的運移、轉化包括對流、彌散、吸附和微生物降解等過程?；谒畡恿浬⒗碚摰膶α鳌獜浬⒎匠?convection dispersion equation，CDE)[1]，設溶質彌散系數(shù)隨運移距離變化、溶質吸附過程滿足一級動力學吸附方程，液相和吸附相中的溶質均滿足一階降解方程，則可得非均質土壤中溶質運移的控制方程：

(1)

(2)

式中：c——液相溶質濃度(g/cm3)；s——吸附相溶質濃度(g/g)；θ——土壤體積含水量(cm3/cm3)；ρ——土壤干容重(g/cm3)；D(z)——水動力彌散系數(shù)(cm2/d)；v——土壤水平均孔隙流速(cm/d)；μ——液相溶質降解速率系數(shù)(1/d)；μ1——吸附相溶質降解速率系數(shù)(1/d)；k——一階動力學吸附速率系數(shù)(1/d)；kd——液相和吸附相間溶質分配系數(shù)(cm3/g)；t——時間(d)；z——溶質運移距離(cm)。

實際中，由于非均質土壤中溶質運移的彌散系數(shù)是隨溶質運移的距離而變化的[3,7-8]。水動力彌散系數(shù)可表示為：

D(z)=azv+D0

(3)

式中：D0——分子擴散系數(shù)(cm2/d)；a——經驗參數(shù)。

Huang等[8]認為反映土壤非均質特性的參數(shù)a的變化范圍為0≤a≤1。

1.2　定解條件

穩(wěn)態(tài)條件下，考慮半無限土柱內的溶質運移情況設容質的初始濃度為0，溶質運移的上邊界條件為濃度已知邊界。

初始條件：c(z,0)=s(z,0)=0

(4)

上邊界條件：c(0,t)=c0(t>0)

(5)

其中c0為輸入溶質濃度。

(6)

2解析解的推導

將式(3)代入式(1)可得

(7)

對式(7)和式(2)分別作Laplace變換得

(8)

(9)

將式(9)代入式(8)得

(10)

(11)

(12)

其中，A(p)、B(p)為待定函數(shù)，Iγ(λη)，Kγ(λη)分別為γ階第一、二類虛宗量Bessel函數(shù)。

(13)

(14)

p3=-(k+μ1)

(15)

已知p1

根據(jù)邊界條件式(6)及Iγ(λη)的性質可得B(p)=0，從而

(16)

對式(5)作Laplace變換得

(17)

(18)

對Laplace變換解式(18)可通過解析反演、數(shù)值反演得到實變函數(shù)解。對于數(shù)值反演，只有選取適當參數(shù)時，才能加快收斂速度，避免出現(xiàn)數(shù)值彌散和震蕩的現(xiàn)象。本文利用復變函數(shù)理論推求解析解。

對式(18)作Laplace逆變換得

(19)

(20)

式中：x——積分變量；Jγ(lη)——γ階第一類Bessel函數(shù)；Yγ(lη)——γ階第二類Bessel函數(shù)。

3結果與分析

利用數(shù)值反演解驗證所推解析解式(20)的準確性，并運用解析解式(20)對土壤溶質運移變化規(guī)律以及相應參數(shù)對溶質運移過程的影響作分析研究。參考文獻[9,14,17]，設置相應參數(shù)為：a=1，D0=1(cm2/d)，θ=0.4，ρ=1.2(g/cm3)，v=25(cm/d)，k=1(1/d)，kd=0.1(cm3/g)，μ=0.15(1/d)，μ1=0.15(1/d)。依據(jù)數(shù)值反演的方法[10-11]和所推得的解析方法，利用Matlab編程繪制圖1，2。由圖1，2可見，反演函數(shù)的Fourier級數(shù)的項數(shù)2N較小(N=20)時計算結果會出現(xiàn)數(shù)值彌散和震蕩的現(xiàn)象，N值較大(N=500)時計算結果穩(wěn)定且和解析解的計算結果吻合很好。說明所推求解析解合理，可用于溶質運移變化規(guī)律的分析。

3.1　溶質在土壤中的分布規(guī)律

依據(jù)式(20)，分別取距離z=10，30，50 cm，用Matlab編程繪制圖1，即不同長度(10，30，50 cm)土柱的溶質運移穿透曲線。由圖1可見，穿透曲線基本可分兩階段。前一階段曲線斜率較大，表明土壤中各點處的溶質濃度在前期都隨時間的增加而增加；后一階段曲線斜率逐漸減小，趨近于0，這時溶質濃度都逐漸穩(wěn)近于某一水平。而溶質在靠近輸入口處達到固定水平的時間要短一點，即近距離處溶質完全穿透的時間短。同時可見，較短土柱出口處的溶質濃度增加的速度很快，隨著土柱長度的增加，溶質濃度增加的速度變緩，并且溶質穿透曲線逐漸下移。這是因為溶質向遠處運移過程中，土壤顆粒吸附過程對溶質運移行為起到延遲作用，同時生物降解過程降低了溶質濃度，濃度梯度變小，使溶質運移速度變緩。

圖1　不同距離處溶質穿透曲線

依據(jù)式(20)，分別設置時間t=1，3，5 d，用Matlab編程繪制圖2，即不同時刻(1，3，5 d)的溶質運移的剖面分布曲線。由圖2可見，各時刻的溶質分布曲線都隨著距離的增加而遞減到0。同時隨著時間的增加，溶質分布曲線遞減的速度變緩，并且逐漸上移。這是因為溶質的連續(xù)輸入，溶質逐漸運移到遠處，使得遠處溶質濃度小于近處的濃度；又因為溶質在遠處逐漸積累的作用，溶質濃度隨時間逐漸增大，同時使得濃度梯度逐漸變小，溶質運移速度變得越來越緩慢。

圖2　不同時間溶質分布曲線

3.2　參數(shù)對土壤溶質運移的影響分析

設孔隙水流速度為v=25 cm/d，依據(jù)解析解式(20)，用Matlab編程繪制時間為t=2 d的溶質運移剖面分布曲線圖，分析尺度效應、吸附系數(shù)及降解系數(shù)對土壤溶質運移過程的影響。

圖3為不同經驗常數(shù)a，分子擴散系數(shù)D0值對應的土壤溶質濃度的剖面曲線。由圖3可見，經驗常數(shù)a值越大，對應靠近輸入口處的溶質濃度越小，而其對應的離輸入口較遠處的溶質濃度高于較小經驗常數(shù)a值的情況；同時可見，溶質的運移鋒面越遠。這是因為經驗常數(shù)a值越大，土壤溶質運移的尺度效應更強，土壤分散溶質的能力更大，溶質向遠距離處運移的速度更快，溶質運移的范圍更大，從而相對較小經驗常數(shù)a值的情況，近距離處溶質濃度快速下降，而較遠處溶質濃度漸漸累積上升。經驗常數(shù)a值固定，分子擴散系數(shù)D0值增大時溶質濃度剖面曲線逐漸上移。這是因為分子擴散系數(shù)D0值越大，分子擴散作用越強，土壤溶質擴散范圍增大，濃度升高，但是變化幅度不大。由此可見，土壤溶質運移的尺度效應引起的機械彌散作用在溶質運移過程中起著主要作用。

圖3　不同a，Dm值對應的土壤溶質濃度分布曲線

圖4為不同一階動力學吸附速率系數(shù)k、液相和吸附相間溶質分配系數(shù)kd值對應的土壤溶質濃度的剖面曲線。由圖4可見，土壤對溶質有吸附作用時比無吸附作用(k=0、kd=0)時的溶質濃度剖面曲線低，這是由于溶質被土壤顆粒吸附而降低了液相中溶質的濃度。隨著一階動力學吸附速率系數(shù)k、液相和吸附相間溶質分配系數(shù)kd值的增大，溶質濃度曲線都下移。這是由于一階動力學吸附速率系數(shù)k值、液相和吸附相間溶質分配系數(shù)kd值增大時，土壤對溶質的吸附作用加強，吸附在土壤顆粒上的溶質量在增加，同時液相中溶質的量在減少，溶質濃度降低；一階動力學吸附速率系數(shù)k值增大時溶質濃度曲線下移幅度比液相和吸附相間溶質分配系數(shù)kd值增大時的溶質濃度曲線下移幅度小，這說明液相和吸附相間溶質分配系數(shù)kd值對溶質濃度影響比一階動力學吸附速率系數(shù)k值對溶質濃度影響要大，吸附過程中以溶質在液相和吸附相間的分配作用為主。

圖4　不同k，kd值對應的土壤溶質濃度分布曲線

圖5為不同液相溶質降解速率系數(shù)μ，吸附相溶質降解速率系數(shù)μ1值對應的土壤溶質濃度的剖面曲線。由圖5可以看出，溶質濃度分布曲線都隨著液相溶質降解速率系數(shù)μ，吸附相溶質降解速率系數(shù)μ1值的增大而逐漸下移。這是因為當降解系數(shù)增大時， 溶質降解的速率增大，土壤溶質含量減少，溶質濃度降低；液相溶質降解速率系數(shù)μ對溶質運移變化影響很大，而吸附相溶質降解速率系數(shù)μ1對溶質運移變化基本上沒有影響。這是由于吸附相溶質含量比液相的要少得多，當液相溶質降解速率系數(shù)增大時，液相中的溶質降解量相對增加很大，從而使土壤溶質濃度降低很多。由此可見，降解過程中溶質在液相中的降解起主要作用。

圖5　不同μ，μ1值對應的土壤溶質濃度分布曲線

4結 論

充分考慮對流彌散、非平衡動力學吸附、微生物降解等情況下，建立了考慮尺度效應的土壤溶質運移的動力學模型。并采用Laplace變換和復變函數(shù)等理論，在連續(xù)輸入條件下推得模型的解析解。利用De Hoog數(shù)值反演方法對解析解進行驗證，并分析了彌散、吸附和降解等作用對溶質運移過程的影響。結果表明，本研究所得解析解是正確的，可用于土壤溶質運移過程的模擬，為實際應用提供理論依據(jù)；土壤溶質運移的尺度效應在溶質運移過程中起著主要作用，經驗參數(shù)a值越大，對應靠近輸入口處的溶質濃度越小，而遠離輸入口處的溶質濃度越高，溶質分布范圍更廣，溶質的運移鋒面更遠；溶質濃度隨一階動力學吸附速率系數(shù)k，液相和吸附相間溶質分配系數(shù)kd值的增大而降低，而受液相和吸附相間溶質分配系數(shù)kd值的影響更大，吸附過程中以溶質在液相和吸附相間的分配作用為主；溶質濃度也隨著液相溶質降解速率系數(shù)μ，吸附相溶質降解速率系數(shù)μ1值的增大而降低，而受液相溶質降解速率系數(shù)μ值的影響更大，降解過程中溶質在液相中的降解起主要作用。

[參考文獻]

[1]Van Genuchten M T, Alves W J. Analytical solutions of the one-dimensional convective-dispersive solute transport equation[R]. United States Department of Agriculture, Economic Research Service, 1982.

[2]Ziskind G, Shmueli H, Gitis V. An analytical solution of the convection-dispersion-reaction equation for a finite region with a pulse boundary condition[J]. Chemical Engineering Journal, 2011,167(1):403-408.

[3]Pickens J F, Grisak G E. Modeling of scale-dependent dispersion in hydrogeologic systems[J]. Water Resources Research, 1981,17(6):1701-1711.

[4]Sposito G, Jury W A, Gupta V K. Fundamental problems in the stochastic convection-dispersion model of solute transport in aquifers and field soils[J]. Water Resources Research, 1986,22(1):77-88.

[5]Sharma P K, Srivastava R. Numerical analysis of virus transport through heterogeneous porous media[J]. Journal of Hydro-environment Research, 2011,5(2):93-99.

[6]鄭紀勇,邵明安,張興昌,等.坡地土壤溶質遷移參數(shù)的空間變異特性[J].應用生態(tài)學報,2005,16(7):1285-1289.

[7]Yates S R. An analytical solution for one-dimensional transport in heterogeneous porous media[J]. Water Resources Research, 1990,26(10):2331-2338.

[8]Huang Kangle, Van Genuchten M T, Zhang Renduo. Exact solutions for one-dimensional transport with asymptotic scale-dependent dispersion[J]. Applied Mathematical Modelling, 1996,20(4):298-308.

[9]張德生,沈冰,沈晉,等.穩(wěn)態(tài)條件下土壤溶質運移的兩區(qū)模型及其解析解[J].水利學報, 2003,34(10):44-50.

[10]高光耀,馮紹元,霍再林,等.考慮彌散尺度效應的溶質徑向運移動力學模型及半解析解[J].水動力學研究與進展:A輯, 2009,24(2):156-163.

[11]De Hoog F R, Knight J H, Stokes A N. An improved method for numerical inversion of Laplace transforms[J]. SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, 1982,3(3):357-366.

[12]Chen Juisheng, Ni Chuenfa, Liang Chingping, et al. Analytical power series solution for contaminant transport with hyperbolic asymptotic distance-dependent dispersivity[J]. Journal of Hydrology, 2008,362(1):142-149.

[13]Kumar A, Jaiswal D K, Kumar N. Analytical solutions to one-dimensional advection-diffusion equation with variable coefficients in semi-infinite media[J]. Journal of Hydrology, 2010,380(3):330-337.

[14]Pérez Guerrero J S, Skaggs T H. Analytical solution for one-dimensional advection-dispersion transport equation with distance-dependent coefficients[J]. Journal of Hydrology, 2010,390(1):57-65.

[15]Magga Z, Tzovolou D N, Theodoropoulou M A, et al. Combining experimental techniques with non-linear numerical models to assess the sorption of pesticides on soils[J]. Journal of Contaminant Hydrology, 2012,129:62-69.

[16]欒茂田,張金利,楊慶.非平衡—非線性吸附情況下填埋場污染物運移分析[J]. 巖土力學,2005,25(12):1855-1861.

[17]Besnard K, de Dreuzy J R, Davy P, et al. A modified Lagrangian-volumes method to simulate nonlinearly and kinetically sorbing solute transport in heterogeneous porous media[J]. Journal of Contaminant Hydrology, 2011(120/121):89-98.

[18]王竹溪,郭敦仁.特殊函數(shù)概論[M].北京:北京大學出版社,2012.

An Analysis on Dynamic Characteristics of Solute Transport Through

Heterogeneous Soils with Scale-dependent Dispersion

WEI Feng1,2, WANG Quanjiu1, QIN Xinqiang2, ZHOU Beibei1

(1.InstituteofWaterResource,Xi’anUniversityofTechnology,Xi’an,Shaanxi710048,China;

2.SchoolofScience,Xi’anUniversityofTechnology,Xi’an,Shaanxi710048,China)

Abstract：[Objective] To understand the scale-dependent dispersion and non-equilibrium kinetic adsorption etc. on solute transport in heterogeneous soils.[Methods] An analytical solution of one-dimensional reactive scale-dependent solute transport kinetic model was obtained by Laplace-transform and the inverse transform based on the complex formulation, and was illustrated to be accurate compared with the De Hoog numerical inversion method. Moreover, the distribution regularities of the solute concentration in soil were discussed and the scale effects of soil solute transport, sorption and degradation on the solute transport were analyzed by using the analytical solution.[Results] The calculations of the analytical solution and the De Hoog numerical inversion was in good agreement when inverse function Fourier series number N was 500. The solute concentration increased with the increase of the heterogeneity of soils and the decrease of adsorption and degradation of solute, and it had little change with the molecular diffusivity, first-order kinetic rate process and the degradation of the sorbed phase.[Conclusion] The research confirmed that the scale effects of soil solute transport, the sorption distribution between the two regions and the degradation in the liquid phase play major roles in solute transport through heterogeneous soils.

Keywords:scale effects; non-equilibrium adsorption; reactive solute; Laplace-transform; analytical solution

中圖分類號：S153.5

文獻標識碼：A

文章編號：1000-288X(2015)01-0042-05

通信作者：王全九(1964—),男(漢族),內蒙古豐鎮(zhèn)市人,博士,教授,博士生導師,主要從事土壤物理與溶質運移研究。E-mail:wquanjiu@163.com。

收稿日期：2014-02-21修回日期：2014-03-03

資助項目：國家自然科學基金項目“黃土坡地土壤養(yǎng)分隨地表徑流流失動力機制與模擬模型”(51239009);“土壤水氣熱傳輸綜合動力學特征及其參數(shù)確定方法”(51179150);“黃土區(qū)土壤優(yōu)先流溶質遷移的試驗研究”(41001132)

第一作者：魏峰(1973—),男(漢族),陜西省扶風縣人,博士研究生,研究方向為土壤溶質運移數(shù)學模擬。E-mail:weifxd@163.com。