呂幫俊 彭利坤 何曦光

(海軍工程大學(xué)動力工程學(xué)院 武漢 430033)

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基于MATCONT的潛艇垂直面操縱運(yùn)動穩(wěn)定性與分叉分析*

呂幫俊 彭利坤 何曦光

(海軍工程大學(xué)動力工程學(xué)院 武漢 430033)

基于Matlab數(shù)值分岔分析工具箱MATCONT對潛艇高速機(jī)動時的運(yùn)動穩(wěn)定性與分岔問題進(jìn)行了研究。分析了潛艇重心坐標(biāo)和尾升降舵角變化時的單參數(shù)分岔,搜索到系統(tǒng)的鞍結(jié)分岔和BP分岔點(diǎn),通過垂直面非線性運(yùn)動方程數(shù)值積分的動態(tài)仿真,驗(yàn)證了動態(tài)仿真與數(shù)值分析結(jié)果的一致性。

潛艇; 垂直面運(yùn)動; 穩(wěn)定性與分岔; MATCONT

Class Number U661; TP13

1 引言

確定潛艇運(yùn)動穩(wěn)定性的傳動方法主要集中在直線基準(zhǔn)運(yùn)動附近小擾動情況下,基于線性近似模型,使用垂直面和水平面兩個獨(dú)立的穩(wěn)定性指標(biāo)來判斷[1]。

潛艇水下空間機(jī)動本質(zhì)上是一種非線性運(yùn)動,因此描述潛艇運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型也應(yīng)該是非線性的。現(xiàn)代潛艇的朝著大潛深、高航速的方向發(fā)展,尤其是戰(zhàn)術(shù)訓(xùn)練中往往需要潛艇在垂直面以高航速、大舵角作強(qiáng)機(jī)動,這些對潛艇的操縱控制技術(shù)提出了更高的要求。隨著航速的提高,水動力的非線性、不對稱性和耦合特性使得潛艇的空間機(jī)動呈現(xiàn)高維復(fù)雜非線性特征,而目前針對高維非線性系統(tǒng)復(fù)雜動力學(xué)特性的研究尚不充分。美國海軍研究生院的Papoulias等[2～3]應(yīng)用非線性動力學(xué)及非線性數(shù)值分析的相關(guān)理論對潛艇在低速深度控制下水平舵的多穩(wěn)態(tài)解,自由正浮力上浮中的運(yùn)動穩(wěn)定性等問題作了系統(tǒng)分析。戴余良等[4]應(yīng)用奇異性和分叉理論,采用同倫延拓數(shù)值計算方法,研究了航速、升降舵、方向舵和剩余浮力等因素對潛艇應(yīng)急上浮過程運(yùn)動穩(wěn)定性的影響。王曉玢等[5]以葛特勒方程為基礎(chǔ),研究潛艇處于高速大舵角的運(yùn)動模態(tài),為強(qiáng)機(jī)動情況下潛艇操縱及自動控制系統(tǒng)的設(shè)計提供理論。

本文采用基于Matlab的數(shù)值分叉分析工具箱MATCONT,針對潛艇垂直面非線性運(yùn)動模型進(jìn)行穩(wěn)定性和分叉分析,重點(diǎn)研究高航速下操縱尾升降舵角以及重心位置變化情況下模型的穩(wěn)態(tài)解和分叉情況,為強(qiáng)機(jī)動下潛艇的運(yùn)動穩(wěn)定性和航行安全性提供參考依據(jù)。

2 數(shù)學(xué)模型

考慮潛艇的受力,其垂直面運(yùn)動二階非線性方程:

-(xGW-xBB)cosθ-(zGW-zBB)sinθ

η=0.012n/u

其中采用的坐標(biāo)系和主要參數(shù)如圖1所示,u,w,q分別為潛艇的縱向速度、垂向速度和縱傾角速度;θ,ζ分別為潛艇的縱e傾角和深度;δb,δs分別為潛艇的首、尾升降舵角;W,B分別為潛艇的重力和浮力;xG,B,zG,B分別為潛艇重心和浮心的位置坐標(biāo),n為螺旋槳轉(zhuǎn)速,Cd0為潛艇的阻力系數(shù)。

3 同倫延拓非線性數(shù)值計算方法

為解決應(yīng)用分岔理論對非線性系統(tǒng)進(jìn)行分岔分析時,定量搜索分岔點(diǎn)、判斷分岔點(diǎn)及確定分岔點(diǎn)處新分支方向等數(shù)值分析難題,比利時Govaerts[6]等開發(fā)了基于MATLAB—GUI平臺求解參數(shù)化非線性動力微分方程的分岔分析工具箱MATCONT,它可以計算平衡點(diǎn)曲線、極限點(diǎn)、Hopf分岔、極限環(huán)等,其算法的核心是基于同倫延拓的非線性數(shù)值計算方法。

圖1 坐標(biāo)系和運(yùn)動參數(shù)

對于含參數(shù)的常微分方程系統(tǒng)

如果系統(tǒng)的Jacobi矩陣在平衡點(diǎn)處存在零特征值,則平衡點(diǎn)是奇異的,在奇異點(diǎn)處可能出現(xiàn)靜態(tài)分岔。平衡點(diǎn)靜態(tài)分岔問題實(shí)際上是平衡方程的多重解問題。

同倫延拓方法是求解非線性問題的一種非常有效的方法,它克服了傳統(tǒng)迭代法局部收斂的弱點(diǎn),對初值的選取沒有嚴(yán)格限制,能夠全局收斂,可以求出問題的全部解。傳統(tǒng)的求解方法如迭代法、消去法等存在的最大問題是依賴于初值的選取,初值選擇不當(dāng)常常導(dǎo)致迭代過程不收斂,而且很難求出全部解。因此,同倫延拓方法被譽(yù)為二十世紀(jì)數(shù)學(xué)研究中一項帶突破性的新成果。

為了求解非線性方程組f(x)=0,其中光滑映射f:Rn→Rn,x=[x1,x2,…,xn]T,選取具有已知零點(diǎn)的光滑輔助映射g:Rn→Rn,將其與映射f構(gòu)成一線性同倫函數(shù)H:Rn×Rn→Rn,使得H(x,0)=g(x)和H(x,1)=f(x),典型的同倫函數(shù)為

H(x,λ)=λ·f(x)+(1-λ)·g(x)λ∈[0,1]

對于同倫方程組H(x,λ)=0,當(dāng)λ=0時,其解與輔助方程組g(x)=0的解相同;讓同倫參數(shù)λ從0逐漸變化到1,并跟蹤同倫方程組的解,則當(dāng)λ=1時,同倫方程組的解便是待解方程組f(x)=0的解。

4 潛艇垂直面操縱運(yùn)動分叉分析

1) 計算條件:δb=δs=0,n=1000rpm,W=B=13400N,xB=xG=zB=0,潛艇縱傾角隨重心坐標(biāo)zG變化的穩(wěn)態(tài)解和分岔情況如圖2所示。

圖3為以zG為同倫參數(shù)時特征根實(shí)部的變化情況,zG的變化范圍為[-3.5,3],在zG=0附近系統(tǒng)特征值實(shí)部的正負(fù)號發(fā)生了改變,因此zG>0時平衡點(diǎn)穩(wěn)定,zG<0時平衡點(diǎn)不穩(wěn)定。研究平衡點(diǎn)在BP點(diǎn)的分岔情況,發(fā)現(xiàn)在BP點(diǎn)處與原解曲線垂直的方向上出現(xiàn)了新的兩支解曲線,圖2所示。在這兩支新的解曲線上,縱傾角急劇增加。這是因?yàn)橹匦膠G=0時,重心與浮心重合,穩(wěn)定中心高及縱傾扶正力矩為零,稍有擾動,潛艇姿態(tài)就會發(fā)生無法預(yù)料的劇烈變化,這是應(yīng)當(dāng)避免的情況。

圖4中給出了分岔點(diǎn)BP前后潛艇縱傾角隨時間的動態(tài)響應(yīng)曲線,其中實(shí)線和虛線分別對應(yīng)于zG=0.1和zG=-0.1時,潛艇初始縱傾角均為θ=10°,可以看出zG=0.1時潛艇縱傾角可以回復(fù)到零,而zG=-0.1時系統(tǒng)是發(fā)散的。

2) 計算條件:δb=0,n=1000rpm,W=B=13400N,zG=0.061m,xB=zB=0,圖5中,實(shí)線、虛線和點(diǎn)劃線分別表示當(dāng)xG=0、xG=1%L和xG=-1%L時,潛艇縱傾角隨尾舵角δs變化的穩(wěn)態(tài)解和分岔情況,其中L為艇長。

圖2 縱傾角隨zG的變化

圖3 系統(tǒng)特征值隨zG的變化

圖4 分岔點(diǎn)前后潛艇的縱傾響應(yīng)

當(dāng)xG=0,δs=±0.93°時,系統(tǒng)發(fā)生了鞍結(jié)分岔,圖6為相應(yīng)的系統(tǒng)特征值實(shí)部的變化情況,分岔點(diǎn)處系統(tǒng)的特征值為零,而在分岔點(diǎn)附近系統(tǒng)特征值實(shí)部的正負(fù)號發(fā)生了改變,系統(tǒng)的穩(wěn)定性也隨之發(fā)生變化。在鞍結(jié)分岔點(diǎn)潛艇縱傾角為90°,此時艇的重心和浮心在同一水平面內(nèi)。當(dāng)縱傾角小于90°時,浮心在重心之上,此時重力和浮力產(chǎn)生的合力矩為扶正力矩,在此力矩的作用下,潛艇定深航行時因?yàn)閿_動產(chǎn)生的小量縱傾能夠回復(fù)到無縱傾狀態(tài);而當(dāng)潛艇縱傾角大于90°時,重心在浮心之上,此時重力和浮力產(chǎn)生的合力矩為傾覆力矩,在此力矩的作用下,潛艇的小量縱傾將進(jìn)一步增大,導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)xG=1%L時,潛艇的重心向艇首方向移動,從而引起了縱向穩(wěn)定中心高的增大,因此分岔點(diǎn)對應(yīng)的尾舵角值也有所增大,另一方面,由于重心向艇首方向的移動,當(dāng)潛艇首傾使得重心和浮心在同一水平面時對應(yīng)的縱傾角將大于90°,而當(dāng)潛艇尾傾使得重心和浮心在同一水平面時對應(yīng)的縱傾角將小于90°,所以圖5中δs>0時對應(yīng)的分岔點(diǎn)位于xG=0時的分岔點(diǎn)的右下方,δs<0時對應(yīng)的分岔點(diǎn)位于xG=0時的分岔點(diǎn)的左下方。對于xG=-1%L時分岔點(diǎn)的移動情況可用類似的方法進(jìn)行分析。

圖5 對于不同xG縱傾角隨δs的變化

圖6 對于不同xG系統(tǒng)特征值隨δs的變化

圖7 分岔點(diǎn)前后潛艇的縱傾響應(yīng)

圖7給出了xG=0時,右側(cè)分岔點(diǎn)前后潛艇縱傾角隨時間變化的動態(tài)相應(yīng)曲線,進(jìn)一步說明了由靜態(tài)分岔引起的狀態(tài)突變的響應(yīng)過程。

5 結(jié)語

基于Matlab的數(shù)值分岔分析工具箱MATCONT,研究了潛艇高航速下垂直面非線性運(yùn)動的穩(wěn)定性和分岔問題。分別以尾升降舵角和重心垂向坐標(biāo)為同倫參數(shù),分析了某模型艇垂直面運(yùn)動的穩(wěn)態(tài)解和分岔情況,所得分岔點(diǎn)以及分岔點(diǎn)附近運(yùn)動穩(wěn)定性的變化情況與目前已知的潛艇運(yùn)動規(guī)律一致,從而驗(yàn)證了進(jìn)一步利用該方法探討潛艇空間高速非線性運(yùn)動穩(wěn)定性和分岔問題的可行性,為強(qiáng)機(jī)動下潛艇的運(yùn)動穩(wěn)定性和航行安全性提供參考依據(jù)。

[1] 施生達(dá).潛艇操縱性[M].北京:國防工業(yè)出版社,1995.

[2] Papoulias F A, Aydin I. Out of plane solutions and bifurcations of submersibles in free positive buoyant ascent[J]. Journal of Ship Research,1994,38(4):259-271.

[3] Papoulias F A. Nonlinear studies of dynamic stability of submarines in the dive plane[J]. Journal of Ship Research,1995,39(4):347-356.

[4] 戴余良,王長湖,苗海,等.潛艇水下運(yùn)動穩(wěn)定性非線性分析研究[J].船舶力學(xué),2011,15(8):844-852.

[5] 王曉玢,孫堯,莫宏偉.潛艇操縱運(yùn)動分岔突變特性[J].工程力學(xué),2009,26(10):252-256.

[6] Govaerts W, Kuznetsov Yu A, Witte V De, et al. MATCONT and CL MATCONT: Continuation toolboxes in matlab[EB/OL]. http://www.sourceforge.com/,2011-08.

Stability and Bifurcation Analysis of Submarine Motion in Dive Plane Based on MATCONT

LV Bangjun PENG Likun HE Xiguang

(College of Power Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033)

The problem of dynamic stability and bifurcation of submarine motion in the dive plane is examined utilizing numerical bifurcation tool box MATCONT based on Matlab. The signal parameter bifurcations analysis including submarine stern plane deflection and coordinates of submarine center of gravity are studied respectively. The saddle-nod bifurcation and branch point are obtained, and the stability analysis results are verified by direct numerical integration of the nonlinear equations.

submarine, motion in vertical plane, stability and bifurcation, MATCONT

2014年7月7日,

2014年8月14日

呂幫俊,男,博士,講師,研究方向:潛艇操縱。

U661; TP13

10.3969/j.issn1672-9730.2015.01.015