鄒　爭，董從林，袁成清，毛樹華，嚴新平

(武漢理工大學(xué)，湖北 武漢 430063)

基于二參數(shù)威布爾分布的水潤滑橡膠尾軸承可靠性壽命分析

鄒爭，董從林，袁成清，毛樹華，嚴新平

(武漢理工大學(xué)，湖北 武漢 430063)

摘要：保障船舶尾軸承的可靠性使用是保證船舶安全可靠運行的關(guān)鍵技術(shù)之一。針對水潤滑橡膠尾軸承運行環(huán)境的復(fù)雜性、壽命失效數(shù)據(jù)難以收集等特點，對水潤滑橡膠尾軸承模型進行適當(dāng)簡化，通過實驗?zāi)M，采用威布爾分布與極大似然估計相結(jié)合的方法建立數(shù)學(xué)模型來間接評估尾軸承的可靠壽命。結(jié)果表明，實際數(shù)據(jù)和數(shù)學(xué)模型具有較好的擬合精度；船舶水潤滑橡膠尾軸承的中位壽命較平均壽命更為保守；進一步提高橡膠材料的承載、抗磨和抗老化能力對提高水潤滑橡膠尾軸承的使用壽命極為有利。

關(guān)鍵詞：水潤滑橡膠尾軸承；威布爾分布；極大似然估計；可靠壽命

0引言

船舶水潤滑橡膠尾軸承是船舶推進系統(tǒng)的關(guān)鍵支撐、易損部件。水潤滑橡膠尾軸承具有眾多優(yōu)點，首先，使用水潤滑橡膠尾軸承能有效避免油脂類潤滑劑泄漏造成對江河湖泊的污染；其次，水潤滑橡膠尾軸承具有較好的耐熱性、耐磨性和密封性，也具有優(yōu)異的抗沖擊、吸震等力學(xué)性能。由于其可靠性使用壽命直接影響船舶的安全運行和經(jīng)濟效益，探索水潤滑橡膠尾軸承的可靠性壽命并做出相應(yīng)分析具有重要意義。因此，眾多專家學(xué)者開展了對水潤滑橡膠尾軸承的研究[1-2]，推動其在船舶領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。

然而，即使一批結(jié)構(gòu)形式、尺寸、材料和加工方法上都相同的水潤滑橡膠尾軸承，它們的使用壽命卻各有長短，不盡相同，其原因是多方面的。首先，在交變載荷的作用下，水潤滑橡膠尾軸承的使用壽命可能相差幾倍甚至幾十倍；其次，工作環(huán)境如溫度和壓力的變化也會對它的壽命產(chǎn)生很大的影響。因此，有必要通過數(shù)據(jù)統(tǒng)計方法來確定船舶水潤滑橡膠尾軸承壽命與可靠性之間關(guān)系的分布函數(shù)及其特征值?，F(xiàn)在較流行的用于評估機械設(shè)備或零件壽命的數(shù)學(xué)模型包括指數(shù)分布、正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布[3]。對比前幾種數(shù)學(xué)模型，威布爾分布兼容性好，對各種類型的數(shù)據(jù)擬合能力強，可以全面地描述船舶水潤滑橡膠尾軸承不同失效期的失效過程與特征。因此，本文采用威布爾分布來評估水潤滑橡膠尾軸承的綜合壽命。

1基于二參威布爾分布的水潤滑尾軸承可靠性壽命模型

1.1　水潤滑橡膠尾軸承的威布爾分布模型

威布爾分布是由瑞典科學(xué)家威布爾(Weibull.W.)在1951年研究鏈的強度時提出的一種分布函數(shù)[4]。三參數(shù)威布爾分布的故障分布函數(shù)為：

(1)

式中：t為故障時間；m為形狀參數(shù)；r為位置參數(shù)；t0為尺度參數(shù)。

威布爾分布的位置參數(shù)r為產(chǎn)品開始發(fā)生故障的時機，也稱為最小的保險壽命或儲存壽命。從理論上來說，由于船舶水潤滑橡膠尾軸承存在一開始就發(fā)生故障的可能，當(dāng)r=0，那么式(1)變成了二參數(shù)威布爾分布的數(shù)學(xué)模型。本文采用二參數(shù)威布爾分布對水潤滑橡膠尾軸承的可靠性和壽命進行相關(guān)評估。

(2)

水潤滑橡膠尾軸承故障密度函數(shù)為：

(3)

水潤滑橡膠尾軸承可靠度函數(shù)為：

(4)

式中橡膠尾軸承的故障時間t可通過采集故障數(shù)據(jù)或?qū)嶒災(zāi)M的方式間接評估獲得，形狀參數(shù)m和位置參數(shù)η則可通過不同的計算方式計算獲得。評估出形狀參數(shù)m和位置參數(shù)η后，即可獲得任意可靠度下對應(yīng)的水潤滑橡膠尾軸承的壽命或任何壽命下對應(yīng)的可靠度。

1.2　基于極大似然估計的威布爾分布的參數(shù)估計

計算評估威布爾分布的參數(shù)有多種方法，目前常用的方法有極大似然估計法、最佳線性無偏估計和最佳線性不變估計法、矩法和最小二乘法估計法等。文獻[5-6]比較了以上各種計算方法的特點，結(jié)果表明極大似然估計法計算得出的數(shù)據(jù)能滿足實際要求，因此本文選用極大似然估計法來求解基于威布爾分布水潤滑橡膠尾軸承壽命評估模型的形狀參數(shù)m和位置參數(shù)η。

水潤滑橡膠尾軸承二參數(shù)威布爾分布的似然函數(shù)為：

(5)

兩邊同時取對數(shù)，可得水潤滑橡膠尾軸承二參數(shù)威布爾分布的對數(shù)似然函數(shù)：

(6)

對式(6)中的二參數(shù)m,η分別求導(dǎo)：

(7)

觀察可知，若直接令式(7)中的兩式為0難以直接解出威布爾分布的二參，因此還需要做一系列的相應(yīng)變換。于是令式(7)中第2式為0，則有：

(8)

將式(8)變形后有：

(9)

將式(9)帶入式(6)后作相應(yīng)變換有：

In[L(m,η)]=

(10)

經(jīng)過上述計算和化簡，最終式(10)變成了一個只與形狀參數(shù)m有關(guān)的函數(shù)，通過數(shù)值計算找出能使極大似然函數(shù)取得最大值的m，再通過式(9)計算出尺度參數(shù)η，最終得到基于二參數(shù)威布爾分布的水潤滑橡膠尾軸承可靠性壽命評估模型。

2水潤滑橡膠尾軸承的模擬試驗和數(shù)據(jù)分析

由于船舶水潤滑橡膠尾軸承的生命周期太長，且其故障數(shù)據(jù)難以收集，給評估計算它的可靠性帶來了一定的困難。本文將水潤滑橡膠尾軸承模型簡化，通過模擬試驗得出相關(guān)數(shù)據(jù)，并基于試驗數(shù)據(jù)來計算水潤滑橡膠尾軸承威布爾分布模型的二參數(shù)。

眾所周知，水潤滑橡膠尾軸承和尾軸之間有一定的允許配合間隙。由于螺旋槳和尾軸自身重力的作用，通常尾軸承最下面一塊板條所受的壓力最大、變形最嚴重，因此尾軸承最下面一塊板條最容易受到磨損。根據(jù)“短板理論”[7]，當(dāng)尾軸承最易磨損的那塊板條磨損達到一定的程度，使尾軸和尾軸承間的配合間隙大于最大允許配合間隙，即判定尾軸承失效，因此尾軸承的實際壽命可以用壽命最短的那塊板條的壽命進行判定。

船舶水潤滑橡膠尾軸承的簡化模擬試驗在SSB-100水潤滑尾軸承試驗臺架上進行，試驗裝置如圖1(a)所示，該臺架可以實時測量摩擦系數(shù)和尾軸轉(zhuǎn)速。與試塊摩擦面配合的試驗軸由45鋼制成，其軸頸鑲有ZQSn10-2襯套，襯套長175 mm，外徑為149 mm。摩擦副采用噴水潤滑的方式，潤滑水系統(tǒng)可以調(diào)節(jié)水溫和水量。試驗采用丁腈橡膠板條作為試驗材料，橡膠材料與銅H62板條粘合在一起，用夾具夾住銅質(zhì)板條并向橡膠板條施加垂直壓力，如圖2所示。橡膠板條的具體參數(shù)如表1所示。分別在比壓0.2，0.4和0.6 MPa下，6種不同轉(zhuǎn)速(50，150，250，350，500和1 000 r/min)下進行不停機試驗，總共是18種不同工況的試驗，每種工況恒定載荷和轉(zhuǎn)速，并進行8 h候的耐磨試驗。由于其中1組試驗失敗，故得到17組有效數(shù)據(jù)。試驗后將橡膠板條用烘箱烘干，分別用電子分析天平秤稱量式樣試驗前后的質(zhì)量，計算得出磨損量。

圖1　SSB-100水潤滑尾軸承試驗臺架Fig.1　SSB-100 test rig of water lubricated stern bearing

項目名稱具體信息板條材料丁腈橡膠板條長度/mm50板條寬度/mm20橡膠厚度/mm10橡膠的密度/kg·m-31.725×103橡膠的彈性模量/Pa7.8×106橡膠的泊松比0.47

通過尾軸和尾軸承間的配合間隙判定丁腈橡膠尾軸承是否失效。在假定橡膠板條均勻磨損的前提下，用最大極限磨損厚度除以每小時的磨損厚度即可間接估算出試驗橡膠板條的壽命，也就是承壓最大的尾軸承板條的壽命。根據(jù)實際情況，由船舶水潤滑橡膠尾軸承的設(shè)計標準可知，直徑為150~250 mm尾軸承的最大允許配合間隙為5 mm[8]，相應(yīng)計算公式如下：

尾軸承等效壽命=橡膠板條壽命=

公式簡化后為：

按從小到大的排列順序，相應(yīng)的試驗數(shù)據(jù)和計算結(jié)果如表2所示。

表2　尾軸承每小時的等效磨損量與對應(yīng)的預(yù)測壽命

將上述評估數(shù)據(jù)代入式(10)中，用Matlab編寫計算程序，一般來說m的取值為[0,10][9]，運行程序后得出當(dāng)m^=1.60(1.597 7)時似然函數(shù)有最大值，其極大值所在的位置如圖2所示。將m^代入式(9)可計算得出η^=13 768.07。

圖2　極大似然函數(shù)隨形狀參數(shù)m的變化趨勢Fig.2　Maximum likelihood function change with the　shape parameter “m”

根據(jù)故障分布函數(shù)的定義，設(shè)M為試驗所用的橡膠板條的總數(shù)，在t時刻之前(包括t時刻)判定失效的橡膠板條的個數(shù)為m(t)，則經(jīng)驗故障分布函數(shù)可表示為：

(11)

將估算出的形狀參數(shù)值m^和尺度參數(shù)值η^代入式(2)中，用Matlab作出故障分布函數(shù)F(t)隨故障時間的變化曲線，并將由式(11)計算所得的由經(jīng)驗故障函數(shù)(t,F′(t))組成的散點描在趨勢圖上(見圖3)。觀察散點圍繞故障分布函數(shù)曲線的分布情況，可以看出二者的擬合情況較好，這也說明用極大似然估計來解威布爾分布的二參數(shù)可行。

圖3　故障分布函數(shù)與經(jīng)驗故障分布函數(shù)擬合曲線圖Fig.3　The failure distribution function and experience　of failure distribution function fitting curve

3水潤滑尾軸承可靠壽命評估

估出威布爾分布的二參后便能方便地計算尾軸承在不同失效時間的可靠度，或是不同可靠度下的失效時間。本文分析對比水潤滑尾軸承的3個壽命，即平均壽命、額定壽命和中位壽命。

平均壽命可以用以下公式表征：

(12)

式(12)不易計算，可作適當(dāng)變換，T的k階原點距為：

(13)

(14)

得到：

(15)

令k=1， 可得平均壽命的計算公式：

(16)

額定壽命是可靠度取0.9時對應(yīng)的壽命。將R(t)=0.9代入方程(4)中解得：

(17)

中位壽命為水潤滑橡膠尾軸承的可靠度為R(t)=0.5的壽命，同樣將R(t)=0.5代入方程(4)中，可得：

(18)

代入評估得出的形狀參數(shù)值m^和尺度參數(shù)值η^，可計算得出平均壽命E(T)=12 344 h，額定壽命t0.9=3 373 h，中位壽命t0.5=10 949 h。

對比可見，中位壽命較平均壽命而言更為保守，可見利用可靠壽命來評估計算，對有需要的尾軸承進行及時的更換維修有利于降低故障率，提高經(jīng)濟效益。同時可靠度為0.9時的可靠壽命僅為3 373 h，過低的可靠壽命表明試驗材料間的壽命差異較為巨大，這可能與試驗橡膠板條的質(zhì)量有關(guān)，進一步提高橡膠板條材料的承載、抗磨和抗老化能力對大幅提高尾軸承的壽命和可靠度極為有利。

4結(jié)語

本文對水潤滑橡膠尾軸承進行了一定程度的簡化，提出尾軸承的壽命由承壓最大、磨損最快的最下面一塊板條的壽命所決定，同時用試驗的方法來間接獲得了尾軸承的失效數(shù)據(jù)，然后建立了基于二參數(shù)威布爾分布的水潤滑橡膠尾軸承壽命模型，得到了一些有意義的結(jié)論：

1)利用試驗所得的數(shù)據(jù)，文中用精確度較高的極大似然估計對二參數(shù)威布爾分布數(shù)學(xué)模型進行了評估計算，分析結(jié)果表明極大似然估計評估出的故障分布函數(shù)與實際數(shù)據(jù)間有較高的擬合精度。

2)對比平均壽命，可靠壽命和中位壽命，結(jié)果表明可靠壽命更為保守，用可靠壽命進行計算評估，對尾軸承進行及時的更換修理有利于降低故障率，提高經(jīng)濟效益。計算所得的額定壽命較低，由尾軸承的失效機理可知，進一步提高橡膠材料的承載、抗磨和抗老化能力對提高尾軸承的可靠壽命極為有利。

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Analysis reliability life of water lubricated rubber stern tube bearing based on two-parameter weibull distribution

ZOU Zheng,DONG Cong-lin,YUAN Cheng-qing,MAO Shu-hua,YAN Xin-ping

(Reliability Engineering Institute,Wuhan 430063,China)

Abstract：The reliability of the ship stern tube bearing is one of the key technologies to ensure safe and reliable operation of ship. For the water lubricated rubber bearing stern, which is under complex operating environment and difficult to collect life failure data, an appropriate simplification water lubricated rubber stern bearing model has been proposed to establish the mathematical model to indirectly assess the reliability life of stern bearing through simulation experiments using the Weibull distribution combining with maximum likelihood estimation method. The results show that there is good fitting accuracy between actual data and mathematical model. The median life of water lubricated rubber stern bearing is more conservative than the average life. The further improvement on the bearing capacity, wear and anti-aging capability of rubber material is extremely beneficial to improve the service life of water lubricated rubber stern tube bearing.

Key words：water lubricated rubber stern bearing;weibull distribution;maximum likelihood estimation;reliability life

作者簡介：鄒爭(1990-)，男，碩士研究生，主要從事船舶動力裝置系統(tǒng)性能分析方面的研究。

基金項目：教育部新世紀優(yōu)秀人才支持計劃資助項目(NCET-12-0910)；湖北省高端人才引領(lǐng)培養(yǎng)計劃資助項目(鄂科技通[2012]86號)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助項目(2012-II-018)

收稿日期：2014-03-26； 修回日期： 2014-04-08

文章編號：1672-7649(2015)02-0048-05

doi：10.3404/j.issn.1672-7649.2015.02.010

中圖分類號：TH117.1

文獻標識碼：A