張 海 燕

(宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 安徽 宿州 234000)

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Banach空間中二階非線性脈沖微分方程初值問題解的存在性

張 海 燕

(宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 安徽 宿州 234000)

摘要：利用Monch不動(dòng)點(diǎn)定理和分段估計(jì)方法, 結(jié)合Gronwall不等式, 研究了Banach空間中一類二階非線性脈沖微分方程初值問題解的存在性。 將該問題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的一階非線性脈沖積分方程, 在較弱的非緊性條件和先驗(yàn)估計(jì)條件下, 獲得了其解的存在性充分條件, 改進(jìn)和推廣了相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果。

關(guān)鍵詞：脈沖微分方程；初值問題；不動(dòng)點(diǎn)定理； 非緊性測(cè)度

脈沖現(xiàn)象作為一種瞬時(shí)突變現(xiàn)象，其數(shù)學(xué)模型可歸結(jié)為脈沖微分系統(tǒng)。這類脈沖系統(tǒng)在人口動(dòng)力系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)和控制理論等學(xué)科中有具體的模型應(yīng)用。本文考慮實(shí)Banach空間中二階非線性脈沖微分方程初值問題(IVP)：

(1)

1預(yù)備知識(shí)和引理

J′=J{t1,t2,…,tm},J0=[0,t1],J1=(t1,t2],…,Jm-1=(tm-1,tm]，

Jm=(tm,a],Tr={x′∈E|‖x′‖PC≤r},

Br={x∈PC1[J,E]|‖x‖PC1≤r}。

若x∈PC1[J,E]∩C2[J′,E]滿足(1)式，則稱x是(1)的解。對(duì)Banach空間中的有界集V用α(V)來表示V的Kuratowskii非緊性測(cè)度,有關(guān)非緊性測(cè)度的定義及性質(zhì)參見[6]。為了后文表述方便，首先給出下列引理：

引理1[7]設(shè)H={xn}?L[J,E]且存在

g∈L[J,R+],使得對(duì)一切

xn∈H,‖xn(t)‖≤g(t),a.e.,t∈J，

2主要結(jié)果

為方便起見，先列出下列條件

(H1)對(duì)任何r>0,f在J×Tr×Tr×Tr上一致連續(xù)，Ik在Tr上有界。

(H3)存在Mi≥0(i=1,2,3)，使得對(duì)任何H?Br,t∈J有α(t(t,(BH)(t),H(t),(TBH)(t))≤M1α((BH)(t))+M2α(H(t))+M3α((TBH)(t))

定理1設(shè)條件(H1)-(H3)滿足，則IVP(1)在PC1[J,E]∩C2[J′,E]中至少有一個(gè)解。

證明IVP(1)等價(jià)于一階非線性脈沖微分方程組

(2)

IVP(2)等價(jià)于非線性脈沖積分方程組

(3)

IVP(3)等價(jià)于一階非線性脈沖積分方程

(4)

則IVP(1)與積分方程(4)的解等價(jià)。而積分方程(4)的解等價(jià)于算子A有不動(dòng)點(diǎn)，即存在y∈PC[J,E]，使得(Ay)(t)=y(t)。由(H1)和(H3)易知A∶PC[J,E]→PC[J,E]是連續(xù)算子。

下面利用Monch定理證明算子A有不動(dòng)點(diǎn)。首先由假設(shè)(H2)知存在β>c和N>0使得

‖f(t,(By)(t),y(t),(TBy)(t)‖<β‖y(t)‖,

t∈J,‖y(t)‖>N，

再由(H1)中f的一致連續(xù)性可知

‖f(t,(By)(t),y(t),(TBy)(t)‖<

β‖y(t)‖+G,t∈J

(5)

其中G=sup{‖f(t,(By)(t),y(t),(TBy)(t)‖∶t∈J,‖y(t)‖

下證Ω0={y∈PC[J,E]|y=λAy,0≤λ≤1}是PC[J,E]中的有界集。對(duì)任給y∈Ω0，則存在0≤λ0≤1，使得y(t)=λ0(Ay)(t)。

當(dāng)t∈J0=[0,t1]時(shí)，由(4)(5)式得

(6)

故由(6)式和Gronwall不等式知

‖y(t)‖≤(‖y0‖+Gt1)eβt1=M0

‖I1((By)(t),y(t))‖≤β0

(7)

于是由(4)式和(7)式得

M0+β0

(8)

I1((By)(t1),y(t1))]

(9)

于是由(5)，(7)~(9)式得

‖u(t)‖≤‖y0‖+(1+t1)β0+

(10)

由(10)式和Gronwall不等式知

‖u(t)‖≤[‖y0‖+(1+t1)β0+

(t2-t1)G]eβ(t2-t1)=M1

故‖y‖PC≤M1,t∈J1。

以下驗(yàn)證滿足引理2的兩條件。首先取R>M″=max{M,M′}，令Ω={y∈PC[J,E]|max{‖y‖PC,‖By‖PC}

當(dāng)t∈J0=[0,t1]時(shí)，由非緊性測(cè)度的性質(zhì)、(4)式和假設(shè)(H3)以及引理1有

M3α((TBH)(s))]ds

(11)

因?yàn)锽H,TBH在每個(gè)區(qū)間Jk上都是等度連續(xù)的有界集，所以由引理1得

(12)

將(12)式代入(11)式知

(13)

于是由(13)式和Gronwall不等式有

α(H(t))=0,t∈J0

(14)

當(dāng)t∈J1=(t1,t2]時(shí)，由(13),(14)式可得

α(I1(BH)(t1),H(t1))=

M3(t2-t1)k0(t-s)α(H(s))]ds≤

(15)

由(15)式及Gronwall不等式,知α(H(t))=0,

3小結(jié)

文[1-3]在討論IVP(1)時(shí)，使用了脈沖項(xiàng)緊性條件和非緊性測(cè)度的先驗(yàn)估計(jì)限制性條件。本文利用分段估計(jì)方法，去掉了上述條件，獲得一般情形下IVP(1)解的存在性結(jié)果，本質(zhì)上推廣和改進(jìn)了文[1-3]的結(jié)果。

參考文獻(xiàn):

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[6] D.Guo, V.Lakskmikantham. Nonlinear problems in abstract cones[M]. New York : Academic press, 1988: 1-137.

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[8] K.Deimling. Nonlinear functional analysis[M]. Berlin: spring-Verlag, 1985: 203-215.

Existence of Solutions for a Class Initial Value Problems of Second-Order Nonlinear Impulsive Differential Equations in Banach Spaces

ZHANG Hai-yan

(School of Mathematics and Statistics, Suzhou University, Suzhou 234000, China)

Abstract:By using the Monch fixed theorem and a piece wise estimation method, and combining with a Gronwall inequality, a class initial value problems of second-order nonlinear impulsive differential equations in Banach Spaces is investigated, which can be reduced to the equivalent first-order nonlinear impulsive integral equation. Under weaker noncompactness and priori estimate conditions, some sufficient results on the existence of solution for the initial value problem are established. Some known results are extended and improved.

Key words:impulsive differential equations, initial value problems, fixed point theorem, measure of noncompactness

文章編號(hào)：1007-4260(2015)03-0019-03

中圖分類號(hào)：O175.8

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.03.006

作者簡介：張海燕，女，安徽靈璧人，碩士，宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授，主要從事非線性泛函分析及研究。

基金項(xiàng)目：安徽省教育廳自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(KJ2014A252)。

收稿日期：2015-02-02

網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2015-8-25 15:40網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20150825.1540.006.html