李　迅，孫光訊

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

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非連續(xù)治療策略對一類病毒傳染病全局動力學(xué)模型的影響

李迅，孫光訊

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

摘要：本文主要研究了一個(gè)具有非連續(xù)治療策略的病毒傳染病動力學(xué)模型。定義了基本再生數(shù)R0，利用微分包含的相差知識分析研究了該細(xì)胞病毒免疫反應(yīng)的平衡點(diǎn)存在性問題。當(dāng)R0>1時(shí)，通過構(gòu)造相應(yīng)的Lyapunov函數(shù)可證明模型滿足初始條件的每一個(gè)解都是在有限時(shí)間內(nèi)全局收斂于地方病平衡點(diǎn)；當(dāng)R0<1時(shí)，模型在有限時(shí)間內(nèi)收斂于無病平衡點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：病毒動力學(xué)模型；非連續(xù)治療策略；有限時(shí)間全局收斂；Lyapunov函數(shù)

數(shù)學(xué)模型在幫助理解病毒動力學(xué)方面扮演了一個(gè)重要的角色，如細(xì)胞病毒動力學(xué)問題[1-2]，但只討論了連續(xù)的微分方程，即細(xì)胞病毒的治療是連續(xù)的。但是在實(shí)際治療過程中，由于一些人為或者自然因素的影響，受感染的病毒數(shù)量會出現(xiàn)突然的增加，這就是非連續(xù)的治療現(xiàn)象。以下研究非連續(xù)治療策略對病毒傳播的影響。

1模型的建立

文獻(xiàn)[1]主要研究了如下的微分模型

在上述模型中引進(jìn)一個(gè)非連續(xù)的函數(shù)h(y)，得到如下的右端不連續(xù)微分方程

(1)

這里的參數(shù)都是正參數(shù)，其中x(t)表示易感染細(xì)胞，xy(t)表示已感染細(xì)胞(可產(chǎn)生病毒粒子)，z(t)表示免疫細(xì)胞數(shù)量，βxy表示細(xì)胞感染速率，pz表示免疫反應(yīng)的強(qiáng)度，函數(shù)h(y)表示治愈率，λ表示細(xì)胞的自然再生率，d表示細(xì)胞的自然死亡率。為了討論更一般的情況，允許函數(shù)h(y)存在一些跳躍間斷點(diǎn)，下面給出一些假設(shè)：

(H1) h(y)=φ(y),φ∶R+→R+是一個(gè)非減函數(shù)且在每一個(gè)緊致區(qū)間內(nèi)至多有有限個(gè)跳躍間斷點(diǎn)。

備注1不失一般性，假設(shè)函數(shù)φ在0處連續(xù)，否則將φ在0處的值定義為φ(0+)，這對模型(1)沒有任何影響。模型(1)的初始條件：

x(0)=x0≥0,y(0)=y0≥0,

z(0)=z0≥0

(2)

為了方便討論模型(1)解的問題，需引入右端不連續(xù)微分方程的Filipov解的定義，考慮如下右端不連續(xù)微分方程

x′(t)=f(t,x(t))

(3)

其中f關(guān)于變量是可測的且是局部有界的。

定義1[3]考慮如下的集值映射

(4)

設(shè)(x(t),y(t),z(t))，t∈[0,T)，T∈(0,+∞)是模型(1)的一個(gè)Filipov定義下的解，且該解在[0,T)的任一個(gè)子區(qū)間[t1,t2]上都是一致連續(xù)的，則由定義1知(x(t),y(t),z(t))滿足下面的微分包含

(5)

(6)

備注2對于上述的可測函數(shù)m(t)滿足以下兩個(gè)條件：

(1)m(t)是除[0,T)內(nèi)一系列零測度集以外的函數(shù)，由(x(t),y(t),z(t))唯一確定的測度函數(shù)；

(2)當(dāng)且僅當(dāng)(x(t),y(t),z(t))對所有的t∈[0,T)連續(xù)可微時(shí)，m(t)對所有的t∈[0,T)是連續(xù)的。

推論1假設(shè)(H1)是成立的，令(x(t),y(t),z(t))是模型(1)帶有初值條件x(0)=x0≥0,y(0)=y0≥0,z(0)=z0≥0在[0,T)上的一個(gè)解，這里的T∈(0,+∞)。由此可得x(t)≥0，y(t)≥0，x(t)≥0，t∈[0,T)。

證明由對模型(1)定義下的Filipov解的理解，可得(x(t),y(t),x(t))微分包含(5)的一個(gè)解。由微分方程(5)，可以得到

再結(jié)合x(0)=x0≥0,則能得到x(t)≥0，t∈[0,T)。

(7)

假設(shè)y0=0，則從(7)可以得到對任意的t∈[0,T)有y(t)=0。假如y0>0，可得對任意的t∈[0,T)有y(t)>0；否則，令t1=inf{t∶y(t)=0}，則有t1>0并且y(t1)=0。因?yàn)閥(t)在[0,T)上是連續(xù)的，則存在一個(gè)正的參數(shù)θ，對t∈[t1-θ,t1]使得t1-θ>0，且0

這就產(chǎn)生了矛盾，因此，可得對任意的t∈[0,T)有y(t)>0。

類似于y(t)>0的證明，也可得對任意的t∈[0,T)有z(t)>0。

2平衡點(diǎn)

為得到模型(1)的平衡點(diǎn)，先來定義它的一個(gè)常數(shù)解(x,y,z)=(x*,y*,z*),t∈(0,+∞)。顯然，若(x*,y*,z*)是模型(1)的平衡點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)

(8)

同時(shí)存在一個(gè)ξ滿足

(9)

這里的常數(shù)ξ*是唯一的，且ξ*=βx*y*-dy*-py*z*。

當(dāng)假設(shè)(H1)成立時(shí)，為了得到模型(1)的平衡點(diǎn)，接下來討論如下的微分包含：

(10)

(11)

由(11)式可以得到如下微分包含

(12)

令

證明首先來證微分包含(12)式存在一個(gè)正解。因?yàn)镽0>1，則g(0)>φ(0)>0，又因?yàn)間(y)是單調(diào)遞減函數(shù)，φ(y)關(guān)于y是非單減的函數(shù)。另外，g(y)≤0當(dāng)且僅當(dāng)

(13)

將(13)式的兩個(gè)方程相減可得，

定理1當(dāng)基本再生數(shù)R0>1時(shí)，模型(1)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)E*=(x*,y*,z*)滿足(11)式，其中y*是由引理1確定的唯一正解。

3有限時(shí)間內(nèi)的全局收斂

這一節(jié)主要通過構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)來證明模型(1)全局收斂于地方病平衡點(diǎn)E*和無病平衡點(diǎn)E0，為了證明這個(gè)結(jié)論，首先給出下面的假設(shè)，

(H2)假設(shè)R0>1，φ(y)在y*處有一個(gè)跳躍間斷點(diǎn)，其中y*是由引理1確定的唯一正解。另外取η*=βx*-d-pz*∈(φ((y*)-),φ((y*)+))，根據(jù)(H2)可以定義θ∶=min{φ((y*)+)-η*,η*-φ((y*)+)}>0

定理2在假設(shè)(H1),(H2)都成立的條件下，模型(1)所有滿足初始條件(2)下的每個(gè)解都在有限時(shí)間內(nèi)全局收斂于平衡點(diǎn)E*=(x*,y*,z*)。也即對于所有的

都有

(x,y,z)=(x*,y*,z*),t∈(0,+∞)

其中V0(x(0),y(0),z(0))=

(14)

構(gòu)造下面的Lyapunov函數(shù)

(15)

其中γ是一個(gè)正的常數(shù)，定理后面將給出它的取值范圍。很容易發(fā)現(xiàn)V1(S(t),I(t),R(t))是一個(gè)正則函數(shù)，當(dāng)(S(t),I(t),R(t))≠0時(shí)，V1(S(t),I(t),R(t))>0且V1(0,0,0)=0;當(dāng)S→+∞或I→+∞或R→+∞時(shí)，V1(S(t),I(t),R(t))→+∞，則有

[η(t)-η*](I+y*)}≤-ds2+γβS[η(t)-η*]-

將上式兩邊從0到t積分可得

0≤V1(S(t),I(t),R(t))≤

(H3)h∶R+→R+是一個(gè)非單調(diào)遞減函數(shù)，且在每一個(gè)緊致區(qū)間內(nèi)至多有有限個(gè)間斷點(diǎn)，另外h(0)=0但是h(y)在y=0處不連續(xù)。

V2(S(0),I(0),R(0))=

這也就是說病毒將在有限時(shí)間內(nèi)滅亡。

(16)

(17)

構(gòu)造一個(gè)新的Lyapunov函數(shù)：

V2(S(t),y(t),R(t))=

(18)

由推論1可知，模型(1)在初始條件(2)下的任意解(x(t),y(t),z(t))都是非負(fù)的，則函數(shù)V2(S(t),y(t),R(t))是一個(gè)正則函數(shù)，當(dāng)(S,y,R)≠0時(shí)，V2(S(t),y(t),R(t))>0；而僅當(dāng)(S,y,R)=0時(shí)，V2(S(t),y(t),R(t))=0。對(18)式求導(dǎo)可得，

由此可得

將上式兩邊從0到t積分可得

0≤V2(S(t),y(t),R(t))≤

參考文獻(xiàn):

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Impact of Discontinuous Treatments on Global Dynamics of a Viral Infection Model

LI Xun, SUN Guang-xun

(College of Mathematics and Computer Science,Anhui Normal University,Wuhu 241000,China)

Abstract:In this article,we mainly study the impact discontinuous treatments on global dynamics of a viral infection model. By calculating the model equation,we define the basic reproductive rate R0>1, and structure appropriate Lyapunov function and achieve the convergence to the endemic equlibrium in finite time,if R0<1, we also can get convergence to the disease equilibrium in finite time.

Key words:viral infection dynamic model,discontinuous treatment,convergence in the finite time,Lyapunov function

文章編號：1007-4260(2015)03-0014-05

中圖分類號：O231.9

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.03.005

作者簡介：李迅，男，安徽全椒人，安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院碩士研究生，研究方向?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué)。

基金項(xiàng)目：安徽高校省級優(yōu)秀青年人才基金重點(diǎn)項(xiàng)目(2011SQRL022ZD)。

收稿日期：2015-02-03

網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2015-8-25 15:40網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20150825.1540.005.html