謝英超， 程 燕， 李文濤

（陸軍軍官學院 基礎(chǔ)部，安徽 合肥 230031）

0 引 言

蘭徹斯特方程是在1914年由英國工程師F.W.Lanchester創(chuàng)立的［1］，是動態(tài)描述作戰(zhàn)對抗性態(tài)勢的定量工具，已廣泛應用于作戰(zhàn)進程的定量研究與分析中［2］。針對不斷變化的戰(zhàn)爭形態(tài)，許多軍事運籌學工作者對蘭徹斯特方程進行了諸多改進，并提出了諸如蘭徹斯特混合律［3］、偏微分戰(zhàn)斗模型［4］、隨機格斗模型［5］及多兵種協(xié)同作戰(zhàn)模型［6］等新型作戰(zhàn)理論。

隨著信息化戰(zhàn)爭時代的到來，對高技術(shù)條件下的信息化戰(zhàn)爭的分析與研究已成為當前作戰(zhàn)理論研究的熱點之一。傳統(tǒng)的蘭徹斯特方程已無法描述信息因素對現(xiàn)代戰(zhàn)爭進程的影響，因此需要對蘭徹斯特方程做進一步的改進［7］。文獻［8］通過引入戰(zhàn)場感知系數(shù)和信息優(yōu)勢系數(shù)研究了反映信息對戰(zhàn)爭影響的廣義蘭徹斯特作戰(zhàn)模型，具體公式如下：

其中，R（t）、B（t）分別為t時刻紅、藍方兵力數(shù)量；αs、βs分別為直接火力時紅、藍方每個戰(zhàn)斗成員在單位時間內(nèi)平均毀傷對方戰(zhàn)斗成員的數(shù)量；αl、βl分別為面火力時紅、藍方戰(zhàn)斗成員的作戰(zhàn)效能；ur∈（0，1）、ub∈（0，1）分別為紅、藍方的戰(zhàn)場感知系數(shù)；k＝ur／ub為紅方對藍方的信息優(yōu)勢系數(shù)。

文獻［9］通過引入信息作戰(zhàn)能力系數(shù)、戰(zhàn)場暴露系數(shù)，研究了現(xiàn)代化戰(zhàn)爭條件下的非線性蘭徹斯特戰(zhàn)斗模型，具體公式為：

其中，R（t）、B（t）分別為t時刻紅、藍方兵力數(shù)量；αe、βe分別為紅、藍方的暴露毀傷系數(shù)；αc、βc分別為紅、藍方的隱蔽毀傷系數(shù)；εr、εb分別為紅、藍方的信息作戰(zhàn)能力系數(shù)；Er∈［0，1］、Eb∈［0，1］分別為紅、藍方的戰(zhàn)場暴露系數(shù)。

（1）式、（2）式均可以轉(zhuǎn)化為：

其中，x（t）、y（t）分別為t時刻紅、藍方兵力數(shù)量；a、b、c、d分別為對應的正系數(shù)。

微分方程組（3）式為非線性自治系統(tǒng)，其解析解難以求得，而相軌線分析是研究非線性自治系統(tǒng)的一類行之有效的方法，已被廣泛應用于廣告學［10］、傳 染 病 模 型［11］、生 態(tài) 系 統(tǒng)［12］及 磁 學［13］等領(lǐng)域。本文將對（3）式進行相軌線分析，并結(jié)合（1）式，將所得結(jié)果應用于分析作戰(zhàn)進程和預測戰(zhàn)斗結(jié)局中。

1 主要結(jié)果

假設(shè)（3）式滿足如下初始條件：

考慮到問題研究的實際意義，有x（t）≥0，y（t）≥0，結(jié)合（3）式有（x，y）∈U＝［0，x0］×［0，y0］。設(shè)戰(zhàn)斗結(jié)束時間為T，即x（T）≥0，y（T）＝0或x（T）＝0，y（T）≥0，則t∈I＝［0，T］。令Ω＝I×U，則（t，x，y）∈Ω。

定理1 （3）式在U內(nèi)具有唯一的奇點P（0，0），且該奇點為（3）式的鞍點。

證明 根據(jù)奇點的定義，（3）式的奇點滿足：

求得奇點坐標為 P（0，0），Q（－a／b，－c／d），而P∈U，Q?U，故（3）式在U 內(nèi)具有唯一的奇點P（0，0）。奇點P（0，0）附近的線性近似方程組為：

其特征方程為λ2－ac＝0，得，故P（0，0）為鞍點。

定理2 在區(qū)域Ω內(nèi)，初值問題（3）式、（4）式在區(qū)間t∈I＝［0，T］上存在唯一的解x（t）與y（t），且（t，x（t），y（t））∈Ω。

證明 分析（3）式及其初始條件，結(jié)合初值問題解的局部存在唯一性定理與解的延拓性定理［14］，易得定理2。

定理3 在相平面U 上，（3）式的初始點在S（x0，y0）的相軌線有且只有1條。

證明 （1）由定理2可知，初值問題（3）式、（4）式在區(qū)間t∈I＝［0，T］上存在解，設(shè)其解為x（t）、y（t），將t看成參數(shù)，消去即可得（3）式的初始點在S（x0，y0）的相軌線方程為y＝y(tǒng)（x），并且有（x，y）∈U。

（2）假設(shè)（3）式的初始點在 S（x0，y0）有2條不同的相軌線，分別為Γ1、Γ2，則必存在一點M（x＊y＊）∈Γ1、M∈Γ2且Γ1、Γ2在點M 處分叉。由定理2可知初值問題（3）式、（4）式在區(qū)間t∈I＝［0，T］上的解是唯一的，Γ1、Γ2不會在點S處分叉，故M≠S。假設(shè)Γ1、Γ2過點M的時間分別為t1、t2，所以其對應的積分曲線過（t1，x＊，y＊）、（t2，x＊，y＊）。在點（t，x，y）處再經(jīng)過充分小的Δt時間內(nèi)，有，又由于（3）式為自治系統(tǒng)，故Δx、Δy只與該點的x、y值有關(guān)而與t無關(guān)。從而，Γ1、Γ2不會在點M處分叉，出現(xiàn)矛盾。定理3證畢。

定理4 在相平面U 上，（3）式的初始點在S（x0，y0）的相軌線滿足：

其中

證明 將（3）式的第2個式子除以第1個式子可得：

對（8）式分離變量得：

對（9）式兩端從0到t積分可得：

對（10）式進行變形即可得（7）式。定理4證畢。

2 預測戰(zhàn)斗結(jié)局

定理5（預測戰(zhàn)斗結(jié)局的判定定理） 假設(shè)交戰(zhàn)雙方兵力變化規(guī)律與初始兵力分別滿足（3）式、（4）式，則當γ＝ρ時，雙方勢均力敵；當γ＜ρ時，藍方將先降為0，即紅方將獲勝；當γ＞ρ時，紅方將先降為0，即藍方將獲勝；且｜γ－ρ｜的值越大，勝方剩余兵力越多。其中，

證明 （1）令x＝y(tǒng)＝0，代入（7）式得：

由（11）式可知，當γ＝ρ時，（0，0）滿足（7）式，故此時（3）式的相軌線經(jīng)過（x0，y0）與（0，0）。由定理3可知，（3）式的初始點在S（x0，y0）的相軌線唯一，故紅藍雙方此時同時降為0，勢均力敵。

（2）令y＝0，代入（7）式得：

將f、g的具體形式代入（12）式得：

由（13）式可得：

由于g為區(qū)間［0，＋∞）上的嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，故g（0）－g（y0）＜0，將其代入（14）式可得：

當γ＜ρ＝g（0）－f（0）時，可得：

由（14）式、（16）式可得：

從而

由（15）式、（18）式及引理1可知，存在唯一的x1∈（0，x0），使（12）式成立，即代數(shù)方程（12）有唯一的解x1∈（0，x0）。從而，當γ＜ρ時，（3）式的相軌線經(jīng)過（x0，y0）與（x1，0）。由定理3可知（3）式的初始點在S（x0，y0）的相軌線唯一，故此時藍方兵力先降為0，即紅方將獲勝，并且紅方的剩余兵力為x1，隨著ρ－γ的值增大而增大。

（3）同理可得當γ＞ρ時，紅方兵力先降為0，即藍方將獲勝。

定理4證畢。

3 算例分析

以模型（1）為例，可得等價數(shù)學模型的相應系數(shù)為a＝βsub／k，b＝（1－ub）βl／k2，c＝kαsur，d＝（1－ur）αlk2。依據(jù)文獻［8］，可取x0＝6 000，y0＝10 000，αl＝0.000 01，βl＝0.000 02，αs＝0.1，βs＝0.2，ub＝0.1，當ur分 別 取 0.10、0.14、0.16、0.20時，計算γ與ρ的值、它們之間的大小關(guān)系、差的絕對值及戰(zhàn)斗結(jié)局，見表1所列。

表1 ur取不同值時的勝負分析

為驗證所得結(jié)果的正確性，當ur分別取0.10、0.14、0.16、0.20時，利用（7）式得到的解析相軌線和利用數(shù)值解法得到的對應的數(shù)值相軌線進行比較，結(jié)果如圖1所示。

圖1 ur取不同值時的解析相軌線與數(shù)值相軌線

由圖1可知，2種方法得到的相軌線非常地接近，ur取不同值時的戰(zhàn)斗結(jié)局與表1預測的一致，并且勝方的剩余兵力與｜γ－ρ｜的值成正相關(guān)關(guān)系，從而證實了相軌線分析的有效性與定理5的正確性。由表1、圖1可知，隨著ur的增大，戰(zhàn)局發(fā)生了逆轉(zhuǎn)，尤其是當ur＝0.20時，紅方以很小的代價就贏得了戰(zhàn)爭，這充分體現(xiàn)了加強信息優(yōu)勢的重要性。

4 結(jié)束語

本文將基于非線性蘭徹斯特方程的信息化戰(zhàn)爭模型轉(zhuǎn)化為等價形式的數(shù)學模型，在一定區(qū)域內(nèi)，討論了該數(shù)學模型的奇點及奇點類型，并得到了模型解的存在唯一性和相軌線的唯一性及其滿足的方程。在相軌線方程及其唯一性的基礎(chǔ)上，得到了預測戰(zhàn)斗結(jié)局的判定定理，并進行了算例分析。結(jié)果表明，相軌線分析是研究該類蘭徹斯特方程的行之有效的方法，也證實了判定定理的正確性。相軌線分析的優(yōu)點在于可以不具體求解蘭徹斯特方程，只需要知道相關(guān)系數(shù)與初始兵力值就可以預測戰(zhàn)斗結(jié)局，將結(jié)局代入相軌線方程并求解相應的代數(shù)方程，即可得到勝方剩余兵力。因此，相軌線分析是能用來分析作戰(zhàn)進程和預測戰(zhàn)斗結(jié)局的簡便而有效的方法。還可以通過設(shè)置某個系數(shù)或初始兵力的系列值，研究戰(zhàn)斗結(jié)局與勝方剩余兵力的變化規(guī)律，可得出各因素對戰(zhàn)爭勝負的影響程度，從而能為武器裝備發(fā)展規(guī)劃、現(xiàn)代軍事練兵等提供一定的理論依據(jù)。

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