武增明+趙紅革

求多元函數最值問題，內涵豐富，方法靈活多變，技巧性強，難度大，解法沒有規(guī)律性，且有些此類問題按常規(guī)方法求解更有難度.若利用題設條件、不等式性質、基本不等式及柯西不等式等連續(xù)放縮兩次，將多元變量轉化為少元變量或單元變量，并兼顧等號成立的條件來解答，可使思維簡約，過程簡捷.下面舉例說明，旨在拋磚引玉.

1由題設條件和均值不等式連續(xù)放縮兩次

由題目直接或間接給出的條件和均值不等式連續(xù)放縮兩次，將多元變量最值問題轉化為一元變量最值問題，并兼顧等號同時成立的條件.

例1（2014年全國高中數學聯(lián)賽一試（A卷）第2題）設集合{3a+b|1≤a≤b≤2}中的最大元素與最小元素分別為M，m，則M-m的值為.

2由題設條件和不等式性質連續(xù)放縮兩次

根據題目直接或間接給出的條件和不等式性質，通過逐步連續(xù)放縮兩次，將多元變量最值問題轉化為單元變量或雙元變量最值問題，并兼顧等號同時成立的條件.

3由題設條件和柯西不等式連續(xù)放縮兩次

根據題目直接或間接給出的條件和柯西不等式，通過逐步連續(xù)放縮兩次，減少變量的個數，實現直接求解最值的目標.

例3（2012年全國高中數學聯(lián)賽一試（A卷）第3題）設x，y，z∈[0，1]，則M=|x-y|+|y-z|+|z-x|的最大值是.

4由題設條件連續(xù)放縮兩次

根據題設條件連續(xù)放縮兩次，減少變量的個數或將多元變量轉化為單元變量，并兼顧等號同時成立的條件.

例4（2013年全國高中數學聯(lián)賽湖北省預賽第10題）已知a，b，c，d∈[-1，+∞），且a+b+c+d=0，則ab+bc+cd的最大值為.

解析問題涉及四個變量，且各變量不具對稱性，使用不等式手段解決的可行性比較小，因此考慮逐步降元的方式處理.由于ab+bc+cd=b（a+c+d）+cd-bd=-b2+cd-bd=-b2+（c-b）d，此時無法進行恒等消元，我們考慮放縮性消元，則必須考慮c-b及d的正負性.

故ab+bc+cd≤-b2+b+1，等號成立的條件為b≥c，d=-1，c=-1.從而，當a=32，b=12，c=-1，d=-1時，ab+bc+cd取得最大值54.根據b，c的對稱性，類似可得，當a=-1，b=-1，c=12，d=32時，ab+bc+cd也取得最大值54.

5由基本不等式連續(xù)放縮兩次

根據基本不等式、柯西不等式及不等式性質連續(xù)放縮兩次，減少變量的個數或可直接求解最值.

多元函數最值問題，具有很強的靈活性，求解方法也沒有固定的模式.本文中我們只是通過幾道典型的多變量最值問題，進行放縮兩次的求解策略作一些梳理與總結，以便提升日后對此類問題教學的效率，也為廣大的一線同仁提供一些參考.