周四望,羅孟儒

(湖南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院,湖南 長沙 410082)

順序小波包圖像壓縮感知方法*

周四望,羅孟儒?

(湖南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院,湖南 長沙 410082)

針對壓縮感知中測量次數(shù)不確定的問題，提出了順序小波包圖像壓縮感知方法.該方法選用小波包變換分解圖像，降低信號稀疏度，將圖像劃分為大小相等的小波包系數(shù)塊，利用小波包系數(shù)塊數(shù)學(xué)期望與稀疏度之間的關(guān)系，對初始采樣信號y0的長度進行預(yù)測；同時變長設(shè)置順序壓縮感知過程中采樣信號y1,…,yn的長度，來減少解壓縮端重構(gòu)次數(shù)以及兩端的通信次數(shù)，從而解決傳統(tǒng)順序壓縮感知方法中存在的不足.實驗表明該方法在重構(gòu)次數(shù)和重構(gòu)精度上優(yōu)于傳統(tǒng)順序壓縮感知方法.

小波變換；壓縮感知；數(shù)學(xué)期望；圖像

壓縮感知理論(Compressed Sensing，CS)[1]已經(jīng)在圖像處理等領(lǐng)域[2-3]引起了極大的重視.CS中對于稀疏度為K的信號，可以通過M大小的采樣值進行重構(gòu).文獻[4]指出，當M=4K時信號能近乎完美重構(gòu)，因此在大部分應(yīng)用中，CS的采樣長度選擇上限4K.隨著研究的深入，研究人員發(fā)現(xiàn)對于含噪聲的K稀疏信號，只需M=O(Klog (N/K))就能夠在多項式時間內(nèi)魯棒地恢復(fù)原信號[5].在基于模型的壓縮感知方法中[6]，Baraniuk等人證明，若能增加小波樹結(jié)構(gòu)的先驗信息，則CoSaMP算法僅需滿足M=Ο(K)即可實現(xiàn)魯棒重構(gòu).由于不同圖像的結(jié)構(gòu)等先驗信息不盡相同，研究人員只能盡力尋找壓縮感知重構(gòu)所需M的界，不可能從數(shù)學(xué)上推導(dǎo)出M的值.因此在實際應(yīng)用中，有時M取值過大，則會增加設(shè)備的采樣負擔、耗費更多的網(wǎng)絡(luò)延時和其它資源[7-8].因而在保證圖像恢復(fù)質(zhì)量的前提下，盡可能地減少采樣值是圖像壓縮感知處理中值得考慮的一個問題.

(1)

SequentialCS為盡可能減少采樣值提出了解決方案，然而SequentialCS仍有以下2個方面值得考慮.其一，如何確定初始采樣信號y0的長度.y0的長度直接影響著信號的傳送以及重構(gòu)次數(shù).若y0的長度設(shè)置合理，重構(gòu)和通信次數(shù)就會越少.然而SequentialCS相關(guān)方法對于如何確定y0的長度沒有提出相應(yīng)的解決方法.其二，如何確定y1,…,yn的長度.在實際應(yīng)用中，如果重構(gòu)信號間的誤差很大，采樣信號的長度相對取大些，這樣能加快SequentialCS處理進程，從而減少通信次數(shù)及計算量；若誤差相差不大，采樣信號的長度取小些，就不會造成采樣浪費.然而SequentialCS中，y1,…,yn的長度設(shè)定都是相同的，不能根據(jù)實際情況進行變長處理來減少計算量.

1 順序小波包圖像壓縮感知方法

本文設(shè)計的順序小波包圖像壓縮感知方法將解決以上兩個問題.本文采用小波包變換對圖像進行分解，進一步提高圖像稀疏度.另外由于小波包變換將圖像分為大小相等的小波包系數(shù)塊，因而我們以小波包系數(shù)塊為單位進行壓縮感知測量，自然地降低了測量矩陣的維數(shù).

1.1 基于數(shù)學(xué)期望的初始采樣信號y0長度設(shè)置方法

本小節(jié)研究基于數(shù)學(xué)期望來預(yù)測初始采樣信號y0長度的方法.由式(1)可知，y0為SequentialCS中壓縮端首次傳遞給解壓縮端的采樣信號.y0長度的設(shè)置，對壓縮端采樣、解壓縮端信號重構(gòu)次數(shù)和信號傳遞次數(shù)都有著非常直接的影響.

我們知道小波包系數(shù)塊的稀疏度是通過大系數(shù)的多少來反映的.在系數(shù)都為正數(shù)的情況下，數(shù)學(xué)期望值小的小波包塊相對有更高的稀疏度.另外由于信號越稀疏，恢復(fù)信號所需的采樣值就越少.因而在本文中我們根據(jù)小波包系數(shù)塊之間數(shù)學(xué)期望與稀疏度的比例關(guān)系來對y0的長度進行預(yù)測，算法如圖1所示.

圖1 基于數(shù)學(xué)期望的初始采樣信號長度設(shè)置算法

(2)

在圖1中，數(shù)學(xué)期望為中位數(shù)的小波包系數(shù)塊(i,j)是在計算需進行壓縮感知處理的小波包系數(shù)塊的數(shù)學(xué)期望后，對那些不為0的數(shù)學(xué)期望進行粗略排序得到；小波包系數(shù)塊(k,p)指第k行第p個小波包系數(shù)塊，它泛指除(i,j)外其他要進行壓縮感知處理的小波包系數(shù)塊.MM為最大采樣長度，即y0長度最大不能超過MM.另外由于小波包系數(shù)塊(1,1)為低頻信號，它包含圖像大部分信息，一般采用線性傳輸，因而不參與此過程.

圖2更清楚地闡述了本算法的實質(zhì).從圖2可以看出，只要確定一個小波包系數(shù)塊(i,j)的最終采樣長度，那其他小波包系數(shù)塊的初始采樣長度就能根據(jù)(i,j)的數(shù)學(xué)期望和采樣長度進行確定.在對(i,j)進行順序壓縮感知處理時，由于信息不充分，(i,j)的初始采樣長度只能手動設(shè)置，故壓縮端和解壓縮端之間計算時間和通信次數(shù)沒有太多的改變.但得到(i,j)最終采樣長度后，就可以根據(jù)其數(shù)學(xué)期望和采樣長度去預(yù)測其他小波包系數(shù)塊初始采樣長度.這樣在對其他小波包系數(shù)塊進行順序壓縮感知處理時，由于初始采樣值設(shè)定合理，既能盡量少采樣，又可以從整體上大大節(jié)省壓縮端和解壓縮端的計算壓力以及通信次數(shù).

圖2 基于數(shù)學(xué)期望的初始采樣信號長度確定

1.2 變長設(shè)置的y1,…,yn長度

本節(jié)將變長設(shè)置y1,…,yn的長度.圖3采用時序圖的思路展示了對某一小波包系數(shù)塊進行順序壓縮感知處理時，y1,…,yn的長度確定過程.其中Emin為常數(shù).首先壓縮端發(fā)送采樣值yj-1給解壓縮端，解壓縮端收到信號后對其進行重構(gòu)，計算兩重構(gòu)信號間的誤差Ej-1，然后比較Ej-1與Emin，若Ej-1≤Emin說明重構(gòu)圖像滿足誤差要求，解壓縮端讓壓縮端停止傳送采樣值，重構(gòu)結(jié)束.若Ej-1>Emin則說明不能重構(gòu)原信號，解壓縮端讓壓縮端再次傳送采樣值yj，yj的長度nj=αEj-1*M，其中α為常系數(shù)，M為原始信號長度.這樣依次傳遞直到滿足要求為止.

從圖3看出yj的長度nj是基于上一次誤差進行確定的，從而根據(jù)圖像重構(gòu)效果變長設(shè)置y1,…,yn長度.此方法是借鑒TCP流量控制的思想，其中窗口的大小(即y1,…,yn的長度)由解壓縮端進行控制，如yj的長度nj=αEj-1*M，解壓縮端就是通過重構(gòu)信號之間的誤差Ej-1來控制下一次采樣信號yj的長度，如圖4所示，α控制窗口的規(guī)模，我們可以根據(jù)圖像恢復(fù)的精度需要對α進行設(shè)置，Ej-1確定窗口的大小.只要把α設(shè)置為正數(shù)，那么兩信號之間的誤差Ej-1越大，nj也會相應(yīng)地更長.這樣就可以根據(jù)每個小波包系數(shù)塊各自的特點，對y1,…,yn的長度進行自適應(yīng)地調(diào)整.

圖3 確定y1,…,yn長度

圖4 yj窗口大小nj設(shè)置

2 實驗結(jié)果及分析

本節(jié)進行模擬實驗.實驗平臺為matlab7.0，電腦主頻為2.53GHz，內(nèi)存大小為2G.測試圖像為Lena,Cameraman和BABOON，其中Lena包含豐富的細節(jié)和紋理特征，Cameraman前景和背景對比較大，BABOON平滑區(qū)域和細節(jié)區(qū)域較為明顯.實驗中，我們用“Symmlet”小波對圖像進行4層小波包分解，觀測矩陣為高斯矩陣，重構(gòu)算法為OMP.

2.1 初始采樣信號y0長度設(shè)置合理性驗證

我們選取圖像中6個位置(數(shù)學(xué)期望相對很靠前)的小波包系數(shù)塊進行驗證.我們依次增加信號采樣比，觀察信號誤差隨采樣比的變化情況.

圖5～圖7分別是Lena，Cameraman，BABOON的小波包系數(shù)塊采樣比與誤差的關(guān)系.圖中橫坐標為采樣值占信號總長度百分比，縱坐標為原小波包系數(shù)塊與重構(gòu)后小波包系數(shù)塊的誤差.如圖5所示(3,1)1.078表示小波包變換后，位于圖像第3行第1塊的小波包系數(shù)塊的數(shù)學(xué)期望為1.078.

采樣比

采樣比

采樣比

2.2 變長設(shè)置y1,…,yn長度合理性驗證

本實驗中，對比實驗為文獻[9]中(即傳統(tǒng)順序壓縮感知方法)等長設(shè)置y1,…,yn.設(shè)y0的采樣比為0.1，信號總采樣比不高于0.7.等長方法設(shè)置y1,…,yn長度時，y1,…,yn的采樣比為0.02.變長設(shè)置時，我們根據(jù)Sj與Sj-1的誤差E(Sj,Sj-1)大小進行設(shè)置，令α=0.1，則采樣比為E(Sj,Sj-1)×0.1，精確到小數(shù)點后兩位.若E(Sj,Sj-1)=0.827，則yj+1的采樣比為0.08.圖中，“文獻[9]-重構(gòu)”表示文獻[9]中的等長設(shè)置方法，“我們-重構(gòu)”表示我們提出的變長設(shè)置方法.

圖8～圖10是Lena,Cameraman和BABOON等長和變長設(shè)置y1,…,yn采樣值的重構(gòu)次數(shù)比較結(jié)果.橫坐標表示所處位置的小波包系數(shù)塊，如圖8中(3,1)指位于圖像第3行第1塊的小波包系數(shù)塊.縱坐標為SequentialCS處理時解壓縮端的信號重構(gòu)次數(shù).從圖8～圖10中可以看出變長設(shè)置y1,…,yn解壓縮端所需的重構(gòu)次數(shù)比等長設(shè)置少.

小波包系數(shù)塊

小波包系數(shù)塊

小波包系數(shù)塊

圖11～圖13是Lena,Cameraman和BABOON等長和變長設(shè)置y1,…,yn重構(gòu)次數(shù)相同時各小波包系數(shù)塊的誤差比較結(jié)果.圖中橫坐標表示所處位置的小波包系數(shù)塊，縱坐標為重構(gòu)信號與原始信號之間的重構(gòu)誤差.實驗中，重構(gòu)次數(shù)是每個小波包系數(shù)塊變長設(shè)置y1,…,yn重構(gòu)誤差為0或者采樣總長度到達最大采樣值MM時的重構(gòu)次數(shù).從圖11～圖13中看出，在重構(gòu)次數(shù)相同的情況下，變長設(shè)置y1,…,yn的重構(gòu)誤差相比等長設(shè)置的重構(gòu)誤差要小.

圖14展示了大小為512×512的Lena,Cameraman和BABOON采用等長和變長設(shè)置y1,…,yn重構(gòu)次數(shù)相同時重構(gòu)圖像對比.其中，低頻信號進行線性傳遞，小波包系數(shù)塊(3,1),(2,1),(2,2),(1,4),(1,3),(1,2)分別采取等長和變長設(shè)置y1,…,yn方法得到，其他小波包系數(shù)塊不進行信號采樣.從圖14可以更直觀地看出，在重構(gòu)次數(shù)相同的情況下，變長設(shè)置y1,…,yn的重構(gòu)誤差比等長設(shè)置的小.

小波包系數(shù)塊

小波包系數(shù)塊

小波包系數(shù)塊

圖14 重構(gòu)圖像對比

通過上述實驗，可以看出在完全重構(gòu)信號時，變長設(shè)置y1,…,yn采樣長度解壓縮端所需重構(gòu)次數(shù)更少.當重構(gòu)次數(shù)相同時，變長設(shè)置y1,…,yn比等長設(shè)置重構(gòu)得到的誤差小.

3 結(jié) 論

在CS中，減少采樣長度意味著減少設(shè)備的采樣負擔、計算時間以及網(wǎng)絡(luò)傳輸壓力.SequentialCS為盡可能減少采樣值提出了新思路，但仍存在一些不足.本文提出的順序小波包圖像壓縮感知方法通過對圖像進行小波包分解，從而對y0的長度進行預(yù)測，同時借鑒TCP流控制的思想變長設(shè)置y1,…,yn的長度，從整體上降低壓縮端和解壓縮端的通信次數(shù)和運算負擔.實驗表明，根據(jù)小波包系數(shù)塊的期望值對y0進行預(yù)測、變長設(shè)置y1,…,yn的長度是合理的.

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Sequential Image Compressed Sensing Based on Wavelet Packet

ZHOU Si-wang,LUO Meng-ru?

(College of Information Science and Engineering, Hunan Univ, Changsha,Hunan 410082,China)

Aiming at solving the problem of the times of measurements, a scheme of sequential compressed sensing based on wavelet packet was proposed. The wavelet packet transform was firstly employed and the image was decomposed into wavelet packet blocks with the same size. The length of the initial sampling signal was then estimated using the relationship between the mathematical expectation and the sparsity of wavelet packet blocks. Meanwhile, the lengths of sampling signals were set dynamically in order to reduce the reconstruction and communication overhead. The problem of uncertain times of measurements in the traditional compressed sensing was thus overcome. Experimental results show that our proposed scheme has less reconstruction times and lower reconstruction error than the existed ones.

wavelet transforms; compressed sensing; mathematical expectation; image

1674-2974(2015)04-0130-06

2014-02-27

國家自然科學(xué)基金資助項目(60973127)，National Natural Science Foundation of China(60973127) ；教育部新世紀優(yōu)秀人才計劃基金資助課題(NCET-11-0136)，湖南省自然科學(xué)基金資助項目(14JJ2051)

周四望(1971-)，男，湖南岳陽人，湖南大學(xué)副教授，博士

?通訊聯(lián)系人，E-mail:loumengru1988@126.com

TN911.73

A