唐爭氣，宋迎春，鄒 勃

(1. 中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院， 湖南 長沙 410083；2. 湖南城市學(xué)院 市政與測繪工程學(xué)院, 湖南 益陽 413000)

基坑位移監(jiān)測中帶有未知參數(shù)的濾波算法*

唐爭氣1,2，宋迎春1?，鄒 勃1

(1. 中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院， 湖南 長沙 410083；2. 湖南城市學(xué)院 市政與測繪工程學(xué)院, 湖南 益陽 413000)

在基坑邊坡的動態(tài)監(jiān)測中，為了控制幾何觀測異常對形變參數(shù)估計(jì)的影響，把基坑邊坡的力學(xué)信息看成是一個(gè)未知信息，建立了帶有未知參數(shù)的濾波模型，并在固定的觀測窗口中,把未知參數(shù)看成是一個(gè)不變的量，利用觀測殘差和狀態(tài)預(yù)測殘差來擬合它，并對濾波結(jié)果同時(shí)進(jìn)行修正，得到了一個(gè)帶有未知參數(shù)的濾波算法.實(shí)例說明，利用先驗(yàn)的幾何、物理信息進(jìn)行變形監(jiān)測，能有效地提高狀態(tài)參數(shù)估計(jì)可靠性.

基坑；變形監(jiān)測；未知參數(shù)；卡爾曼濾波；殘差

基坑邊坡由初始變形發(fā)展到破壞性滑坡，其演變過程是一個(gè)非常復(fù)雜的過程[1-3]，由于基坑內(nèi)土體卸載，基坑內(nèi)外側(cè)土壓力的不平衡，支護(hù)結(jié)構(gòu)容易產(chǎn)生變形和位移.當(dāng)支護(hù)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和剛度不足的時(shí)候，支護(hù)樁將會出現(xiàn)傾斜，引起坍塌等嚴(yán)重事故.同時(shí)，基坑施工過程中的降水措施會引起地下水位的下降，導(dǎo)致坑外土體的固結(jié)，使地面沉降出現(xiàn)不均勻沉降.實(shí)時(shí)跟蹤預(yù)測可以不斷跟蹤基坑邊坡動態(tài)變化，及時(shí)確定在各種荷載和外力作用下，變形體的形狀、大小及位置變化的空間和時(shí)間特征，從而判斷和預(yù)報(bào)邊坡變形是否失穩(wěn)[4-6].國內(nèi)外學(xué)者已建立了許多動態(tài)的基坑變形觀測模型[7-12]，他們的方法在分析滑坡的變形動態(tài)特征方面取得了大量的成果.然而，在特殊的地理環(huán)境下，數(shù)據(jù)采集的條件受到限制，人們對邊坡的力學(xué)特性，相關(guān)的幾何、力學(xué)參數(shù)認(rèn)識非常有限，因此，基坑變形觀測動態(tài)分析顯得非常困難，建立的模型常常包含一定程度的模型誤差，從而導(dǎo)致不精確的形變分析結(jié)果.在基坑變形觀測中，大地測量學(xué)者過多地注重幾何觀測信息，很少關(guān)注基坑形變內(nèi)在的物理原因，難免造成計(jì)算結(jié)果失真或出現(xiàn)較大的偏差[13-15].因此，將邊坡形變的物理特性與幾何觀測結(jié)合建立混合模型，根據(jù)地球物理模型和實(shí)測幾何數(shù)據(jù)之間的差異，通過幾何模型計(jì)算的位移量和物理模型預(yù)測位移量間的差異達(dá)到最小的原則來求解形變量，可以更精確地跟蹤基坑邊坡的動態(tài)變化．在本文中，一種把邊坡的幾何約束信息、力學(xué)狀態(tài)結(jié)合起來的新方法被提出，一些未知的物理信息量作為參數(shù)納入濾波模型，再利用濾波理論，用觀測殘差和狀態(tài)預(yù)測殘差來擬合它,從而控制幾何觀測異常對形變參數(shù)估計(jì)的影響.

1 基坑土壓力與監(jiān)測濾波模型

土壓力是土體因自重或外荷載作用對支護(hù)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的側(cè)向壓力，是土與支護(hù)結(jié)構(gòu)相互作用的結(jié)果，與支護(hù)結(jié)構(gòu)的形式、剛度、變位、土與結(jié)構(gòu)的接觸條件以及支護(hù)結(jié)構(gòu)受到的約束等有密切關(guān)系.土壓力的大小與土體的變形有關(guān)，在土體達(dá)到破壞狀態(tài)之前，土壓力的大小是難以確定的；在土體達(dá)到破壞狀態(tài)時(shí)，由于變形土體內(nèi)各點(diǎn)很難同時(shí)進(jìn)入極限平衡狀態(tài)，土壓力計(jì)算也帶有一定程度的不確定性.

圖1 板樁上的土壓力

圖2 主動土體滑裂面

圖3 土條受力分析圖

處于極限狀態(tài)的微分單元體的靜力平衡方程：

由∑X=0和∑Y=0有

pxi=miaxi=Nisinθi-(c1i+Q2i)cosθi

(1a)

pyi=miayi=-Nicosθi-(Q1i+c2i)-

(c1i+Q2i)sinθi+Gi

(1b)

方程 (1) 也可表示為：

Miai=A1iYi+Fi

(2)

這里

對于整個(gè)塊體系統(tǒng)，由式(2)可構(gòu)成如下方程組：

Ma=A1Y+G

(3)

這里，M和A1由Mi和A1i組成，

Y=(N1,N2,…，Ni，…,Q11,…,Q1i,…,

Q21,…，Q2i,…,c11,…,c1i,…,c21,…,c2n)T

為了提高計(jì)算精度，我們對參數(shù)Y進(jìn)行如下變換，即讓 ：Y=Y0+ΔY，這里Y0是Y在邊坡滑體處于極限平衡狀態(tài)下的取值.由于在極限平衡狀態(tài)下，任意塊體的加速度都為0：axi=ayi=0，由式(3)可得：

A1Y0+G0=0

(4)

G0是G在極限平衡狀態(tài)下的取值.由式(3)、式(4)可得：

Ma+A1ΔY=-ΔG

(5)

這里 ΔY=Y-Y0，

ΔG=G-G0=(0,Δm1g,…,0,Δmig,…)

顯然ΔY是表示邊坡滑體的當(dāng)前狀態(tài)與穩(wěn)定狀態(tài)之間的差別.

其中，X1=(x1,z1,…,xi,zi，…)T

按照剛體的運(yùn)動方程，剛體的運(yùn)動從狀態(tài)k轉(zhuǎn)移到k+1時(shí)，其位移和速度按下式變化：

Vk+1=Vk+tak

(6) 除了雨后引起的地下水位變化和地震引起的震動外，在實(shí)際工作中，作用在邊坡滑體上的外力一般是保持不變的.因此可以假定ΔG=0 及ΔYk+1=ΔYk.如果外力產(chǎn)生變化，則只要這種變化很小，可以視為狀態(tài)轉(zhuǎn)移誤差(系統(tǒng)噪聲).根據(jù)這一假設(shè)和方程(5)可得：

ΔYk+1=ΔYk

ak+1=M-1A1ΔYk+1+M-1ΔG=M-1A1ΔYk

(7)

由式(6)和式(7)可得狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：

Xk+1=ΦkXk+Wk=

(8)

模型(8)中考慮了邊坡運(yùn)動的加速度，但一般情況下邊坡在發(fā)生滑坡的突變之前的滑移過程中，移動的加速度是非常小的，在絕大多數(shù)情況下，加速度如果能達(dá)1cm/d2將預(yù)示滑坡的發(fā)生，而1cm/d2在運(yùn)動學(xué)上則是非常小，因此，可在模型(8)中刪除加速度項(xiàng)，得到下列模型代替：

(9)

在基坑邊坡監(jiān)測中觀測方程可表示為：

Lk=HkXk+ek

(10)

由于基坑邊塊的物理信息并不充分，我們不能得到sk的具體數(shù)據(jù)，因此，在濾波過程中，把它看作未知輸入信息.用Xk來表示狀態(tài)變量代替(9)中的X′k，由式(9)和式(10)可以得到帶有未知輸入的變形監(jiān)測的濾波模型：

Xk=Φk,k-1Xk-1+sk+Wk

Lk=HkXk+ek

(11)

其中Xk為tk時(shí)刻狀態(tài)向量，Φk,k-1為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Wk為動力模型噪聲向量，Lk為觀測向量，Hk為設(shè)計(jì)矩陣，ek為觀測誤差向量.

2 帶有未知輸入的濾波算法

(12)

式(11)中觀測方程相應(yīng)的誤差方程為：

(13)式中Vk為Lk的殘差向量.假設(shè)Wk和ek的協(xié)方差矩陣為ΣWk和Σk.Wk，Wj，ek及ej互不相關(guān).現(xiàn)在，討論動力學(xué)模型存在系統(tǒng)誤差的情形，即sk≠0，由式(11)有：

(14)

在無誤差情況下，Xk=Φk,k-1Xk-1，則有

(15)

(16)

(i=1,…,N)

(17)

(19)

(20a)

(20b)

(20c)

(20d)

(20e)

3 實(shí)例解算與分析

某基坑周長約350m, 建筑物正負(fù)零標(biāo)高40.5m，

基坑底標(biāo)高為31.4m，工程重要性等級為二級.基坑設(shè)計(jì)深度7.6～10.3m，采用放坡+噴錨+鋼管樁進(jìn)行支護(hù)，基坑安全等級為一級，重要性系數(shù)1.1，基坑支護(hù)為臨時(shí)性支護(hù).根據(jù)總平面圖，在水平與垂直位移監(jiān)測前一周共埋設(shè)了3個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)，基準(zhǔn)點(diǎn)設(shè)3倍于基坑深度的影響范圍之外，其中編號分別為M1,M2,M3.基坑邊坡頂部的水平和豎向位移監(jiān)測點(diǎn)為共用點(diǎn)，沿基坑坡頂布置，周邊中部、陽角處布置監(jiān)測點(diǎn).監(jiān)測點(diǎn)水平和豎向間距一般為20～30m，部分地方視情況加密.J1～J15,J8＇為基坑頂觀測點(diǎn)，MG-1-1,MG-1-2,MG-1-3,MG-2-1，MG-2-2,MG-2-3為錨桿應(yīng)力監(jiān)測點(diǎn)，具體位置見圖4.共計(jì)16個(gè)水平位移監(jiān)測點(diǎn),16個(gè)沉降監(jiān)測點(diǎn),6根錨桿拉力監(jiān)測點(diǎn).水平位移監(jiān)測采用極坐標(biāo)法觀測.

圖4 監(jiān)測點(diǎn)平面布置圖

沉降觀測采用精密二等水準(zhǔn)測量，組成水準(zhǔn)控制網(wǎng)，定期對水準(zhǔn)點(diǎn)進(jìn)行校核，防止其本身發(fā)生變化，以保證垂直位移監(jiān)測結(jié)果的正確性.全站儀架設(shè)于穩(wěn)定基準(zhǔn)點(diǎn)上，采用極坐標(biāo)法觀測，取3次平均值作為初始值.本次觀測值減去前一次的觀測值為本次觀測值位移值，本次觀測值減去原始觀測值為累計(jì)位移值.由于全體數(shù)據(jù)的篇幅較大，表1只給出了JC1-112．3點(diǎn)的27期水平位移和沉降觀測數(shù)據(jù)，并利用文中給出的算法進(jìn)行計(jì)算與分析．

表1 JC1-1點(diǎn)水平位移和沉降觀測數(shù)據(jù)(共27期)

本文采用標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波算法與本文給出的帶有未知參數(shù)的濾波算法兩種方案進(jìn)行計(jì)算，在帶有未知參數(shù)的濾波算法中，用式(18)對未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，其窗口寬度為2，濾波計(jì)算公式采用(20).圖5給出了JC1-1點(diǎn)水平位移和垂直沉降的實(shí)測圖與標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波以及本文算法的效果圖，通過對濾波后的數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，給出了它們與實(shí)測值之間誤差曲線圖(見圖6)．

圖5 JC1-1點(diǎn)水平位移和垂直沉降分析圖

Epoch(3day)(a)標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波誤差曲線

Epoch(3day)(b) 本文算法誤差曲線

通過對算法的精度分析，得到了下面的結(jié)論：

1)影響基坑變形的因素比較多，如基坑所在地的工程地質(zhì)、 水文和氣候條件以及基坑的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，噴灌的混凝土應(yīng)力、及溫度、降水等，在建立模型對沉降觀測數(shù)據(jù)處理和分析時(shí)，應(yīng)該考慮這些影響因子，把它們當(dāng)成狀態(tài)參數(shù)的一部分，如式(8)，然而這些影響因素通常難以獲取，無法納入模型中，在一般的濾波模型中狀態(tài)向量只考慮水平位移和沉降以及它們的速率，對于其它因素比較困難.

2)雖然卡爾曼濾波是一種處理動態(tài)數(shù)據(jù)的有效方法，可以有效處理變形監(jiān)測數(shù)據(jù)，實(shí)時(shí)獲得監(jiān)測系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)，對于基坑變形監(jiān)測來說，卡爾曼濾波是一個(gè)重要的研究方法.但是，由于模型誤差sk的出現(xiàn)，使得卡爾曼濾波的效率大大地降低了.從圖6可以看出，考慮了系統(tǒng)誤差的濾波算法，精度會更高.

3)在基坑變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中，建立準(zhǔn)確的位移監(jiān)測模型是非常困難的，需要顧及sk的綜合影響，本文提供的算法并不一定需要清楚地了解sk中的具體成份，在濾波計(jì)算的過程中，可對sk進(jìn)行在線估計(jì)，并及時(shí)修正狀態(tài)向量的偏差，提高濾波計(jì)算的質(zhì)量.

4 小 結(jié)

物理信息常存在于基坑邊坡的動態(tài)監(jiān)測模型中，滑坡的破壞過程隨邊坡內(nèi)在因素及外在環(huán)境而變化，現(xiàn)有的濾波算法不能夠充分利用這一信息.由于邊坡的力學(xué)特性，有關(guān)幾何、力學(xué)參數(shù)的先驗(yàn)信息并不完全清楚，在濾波模型中利用它們相當(dāng)困難，本文給出的帶有未知參數(shù)濾波算法，把這些信息看成是一些未知的信息加入到模型中，并在解算過程中進(jìn)行在線估計(jì)，并及時(shí)修正狀態(tài)向量的偏差，可以加強(qiáng)濾波解算結(jié)果的可靠性，有效消除或削弱模型誤差的影響.

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Filtering Algorithm with Unknown Parameter for Excavation Deformation Monitoring

TANG Zheng-qi1, 2, SONG Ying-chun1, ZOU Bo1

(1. School of Geosciences and Info-Physics, Central South Univ, Changsha, Hunan 410083, China;2. School of Municipal and Surveying Engineering, Hunan City Univ, Yiyang, Hunan 413000, China)

In order to control the influence on deformation parameter estimation in Excavation Deformation Monitoring when geometric observations are anomalous, mechanic information about excavation slope is considered to be unknown information, and a filtering model with unknown parameter is given. In the fixed observation window, unknown parameters do not change with time, which can be fitted with the prediction of observation residuals and residuals. At the same time, algorithm improves the reliability of the state estimations. In a real example, by using the prior geometry and physics of information to deformation monitoring, the given algorithm can significantly improve the reliability of state parameter estimation.

excavation; deformation monitoring; unknown parameter; Kalman filtering; residual error

1674-2974(2015)07-0108-06

2015-01-11

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(41474008)，National Natural Science Foundation of China(41474008) ；湖南省教育廳青年課題(12B022)

唐爭氣(1974-)，男，湖南邵陽人，中南大學(xué)博士研究生，湖南城市學(xué)院副教授

?通訊聯(lián)系人，E-mail: csusyc@qq.com

P258

A