余朋駿，阮懷林

(電子工程學(xué)院，安徽 合肥　230037)

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改進(jìn)的遲延相位差多信號(hào)頻率估計(jì)應(yīng)用*

余朋駿，阮懷林

(電子工程學(xué)院，安徽 合肥230037)

摘要：給出了一種多信號(hào)欠采樣頻率估計(jì)算法。該算法通過(guò)遲延相位差的允許誤差求出頻率大致取值區(qū)間，利用欠采樣頻譜結(jié)果求出多個(gè)信號(hào)的高精度頻率估計(jì)值，并重點(diǎn)解決了當(dāng)不同信號(hào)因欠采樣出現(xiàn)譜峰重疊時(shí)測(cè)頻不準(zhǔn)確的難題。仿真表明，該算法具有良好的抗噪性能，且估計(jì)精度高。

關(guān)鍵詞：欠采樣；解模糊；相位差；譜峰重疊

0引言

欠采樣頻率估計(jì)技術(shù)是當(dāng)前信號(hào)處理的研究熱點(diǎn)，目前已有大量研究。文獻(xiàn)[1]提出了利用延時(shí)和非延時(shí)通道的相位差與入射信號(hào)頻率之間的關(guān)系對(duì)原信號(hào)進(jìn)行頻率估計(jì)的欠采樣算法。但是該算法抗噪聲性能差，估計(jì)精度不高。文獻(xiàn)[2]對(duì)文獻(xiàn)[1]提出的算法加以改進(jìn)，將遲延相位差與欠采樣頻譜結(jié)果相結(jié)合，提高了估計(jì)精度，并對(duì)多信號(hào)頻率估計(jì)的方法進(jìn)行了簡(jiǎn)要分析。但是該文獻(xiàn)對(duì)多信號(hào)頻率估計(jì)的分析不夠深入，并回避了當(dāng)不同信號(hào)在欠采樣頻譜圖中出現(xiàn)譜峰重疊時(shí)測(cè)頻不準(zhǔn)的情況。

本文給出一種新的遲延相位差結(jié)合快速傅里葉變換(fast Fourier transform,FFT)欠采樣測(cè)頻算法，重點(diǎn)分析了該算法對(duì)于多信號(hào)頻率估計(jì)的可行性，提出了譜峰重疊時(shí)測(cè)頻不準(zhǔn)的解決方法。

1遲延相位差測(cè)頻解模糊原理

基于欠采樣延遲相位差測(cè)頻法[3]的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1　延遲欠采樣接收機(jī)原理框圖Fig.1　Block diagram for delayed sub-sampling receiver

輸入信號(hào)分為2路進(jìn)行欠采樣處理，其中一路不延遲，而另一路則在延遲時(shí)間τ后開(kāi)始采樣，2路采樣頻率相同。此時(shí)得到的2路頻譜圖中譜峰位置相同，但是譜峰包含的相位信息卻不同，由此可求解出原信號(hào)頻率值。

信號(hào)頻率與相位差的關(guān)系可表示為

θ=θd-θu=2πfτ，

(1)

(2)

式中：θu為非延遲路徑信號(hào)的相位；θd為延遲路徑信號(hào)的相位。它們由欠采樣頻譜圖中譜峰位置km對(duì)應(yīng)的頻譜實(shí)部與虛部求出：

(3)

(4)

式中：Xru(km)與Xiu(km)分別為非延遲路徑頻譜的實(shí)部和虛部；Xrd(km)與Xid(km)分別為延遲路徑的實(shí)部和虛部。

該方法計(jì)算過(guò)程與欠采樣頻率無(wú)關(guān)，僅由信號(hào)延遲前后的相位差求出原始頻率。但是，只有當(dāng)相位差滿足θ=2πfτ<2π，即f<1/τ時(shí)，頻率f與θ才能一一對(duì)應(yīng)，不會(huì)存在模糊。所以該方法的最大可測(cè)信號(hào)頻率為fmax=1/τ。理論上延遲時(shí)間越短，最大可測(cè)頻率就越大。但考慮到實(shí)際噪聲等因素，延遲時(shí)間越短，測(cè)量精度將越低。

2基于遲延相位差結(jié)合FFT的信號(hào)頻率參數(shù)估計(jì)

由于噪聲對(duì)頻譜的相位影響較大，該算法在低信噪比的條件下并不能得到理想的估計(jì)精度。因此可以將遲延相位差與FFT相結(jié)合對(duì)入射信號(hào)進(jìn)行高精度頻率估計(jì)。

在欠采樣通道中，頻譜圖將發(fā)生頻率混疊的現(xiàn)象[4]，此時(shí)譜峰所對(duì)應(yīng)頻率值為混疊頻率。

假設(shè)進(jìn)入欠采樣通道的信號(hào)頻率為f，其取值范圍為[fmin,fmax]。假設(shè)經(jīng)過(guò)采樣頻率為fs的欠采樣后，頻譜圖中譜峰所對(duì)應(yīng)的頻率值(即混疊頻率)為fm。則待估計(jì)頻率f與欠采樣頻率fs，混疊頻率fm的關(guān)系[5]可表示為

f=kfs+fm，

(5)

式中：k為在[(fmin-fm)/fs,(fmax-fm)/fs]范圍中的未知自然數(shù)。只有確定k值才能求得頻率估計(jì)值。

由于頻譜幅值對(duì)噪聲的敏感性比相位對(duì)噪聲的敏感性更弱[6]，混疊頻率的估計(jì)精度依然很高。因此，只需通過(guò)遲延相位差測(cè)頻法來(lái)確定待估計(jì)頻率f的大致取值區(qū)間[nfs,(n+1)fs]，從而確定k值，就可得到精度較高的頻率估計(jì)值。

該算法具體步驟如下：

(1) 信號(hào)s(t)=Aexp{j(2πft+φ)}+v(t)經(jīng)功分器分配得到2路信號(hào)。一路進(jìn)入采樣頻率為fs的欠采樣通道，一路進(jìn)入采樣頻率為fs，延遲時(shí)間為τ的延遲通道，得到

x1(n)=Aexp{j2πfn/fs+φ}+v(n)，

(6)

x2(n)=Aexp{j2πf(n/fs-τ)+φ}+v(n)

(7)

(2) 找到頻譜圖中的譜峰位置km，km對(duì)應(yīng)的頻率值為混疊頻率fm。運(yùn)用遲延相位差測(cè)頻原理，通過(guò)延遲前后譜峰對(duì)應(yīng)的相位差θ求得信號(hào)頻率的大致估計(jì)值fg：

θ=2πfgτ，

(8)

(9)

(4) 令k1=n-1,k2=n,k3=n+1(若k1<0則舍棄k1)，則有

fi=kifs+fm,i=1,2,3,

(10)

將fi與fg相減，得到差值Ci：

(11)

式中：Ci中數(shù)值最小的所對(duì)應(yīng)的fi即為最終頻率估計(jì)值。

在步驟(3)中，將待估計(jì)頻率的取值范圍設(shè)為[(n-1)fs,(n+2)fs]而不是[nfs,(n+1)fs]，其原因是因?yàn)樵谠肼暤母蓴_下，由遲延相位差測(cè)頻法得到的估計(jì)頻率大致值fg可能與實(shí)際值偏差較大，并非處于[kfs,(k+1)fs]的范圍，而是處于[(k-1)fs,kfs]或[(k+1)fs,(k+2)fs]的范圍里。因此需要將頻率的大致取值區(qū)間擴(kuò)大為[(n-1)fs,(n+2)fs]，結(jié)合FFT混疊頻率求出原信號(hào)頻率的3個(gè)可能估計(jì)值，然后再與fg比較，最接近的即為最終估計(jì)結(jié)果。

3遲延相位差測(cè)頻多信號(hào)頻率參數(shù)估計(jì)應(yīng)用

當(dāng)欠采樣系統(tǒng)接收到多個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)時(shí)，則需要同時(shí)對(duì)多個(gè)信號(hào)的頻率進(jìn)行估計(jì)。本文中提到的遲延相位差測(cè)頻法可以同時(shí)對(duì)多個(gè)信號(hào)進(jìn)行估計(jì)[7]。

當(dāng)多個(gè)信號(hào)經(jīng)欠采樣后，由于頻譜混疊，本來(lái)頻率相差很大的2個(gè)信號(hào)可能會(huì)在頻譜圖中出現(xiàn)譜峰重疊的情況。即當(dāng)2待估計(jì)頻率f1,f2滿足f1=k1fs+fm，且f2=k2fs+fm(其中fs為欠采樣頻率，fm為混疊頻率，k1,k2為不相等的2未知自然數(shù))時(shí)，在頻譜圖中僅會(huì)出現(xiàn)一個(gè)譜峰。此時(shí)對(duì)多信號(hào)的頻率估計(jì)將會(huì)更加困難。

本文以同時(shí)對(duì)2未知頻率的信號(hào)進(jìn)行估計(jì)為例，分無(wú)譜峰重疊和有譜峰重疊2種情況說(shuō)明遲延相位差測(cè)頻法在多信號(hào)頻率參數(shù)估計(jì)中的應(yīng)用，并對(duì)同時(shí)多個(gè)信號(hào)(≥3個(gè))發(fā)生譜峰重疊的情況進(jìn)行簡(jiǎn)單分析。

3.1頻譜圖中無(wú)譜峰重疊情況發(fā)生

當(dāng)頻譜圖中沒(méi)有發(fā)生譜峰重疊時(shí)，頻譜圖中會(huì)同時(shí)出現(xiàn)2個(gè)譜峰。每個(gè)譜峰對(duì)應(yīng)的頻率值即為混疊頻率fm1與fm2。

設(shè)2入射信號(hào)各為s1(t)=A1exp{j(2πf1t+φ1)}+v1(t)與s2(t)=A2exp{j(2πf2t+φ2)}+v2(t)。其中，vi(t)為隨機(jī)噪聲，Ai為幅度，φi為初始相位，fi為待估計(jì)頻率(其中i=1,2)。fi的取值范圍為[fmin,fmax]。信號(hào)經(jīng)采樣頻率為fs的欠采樣處理生成的頻譜圖中，設(shè)譜峰位置km1對(duì)應(yīng)的頻率fm1為f1的混疊頻率，譜峰位置km2對(duì)應(yīng)的頻率fm2為f2的混疊頻率。于是有

f1=k1fs+fm1，

(12)

f2=k2fs+fm2.

(13)

另一路經(jīng)延遲時(shí)間為τ的延遲處理后，頻譜圖中譜峰位置并未改變[8]，仍然為km1與km2，改變的僅僅是譜峰相位。因此可以根據(jù)遲延相位差測(cè)頻原理直接對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻率估計(jì)，求出2信號(hào)的大致頻率估計(jì)值。最后結(jié)合混疊頻率fm1與fm2可得出高精度的頻率估計(jì)值。所以只要多個(gè)信號(hào)欠采樣頻譜圖中的多個(gè)譜峰相隔足夠遠(yuǎn)[9]，便可直接運(yùn)用遲延相位差結(jié)合FFT的信頻率估計(jì)算法對(duì)多信號(hào)同時(shí)進(jìn)行估計(jì)。

3.2頻譜圖中有譜峰重疊情況發(fā)生

當(dāng)頻譜圖中發(fā)生譜峰重疊的情況時(shí)，頻譜圖中僅會(huì)出現(xiàn)一個(gè)譜峰，設(shè)譜峰位置為km3，對(duì)應(yīng)的混疊頻率為fm3。于是對(duì)于待估計(jì)頻率f1,f2有

f1=k1fs+fm3，

(14)

f2=k2fs+fm3，

(15)

式中：k1,k2為不相等的2未知自然數(shù)。

若直接使用譜峰位置km3對(duì)應(yīng)的相位差來(lái)進(jìn)行測(cè)頻處理，仿真實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，f1,f2的估計(jì)結(jié)果與f1,f2原始值相比有以下關(guān)系：

fg1=fg2=(f1+f2)/2.

(16)

此時(shí)估計(jì)結(jié)果同原信號(hào)頻率相比出現(xiàn)了太大偏差[10]，難以直接得到高精度還原的結(jié)果。但是，通過(guò)分析，選擇合適的延遲時(shí)間τ與采樣頻率fs，仍然可在譜峰重疊情況下求得f1,f2的值。

分析頻率估計(jì)值fg1,fg2與混疊頻率fm3的關(guān)系可知：

fg1+fg2=f1+f2=(k1fs+fm3)+(k2fs+fm3)=

(k1+k2)fs+2fm3.

(17)

由于fg1,fg2,fm3,fs均是已知或已求得的值，因此可以計(jì)算出kg=k1+k2的值：

kg=(fg1+fg2-2fm3)/fs,

(18)

k1,k2,kg為自然數(shù)，只要保證根據(jù)求得的kg可以無(wú)模糊地得到k1,k2值，就能完成頻率估計(jì)。

設(shè)f1

由待估計(jì)頻率f與欠采樣頻率fs，混疊頻率fm的關(guān)系式f=kfs+fm可知待估計(jì)頻率的范圍可由欠采樣頻率表示為：f∈[0,(kmax+1)fs]。又因?yàn)閗max不能大于2，于是該算法可順利進(jìn)行多信號(hào)頻率估計(jì)的測(cè)頻范圍為[0,3fs]。因此在遲延相位差測(cè)頻時(shí)，延遲時(shí)間τ必須滿足1/τ≤3fs。

若發(fā)生譜峰重疊的信號(hào)數(shù)≥3，上述判斷方法依然適用。由于已經(jīng)將測(cè)頻范圍限定為[0,3fs]，因此頻率混疊區(qū)間只能分為[0,fs],[fs,2fs],[2fs,3fs] 3部分。顯然最多只能同時(shí)有3個(gè)信號(hào)在某一譜峰中發(fā)生重疊，則無(wú)需考慮信號(hào)數(shù)大于3的情況。此時(shí)頻率估計(jì)的求解方法更為簡(jiǎn)單，無(wú)需過(guò)多的邏輯判斷，只要找到譜峰對(duì)應(yīng)的混疊頻率fm，即可知發(fā)生譜峰重疊的3個(gè)信號(hào)頻率分別為fm3,fs+fm3,2fs+fm3。

在實(shí)際環(huán)境中，由于噪聲的干擾，當(dāng)不同頻率的譜峰距離很近但又沒(méi)有發(fā)生重疊時(shí)，仍可能在頻率估計(jì)時(shí)出現(xiàn)譜峰重疊時(shí)的估計(jì)結(jié)果[11]。但譜峰重疊時(shí)的還原算法對(duì)于上述情況仍然適用。因此可以通過(guò)設(shè)置門限，當(dāng)2譜峰距離小于門限時(shí)，使用譜峰重疊時(shí)的還原算法(但在沒(méi)有完全重疊時(shí)仍需求出2個(gè)混疊頻率fm1,fm2以提高估計(jì)準(zhǔn)確度)；當(dāng)2譜峰距離大于門限時(shí)，則可直接對(duì)不同信號(hào)的頻率進(jìn)行估計(jì)。該門限的設(shè)置主要是由噪聲對(duì)頻譜相位的影響程度決定的，信噪比越低門限值就應(yīng)越大[12]。仿真發(fā)現(xiàn)，當(dāng)信噪比為-5 dB時(shí)譜峰距離小于2 MHz就易發(fā)生頻譜重疊時(shí)的估計(jì)情況。因此本文仿真實(shí)驗(yàn)將譜峰距離門限設(shè)置為2 MHz。

4仿真實(shí)驗(yàn)分析與誤差分析

仿真實(shí)驗(yàn)1：

假定輸入信號(hào)s(t)=exp{j(2πf1t+φ1)}+exp{j(2πf2t+φ2)}+exp{j(2πf3t+φ3)}+v(t)，v(t)為高斯白噪聲，入射信號(hào)個(gè)數(shù)為3。設(shè)信號(hào)頻率為f1=705 MHz,f2=886 MHz,f3=1437 MHz,采樣頻率為550 MHz。對(duì)信號(hào)進(jìn)行測(cè)頻范圍為[0,1 500 MHz]的遲延相位差結(jié)合FFT測(cè)頻處理(則延遲時(shí)間為τ=1/1 500=0.667 ns)。經(jīng)過(guò)500次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)后，得到的隨信噪比增大的信號(hào)頻率估計(jì)值，如圖2a)所示；得到的隨信噪比增大的信號(hào)頻率估計(jì)值的均方根誤差如圖2b)所示。

圖2　仿真實(shí)驗(yàn)一的多信號(hào)頻率估計(jì)效果Fig.2　Result of multi signal frequency　　　estimation in experiment 1

當(dāng)信噪比等于-5 dB時(shí)，該仿真的頻譜圖如圖4a)所示。3個(gè)入射信號(hào)在該頻譜圖中的混疊頻率分別為155.03 MHz,336.08MHz,336.89MHz。頻譜圖中可以看到，頻率為f1的信號(hào)的譜峰距離其他兩信號(hào)的譜峰較遠(yuǎn)，但頻率為f2,f3的兩信號(hào)譜峰相隔非常近，譜峰所包含的相位信息也因此受到干擾。僅運(yùn)用未改進(jìn)的遲延相位差測(cè)頻，求得3個(gè)頻率估計(jì)值分別為：678.77 MHz,1133.21 MHz,1172.54 MHz。對(duì)于信號(hào)1，可直接運(yùn)用結(jié)合FFT測(cè)頻算法得到高精度的頻率估計(jì)值fg1：

155.03=705.03(MHz).

(19)

而對(duì)于信號(hào)2與信號(hào)3，由于其2譜峰距離小于門限2 MHz，則對(duì)其進(jìn)行高精度測(cè)頻時(shí)更適宜采用譜峰重疊時(shí)的算法。由已知的數(shù)據(jù)得到

kg=[(1 133.21+1 172.54-336.08-336.89)/550]=3.

(20)

則又可通過(guò)kg=k2+k3算出信號(hào)2與信號(hào)3的頻率混疊區(qū)間為k2=1,k3=2。于是得到最終的頻率估計(jì)值：

fg2=1×550+336.08=886.08(MHz)，

(21)

fg3=2×550+336.89=1 436.89(MHz).

(22)

仿真估計(jì)效果曲線表明，該測(cè)頻算法在信噪比大于-5 dB后就可獲得非常準(zhǔn)確的估計(jì)值。曲線圖中可以看到，信號(hào)2與信號(hào)3的均方根誤差曲線基本相同。這是因?yàn)樵撍惴ㄔ谧V峰重疊時(shí)，是在獲得初步估計(jì)結(jié)果后，通過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算與邏輯判斷來(lái)確定不同信號(hào)的混疊區(qū)間的。只要能通過(guò)遲延相位差測(cè)頻法得到不同信號(hào)的準(zhǔn)確混疊區(qū)間，則不同信號(hào)的最終估計(jì)值的誤差僅由混疊頻率的誤差決定。兩信號(hào)混疊頻率之差非常小，僅在低信噪比條件時(shí)(-20 dB～-15 dB)會(huì)因?yàn)樵肼晫?duì)譜峰幅度的干擾而使得實(shí)際測(cè)得的兩信號(hào)混疊頻率的差值增大。因此該兩信號(hào)估計(jì)誤差基本相同。而對(duì)于信號(hào)1，譜峰并沒(méi)有與其他信號(hào)的譜峰重疊，于是可以直接運(yùn)用譜峰所包含的相位信息與混疊頻率進(jìn)行測(cè)頻，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單。

仿真實(shí)驗(yàn)2：

假定輸入信號(hào)s(t)=exp{j(2πf1t+φ1)}+exp{j(2πf2t+φ2)}+exp{j(2πf3t+φ3)}+v(t)，v(t)為高斯白噪聲，入射信號(hào)個(gè)數(shù)為3。設(shè)信號(hào)頻率為f1=263 MHz,f2=813 MHz,f3=1 363 MHz,采樣頻率為550 MHz。對(duì)信號(hào)進(jìn)行測(cè)頻范圍為[0,1 500 MHz]的遲延相位差結(jié)合FFT測(cè)頻處理(則延遲時(shí)間為τ=1/1 500=0.667 ns)。經(jīng)過(guò)500次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)后，得到的隨信噪比增大的信號(hào)頻率估計(jì)值，如圖3a)所示；得到的隨信噪比增大的信號(hào)頻率估計(jì)值的均方根誤差如圖3b)所示。

圖3　仿真實(shí)驗(yàn)2的多信號(hào)頻率估計(jì)效果Fig.3　Result of multi signal frequency estimation　　　 in experiment 2

當(dāng)信噪比等于-5 dB時(shí)，該仿真的頻譜圖如圖4b)所示，圖中3個(gè)信號(hào)的譜峰完全重合，且譜峰的疊加導(dǎo)致譜峰的幅度明顯大于仿真實(shí)驗(yàn)1頻譜圖中的譜峰幅度。由于只有1個(gè)譜峰，僅運(yùn)用未改進(jìn)的遲延相位差測(cè)頻，可求得3個(gè)頻率估計(jì)值均等于846.15 MHz。為準(zhǔn)確求出3個(gè)信號(hào)的頻率估計(jì)值，可直接利用該譜峰對(duì)應(yīng)的混疊頻率值263.03 MHz，求出最終的頻率估計(jì)值：

fg1=0×550+263.03=263.03 (MHz),

(21)

fg2=1×550+263.03=813.03 (MHz),

(22)

fg3=2×550+263.03=1 363.03 (MHz).

(23)

仿真表明，仿真實(shí)驗(yàn)2在信噪比大于-7 dB后即可得到精度較高的頻率估計(jì)值。該估計(jì)效果明顯好于仿真實(shí)驗(yàn)1的原因是,由于譜峰的重疊導(dǎo)致譜峰幅度的增加，從而在同等信噪比的條件下仿真實(shí)驗(yàn)2能夠獲得更準(zhǔn)確的混疊頻率。顯然從估計(jì)誤差曲線圖中可以看到，由于3個(gè)信號(hào)的混疊頻率是相同的，因此估計(jì)誤差則會(huì)完全相同。

圖4　2次仿真實(shí)驗(yàn)的頻譜圖Fig.4　Frequency spectrogram of two experiments

5結(jié)束語(yǔ)

在欠采樣的情況下，本文利用信號(hào)延遲前后的相位差，并結(jié)合欠采樣FFT后得到的混疊頻率，實(shí)現(xiàn)了對(duì)多正弦信號(hào)的無(wú)模糊頻率估計(jì)。本文重點(diǎn)分析了當(dāng)欠采樣FFT頻譜圖出現(xiàn)譜峰重疊時(shí)，難以直接運(yùn)用遲延相位差測(cè)頻得到準(zhǔn)確的多信號(hào)頻率估計(jì)值的情況，提出了運(yùn)用邏輯判斷確定不同信號(hào)的取值區(qū)間，進(jìn)而通過(guò)混疊頻率得到不同信號(hào)頻率的準(zhǔn)確估計(jì)值的測(cè)頻算法。雖然該算法將欠采樣的測(cè)頻帶寬限制在3倍欠采樣頻率以內(nèi)，但帶寬超過(guò)此范圍不多時(shí)仍有良好的估計(jì)效果。

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Application on the Improved Frequency Estimation of Multi Signal Based on Delayed Phase Difference

YU Peng-jun,RUAN Huai-lin

(Electronic Engineering Institute,Anhui Hefei 230037,China)

Abstract:A sub-sampling frequency estimation algorithm is proposed to aim at multi signals. By using the allowed error of delayed phase difference, the range of frequencies is roughly obtained. Then the high-accuracy frequency estimation values of multi signal are obtained based on the sub sampling frequency domain results. The problem that the wrong results are gained when the phenomenon of peak overlapping happens in sub-sampling spectrogram is solved. The results of simulation show that the algorithm has good anti-noise capability to get high-precision estimates.

Key words:sub-sampling；solving ambiguity；phase difference；peak overlapping

中圖分類號(hào)：TN911.72；O174.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1009-086X(2015)-01-0114-06

doi:10.3969/j.issn.1009-086x.2015.01.019

通信地址：230037合肥市黃山路460號(hào)505教研室E-mail：cjlcdw1988@126.com

作者簡(jiǎn)介：余朋駿(1988-)，男，四川自貢人。碩士生，研究方向?yàn)樾盘?hào)與信息處理。

收稿日期：2014-04-01；
修回日期：2014-05-13