盧雷，楊江平

(空軍預(yù)警學(xué)院，湖北 武漢　430019)

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任意壽命分布下k/N(G)系統(tǒng)定時維修決策模型*

盧雷，楊江平

(空軍預(yù)警學(xué)院，湖北 武漢430019)

摘要：針對大型k/N(G)系統(tǒng)維修保障特點(diǎn)，提出了一種定時維修策略。以系統(tǒng)使用可用度為約束條件，以系統(tǒng)期望維修費(fèi)用率最小化為優(yōu)化目標(biāo)，建立了任意壽命分布下k/N(G)系統(tǒng)定時維修優(yōu)化模型，并提出了一種求解模型的數(shù)值迭代算法。實例分析表明，該模型既能計算定時維修策略下k/N(G)系統(tǒng)使用可用度和期望維修費(fèi)用率，又能確定最佳的定時維修間隔期和最佳的換件維修人數(shù)，可為k/N(G)系統(tǒng)預(yù)防性維修提供決策支持。

關(guān)鍵詞：冗余系統(tǒng)；定時維修；壽命分布；可用度；維修費(fèi)用率

0引言

為滿足高可用度和高可靠性的要求，大型復(fù)雜裝備如艦船、相控陣?yán)走_(dá)中越來越多地使用大型k/N(G)系統(tǒng)，例如某型艦載雷達(dá)的4個天線陣面均可視為一個3 000取2 700的k/N(G)系統(tǒng)。與其他系統(tǒng)相比，大型k/N(G)系統(tǒng)在維修保障方面具有系統(tǒng)龐大、設(shè)備量多、維修任務(wù)重等特點(diǎn)。對于這一類系統(tǒng)，科學(xué)合理的預(yù)防性維修策略將使系統(tǒng)的保障工作簡單、工作量少、保障費(fèi)用低，并使系統(tǒng)達(dá)到較高的戰(zhàn)備完好性水平。針對這類系統(tǒng)，文獻(xiàn)[1-2]研究了部件故障后立即送修這一策略下k/N(G)系統(tǒng)使用可用度模型，部件故障后立即送修策略適用于部件總數(shù)較小的k/N系統(tǒng)。對于部件總數(shù)很大的k/N系統(tǒng)，如900/1 000(G)系統(tǒng)，若采用這一策略，則會使系統(tǒng)停機(jī)時間增加，維修工作量增大?？紤]到部件之間存在的維修相關(guān)性，多部件成組維修近來受到較多關(guān)注。文獻(xiàn)[3]提出了一種D維修策略，D維修策略是指當(dāng)系統(tǒng)中因部件故障引起的維修工作量超過門限D(zhuǎn)時才開始對系統(tǒng)進(jìn)行維修，并以系統(tǒng)期望費(fèi)用利潤率最大為準(zhǔn)則求取最優(yōu)的D值，但該策略的前提假設(shè)為部件壽命服從指數(shù)分布，且維修人員數(shù)量為1。文獻(xiàn)[4-5]將k/N(G)系統(tǒng)在一個預(yù)防維護(hù)周期內(nèi)的故障分為2類，第1類系統(tǒng)故障是指系統(tǒng)發(fā)生失效的部件數(shù)小于k，第2類系統(tǒng)故障是指系統(tǒng)發(fā)生失效的部件數(shù)大于k，對于2類故障分別采用小修處理和完全替換處理，但該策略中小修次數(shù)較多，維修任務(wù)量大，可操作性不強(qiáng)。文獻(xiàn)[6-8]建立了m視情維修策略下k/N(G)系統(tǒng)的使用可用度模型，分析了維修策略參數(shù)m、初始備件數(shù)量以及維修人員數(shù)量對系統(tǒng)使用可用度的影響，m維修策略是指當(dāng)N個部件中故障部件數(shù)量達(dá)到m(0

1k/N(G)系統(tǒng)定時維修策略描述

k/N(G)系統(tǒng)由N個相同部件組成，各部件的壽命服從相同的分布且故障發(fā)生相互獨(dú)立。假設(shè)r個人員負(fù)責(zé)系統(tǒng)的換件維修，且換件維修時保障資源充足。系統(tǒng)采用如下定時維修策略：系統(tǒng)開始工作時,N個部件都正常，當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行時間達(dá)到T時若仍然正常工作(故障部件數(shù)小于N-k+1)，則對系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)防性換件維修，更換系統(tǒng)中所有故障部件，預(yù)防性換件維修時間假設(shè)為tp；而當(dāng)系統(tǒng)在時間T以前發(fā)生故障(故障部件數(shù)大于等于N-k+1)，則對系統(tǒng)進(jìn)行故障換件維修，更換系統(tǒng)中所有故障部件，故障換件維修時間假設(shè)為tf；預(yù)防性換件維修或故障換件維修完成后，系統(tǒng)重新開始運(yùn)行。定時維修策略如圖1所示。

定時維修策略的優(yōu)點(diǎn)是能提前安排維修所需的保障資源，并通過成組批量更換故障部件減少維修工作量，從而提高系統(tǒng)利用率，降低維修費(fèi)用。

2維修決策建模

2.1符號意義

Ao(T,r)：當(dāng)預(yù)防性維修間隔期為T，換件維修人員總數(shù)為r時，系統(tǒng)長期運(yùn)行的使用可用度；

cf：系統(tǒng)一次故障換件維修所需費(fèi)用；

cp：系統(tǒng)一次預(yù)防性換件維修所需費(fèi)用；

f(t)：部件壽命概率密度函數(shù)；

F(t)：部件壽命分布函數(shù)；

Fk(t)：k/N(G)系統(tǒng)壽命分布函數(shù)；

k：系統(tǒng)正常工作所需的最低正常部件數(shù)量；

L(T,r)：當(dāng)預(yù)防性維修間隔期為T，換件維修人員總數(shù)為r時，系統(tǒng)長期運(yùn)行的期望維修費(fèi)用率；

MTTF：k/N(G)系統(tǒng)的平均壽命；

N：k/N(G)系統(tǒng)總的部件數(shù)；

q(t)：部件失效率函數(shù)；

R(t)：部件可靠度函數(shù)；

Rk(t)：k/N(G)系統(tǒng)可靠度函數(shù)；

tf：系統(tǒng)一次故障換件維修所需時間；

tp：系統(tǒng)一次預(yù)防性換件維修所需時間；

μ：單個部件的換件維修率。

2.2模型分析

使用可用度和維修費(fèi)用率是2個關(guān)鍵的維修決策目標(biāo)[9]。下面，將從這2個方面進(jìn)行建模分析。

假設(shè)k/N(G)系統(tǒng)中任一部件的壽命分布函數(shù)為F(t)，密度函數(shù)為f(t)，則部件失效率函數(shù)q(t)與兩者的關(guān)系為[10]

(1)

對式(1)兩邊進(jìn)行積分，可推導(dǎo)出：

(2)

根據(jù)k/N(G)系統(tǒng)的特點(diǎn)：當(dāng)N個部件中有k個或k個以上部件正常工作時，系統(tǒng)才正常工作，則k/N(G)系統(tǒng)的可靠度為[11]

(3)

k/N(G)系統(tǒng)的累積失效函數(shù)為

(4)

k/N(G)系統(tǒng)的平均壽命為

(5)

如果令相鄰2次系統(tǒng)開始運(yùn)行的時間間隔為一個周期，令X為一個任意的周期中k/N(G)系統(tǒng)正常工作的時間(系統(tǒng)中失效部件數(shù)量≤n-k+1的時間)，則一個周期的長度為

(6)

所以，一個周期的期望長度E(Y)為

(7)

式中：E[tf]為系統(tǒng)故障換件的期望維修時間；E[tp]為系統(tǒng)預(yù)防性換件的期望維修時間。

當(dāng)換件維修人員總數(shù)r小于需換件維修的部件數(shù)量時，E[tf]和E[tp]可分別表示為

(8)

(9)

式中：μ為單個部件的換件維修率。

使用可用度是系統(tǒng)的能工作時間與能工作時間、不能工作時間的和之比[12]。k/N(G)系統(tǒng)長期運(yùn)行的使用可用度可表示為

(10)

同理，可得出一個周期的期望費(fèi)用E(C)為

(11)

所以，系統(tǒng)長期運(yùn)行的維修費(fèi)用率為

(12)

2.3維修決策模型

根據(jù)以上的分析，以定時預(yù)防性維修間隔期T和換件維修人員數(shù)量r為決策變量，以系統(tǒng)可用度為約束條件，系統(tǒng)期望維修費(fèi)用率最低為優(yōu)化目標(biāo)，建立定時維修策略下k/N(G)系統(tǒng)維修決策模型如下：

(13)

式中：Aaccept為最低可接受使用可用度值。

2.4數(shù)值迭代算法

為了要求在系統(tǒng)發(fā)生故障前(系統(tǒng)中故障部件數(shù)超過N-k)對系統(tǒng)進(jìn)行定時預(yù)防性維修，所以定時維修間隔期T一般小于系統(tǒng)的平均壽命MTTF。同時，為避免因換件維修人員過多而導(dǎo)致的資源閑置，所以換件維修人數(shù)r一般小于系統(tǒng)故障停機(jī)時部件失效總數(shù)N-k。

在上述約束條件下，為求解最佳的定時維修間隔期T和最佳的換件維修人數(shù)r，提出了維修決策模型的迭代求解方法，如圖2所示。

3實例分析

某大型相控陣?yán)走_(dá)天線陣面由1 000個相同的收發(fā)通道組成，當(dāng)陣面通道的故障數(shù)>100個時，雷達(dá)無法完成正常的探測。因此，該天線陣面可視為一個900/1 000(G)的k/N(G)系統(tǒng)。已知條件有：μ=2個/h，cf=10 000元，cp=2 500元，Aaccept=0.95。

實驗1部件壽命服從威布爾分布

根據(jù)建立的維修決策模型，利用數(shù)值迭代算法可求出威布爾壽命分布下使期望維修費(fèi)用率L(T,r)最小化且滿足Ao(T,r)>Aaccept的(Toptimal,roptimal)組合，如表1所示。

實驗2部件壽命服從指數(shù)分布

假設(shè)系統(tǒng)中各項部件的壽命服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，λ=0.000 3次/h。利用Matlab軟件進(jìn)行仿真，可以得出不同(T,r)組合下的期望維修費(fèi)用率曲線，如圖4所示。

同樣，可求出指數(shù)壽命分布下使期望維修費(fèi)用率L(T,r)最小化且滿足Ao(T,r)>Aaccept的(Toptimal,roptimal)組合，如表1所示。

由圖3和圖4可知：無論部件壽命服從威布爾分布或指數(shù)分布，系統(tǒng)期望維修費(fèi)用率L(T,r)并不隨著預(yù)防性維修間隔期T和維修人員數(shù)量r單調(diào)變化，而是存在一個最優(yōu)的(Toptimal,roptimal)組合使系統(tǒng)長期運(yùn)行期望維修費(fèi)用率最小化且滿足使用可用度約束要求。同時，結(jié)合表1可知，通過模型計算和迭代算法求解可找出最優(yōu)的(Toptimal,roptimal)組合。

4結(jié)束語

本文建立了任意壽命分布下k/N(G)系統(tǒng)定時維修決策模型，主要結(jié)論有以下幾點(diǎn)：

(1) 模型適用于部件壽命服從任意分布(威布爾分布、指數(shù)分布等)的k/N(G)系統(tǒng)，通用性較強(qiáng)。

(2) 與目前多數(shù)維修決策模型只考慮一種優(yōu)化目標(biāo)不同，本文的模型同時考慮了可用度和維修費(fèi)用率2個優(yōu)化目標(biāo)，屬于多目標(biāo)維修決策優(yōu)化模型。

(3) 本文的模型既可用來計算定時預(yù)防性維修策略下k/N(G)系統(tǒng)的可用度和維修費(fèi)用率，也可利用數(shù)值迭代算法確定最優(yōu)的定時維修間隔期和維修人員數(shù)量，可為k/N(G)系統(tǒng)預(yù)防性維修策略和維修人力資源的優(yōu)化提供決策支持。

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Time Based Maintenance Optimization Model fork/N(G) System with Various Lifetime Distributions

LU Lei，YANG Jiang-ping

(Air Force Early Warning Academy, Hubei Wuhan 430019, China)

Abstract:A time based maintenance policy for large-scalek/N(G) system is presented. This policy is provided by the maintenance and support characteristic ofk/N(G) system. On the basis of the policy, a maintenance optimization model is established. The model minimizes system maintenance cost rate under the condition of system operational availability. Then, a numeric iteration algorithm is proposed to solve the model. Example shows that the model can computek/N(G) system operational availability and system maintenance cost rate, and meanwhile the model can obtain the optimal maintenance interval time and the optimal number of maintenance personnel. This research provides decision supporting for the preventive maintenance of large-scalek/N(G) system.

Key words:redundancy system; time based maintenance; lifetime distribution; availability; maintenance cost rate

收稿日期：2014-02-13；
修回日期：2014-04-13

基金項目：國防科研基金項目(KJ2011196)

作者簡介：盧雷(1985-)，男，湖北武漢人。博士生，主要研究方向為裝備綜合保障建模與仿真。

通信地址：441100湖北省襄陽市南漳縣城關(guān)鎮(zhèn)樊灣村張華超市E-mail：lulei61588772@163.com

doi:10.3969/j.issn.1009-086x.2015.01.023

中圖分類號：TH165.3；N945.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1009-086X(2015)-01-0135-05