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        矩陣在數(shù)學(xué)計算中的應(yīng)用

        2015-03-08 13:06:36于榮格江瑞
        黑龍江科學(xué) 2015年3期

        于榮格,江瑞

        (滄州師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,河北 滄州 061001)

        行列式和矩陣在高等代數(shù)中占據(jù)著非常重要的地位,筆者給出矩陣在高等代數(shù)的三類不同計算中的應(yīng)用。

        1 計算由幾個向量所生成的子空間的維數(shù)

        例1:

        在P4中求由向量 生成的子空間維數(shù),

        其中:

        矩陣A的秩為3,所以由向量 生成的子空間維數(shù)為3。

        2 利用矩陣的秩來判定一個方程組是否有解

        由[1]中的第四章,我們有下面的定理

        引理 1[1]:

        (線性方程組可解的判別法)線性方程組

        有解的充分且必要條件是:

        它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩。

        根據(jù)此定理我們可以判斷一個方程組是否有解。

        例2:

        秩:

        所以,由引理1知方程組有解。

        3 通過對二次型的矩陣進(jìn)行合同變換將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形

        定義 1[2]:

        數(shù)域P上n×n矩陣A,B稱為合同的,如果有數(shù)域P上n×n矩陣C,使

        用初等變換把二次型的矩陣化為對角矩陣,為了保證所得的矩陣與原矩陣合同,我們要成對地進(jìn)行初等變換,即作一次初等行變換后必須作一次相同的列變換。

        設(shè)二次型 。對2n×n矩陣進(jìn)行初等變換,將A化成對角形,并且保證了合同關(guān)系。

        如果

        例3:

        解:

        二次型 的矩陣為

        用合同變換將A化為對角形

        [1] 張 禾瑞,郝 新.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,1983.

        [2] 北 京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2003.

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