于榮格,江瑞
(滄州師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,河北 滄州 061001)
行列式和矩陣在高等代數(shù)中占據(jù)著非常重要的地位,筆者給出矩陣在高等代數(shù)的三類不同計算中的應(yīng)用。
例1:
在P4中求由向量 生成的子空間維數(shù),
其中:
解
矩陣A的秩為3,所以由向量 生成的子空間維數(shù)為3。
由[1]中的第四章,我們有下面的定理
引理 1[1]:
(線性方程組可解的判別法)線性方程組
有解的充分且必要條件是:
它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩。
根據(jù)此定理我們可以判斷一個方程組是否有解。
例2:
秩:
所以,由引理1知方程組有解。
定義 1[2]:
數(shù)域P上n×n矩陣A,B稱為合同的,如果有數(shù)域P上n×n矩陣C,使
用初等變換把二次型的矩陣化為對角矩陣,為了保證所得的矩陣與原矩陣合同,我們要成對地進(jìn)行初等變換,即作一次初等行變換后必須作一次相同的列變換。
設(shè)二次型 。對2n×n矩陣進(jìn)行初等變換,將A化成對角形,并且保證了合同關(guān)系。
如果
例3:
解:
二次型 的矩陣為
用合同變換將A化為對角形
[1] 張 禾瑞,郝 新.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,1983.
[2] 北 京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2003.