陳 翔 汪連棟 陳永光 曾勇虎 韓 慧 董 俊

（1.電子信息系統(tǒng)復(fù)雜電磁環(huán)境效應(yīng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南 洛陽(yáng)471003；2.北京跟蹤與通信技術(shù)研究所，北京100094）

引 言

現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)及人們習(xí)慣中，一些電磁兼容測(cè)量結(jié)果常以幅頻曲線(xiàn)表征，如材料的屏蔽效能、濾波器的插入損耗、接收天線(xiàn)的頻域特性以及傳感器探頭的校正系數(shù)等等.在實(shí)驗(yàn)條件受限，而人們又希望僅通過(guò)頻域測(cè)量結(jié)果估計(jì)系統(tǒng)的時(shí)域特性時(shí)，就需要采取一定的方法對(duì)忽略的相頻信息進(jìn)行重構(gòu).可行的方法是，假設(shè)系統(tǒng)為最小（或最大）相位系統(tǒng)，根據(jù)Hilbert變換重構(gòu)其相位信息［1-2］.雖然不是所有系統(tǒng)都滿(mǎn)足最小相位假設(shè)，但任何系統(tǒng)都可表示為一個(gè)最小相位系統(tǒng)和一個(gè)全通系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)，而全通系統(tǒng)并不會(huì)改變傳輸信號(hào)的幅度特性，因此可在最小相位假設(shè)條件下對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行初步考察.

最小相位法陸續(xù)被引入到相關(guān)研究領(lǐng)域解決了各自面臨的實(shí)際問(wèn)題，2000年，石立華等［3］提出使用最小相位系統(tǒng)模型，利用幅-頻曲線(xiàn)重構(gòu)系統(tǒng)的相位信息，進(jìn)而估計(jì)系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)，找到了一條系統(tǒng)的頻域指標(biāo)到時(shí)域指標(biāo)的轉(zhuǎn)換途徑.2004年，謝彥召等［4-5］根據(jù)最小相位原理，基于頻域幅度譜數(shù)據(jù)成功反演了高空核爆電磁脈沖和余（正）弦阻尼振蕩的時(shí)域波形，對(duì)于非最小相位信號(hào)，重建波形與原始波形有一定差異，但還是可以提供一些波形、累計(jì)能量、幅值量級(jí)的信息.2012年，曹景陽(yáng)等［6］將傳感器視為滿(mǎn)足最小相位假設(shè)的信號(hào)傳輸系統(tǒng)，通過(guò)傳感器的修正系數(shù)計(jì)算了相頻特性，得到了系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，進(jìn)而恢復(fù)了待測(cè)電磁脈沖的時(shí)域波形，解決了脈沖敏感度試驗(yàn)中門(mén)限電平不易確定的難題.

以上常規(guī)的最小相位估計(jì)時(shí)域響應(yīng)方法，在實(shí)現(xiàn)過(guò)程中由于反復(fù)使用快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）在時(shí)-頻域間轉(zhuǎn)換信號(hào)，會(huì)產(chǎn)生額外的數(shù)值誤差，此時(shí)必須仔細(xì)選擇FFT的相關(guān)參數(shù)，減小引入誤差.一些改進(jìn)的處理方法是使用prony法［3］、最佳逼近元法［7］或者是濾波器建模［8］等對(duì)頻域傳遞函數(shù)進(jìn)行參數(shù)化估計(jì)，得到系統(tǒng)的離散傳遞函數(shù)模型，由頻域參數(shù)模型估計(jì)系統(tǒng)的沖激響應(yīng).但是，prony法等參數(shù)建模方法也存在著一些的局限性［9］，如擬合精度差、所得極點(diǎn)不穩(wěn)定、算法的收斂性特別依賴(lài)于初始值的選擇等.文獻(xiàn)［6］和文獻(xiàn)［7］的討論中還提到常規(guī)最小相位法對(duì)于高頻噪聲較為敏感，噪聲對(duì)重建效果影響較大.

為克服prony法等參數(shù)估計(jì)方法的不足，減小最小相位法對(duì)噪聲的敏感性，提出了一種將向量擬合法（Vector Fitting，VF）與最小相位法（Minimum-Phase，MP）相結(jié)合的由幅頻譜估計(jì)時(shí)域響應(yīng)的改進(jìn)方法（簡(jiǎn)稱(chēng)VF-MP方法）.首先給出VF-MP方法的基本思路，然后在介紹最小相位法與向量擬合基本原理的基礎(chǔ)上，以材料屏蔽效能測(cè)試為研究對(duì)象，使用材料屏蔽效能的仿真數(shù)據(jù)驗(yàn)證VF-MP方法的可行性.

1 基本原理

1.1 最小相位法

在假定系統(tǒng)滿(mǎn)足最小相位的條件下，可通過(guò)Hilbert變換由系統(tǒng)的幅頻信息恢復(fù)相頻信息.利用FFT可以很方便地將數(shù)據(jù)在時(shí)域與頻域間轉(zhuǎn)換，也就可以使用Kolmogoroff方法（簡(jiǎn)稱(chēng)柯氏法）［10］求取幅度譜對(duì)應(yīng)的最小相位序列，其基本流程如圖1所示.其中，Xc（n）為實(shí)倒譜）復(fù)倒譜，x（n）為最小相位序列.首先，對(duì)幅度譜取自然對(duì)數(shù)，然后用傅里葉逆變換（Inverse Fast Fourier Transform，IFFT）和FFT實(shí)現(xiàn)Hilbert變換，再取指數(shù)就可得x（n）的傅里葉變換X（ω），經(jīng)IFFT后得到x（n）.

圖1 柯氏法求解最小相位序列

計(jì)算時(shí)需注意以下幾點(diǎn)：1）取對(duì)數(shù)后的幅度譜在進(jìn)行IFFT之前，需對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)稱(chēng)延拓處理.2）使用FFT得到的實(shí)倒譜（K）是倒譜混疊后的偶數(shù)部分，需經(jīng)頻率不變線(xiàn)性濾波從Xc（n）恢復(fù).3）計(jì)算的在N很大時(shí)才是復(fù)倒譜的有效近似.

式中，lmin（n）＝2u（n）-δ（n）為加窗濾波函數(shù).

柯氏法采用FFT算法，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、計(jì)算快速.但是當(dāng)最小相位系統(tǒng)的零點(diǎn)比較靠近單位圓時(shí)，幅度譜的值接近于0，采用對(duì)數(shù)運(yùn)算會(huì)產(chǎn)生大的誤差，可使用改進(jìn)的柯氏法［10］，通過(guò)迭代估計(jì)來(lái)減小誤差.

1.2 向量擬合

如果直接使用圖1中得到的最小相位序列作為系統(tǒng)的時(shí)域模型，最后估計(jì)的結(jié)果可能受到高頻噪聲的影響.較好的處理方法是根據(jù)最小相位法重構(gòu)的復(fù)頻域傳遞函數(shù)，選取一種模型對(duì)其進(jìn)行參數(shù)估計(jì).與一些常用的參數(shù)建模方法相比，B.Gustavsen提出的向量擬合法［11-12］，能夠?qū)︻l域測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行穩(wěn)定的有理函數(shù)逼近，已成功應(yīng)用于電源系統(tǒng)、電路系統(tǒng)、天線(xiàn)等方面的建模中［13-15］.

復(fù)頻域的離散數(shù)據(jù)，可以由給定階次的兩個(gè)多項(xiàng)式比值的有理函數(shù)式來(lái)擬合為

式中：a0，a1，…，aM和b0，b1，…，bN為待辨識(shí)的實(shí)系數(shù)；s＝j(luò)ω.

假設(shè)有一組復(fù)頻域的采樣數(shù)據(jù)ωi、f（si），i＝1，…，N，將數(shù)據(jù)帶入式（4）可以得到形如Ax＝b的線(xiàn)性方程組.當(dāng)階數(shù)較高、頻率較寬時(shí)將產(chǎn)生一個(gè)“病態(tài)”的方程組.這對(duì)于頻譜范圍寬、頻率上限可高達(dá)GHz以上的電磁脈沖估計(jì)來(lái)說(shuō)，會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的偏差，向量擬合法［11］通過(guò)將式（2）表示成式（3）的部分分式展開(kāi)形式克服了這一缺點(diǎn).

式中：cn是留數(shù)；an是實(shí)數(shù)或者共軛復(fù)數(shù)對(duì)的極點(diǎn)；d和h是實(shí)數(shù).使用最小二乘法估計(jì)式（3）中的參數(shù)，分成極點(diǎn)辨識(shí)和留數(shù)辨識(shí)兩步實(shí)現(xiàn)，

引入輔助函數(shù)σ（s）

或者寫(xiě)為

問(wèn)題的求解就被轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性問(wèn)題，其中cn，d，h，~cn未知.根據(jù)給定的一組頻率點(diǎn)的采樣值，可將式（6）整理成線(xiàn)性方程組的形式

x未知，使用最小二乘法求解式（7）.

由式（8）可得

一次求解得到的極點(diǎn)往往不夠精確，將所得極點(diǎn)作為假定極點(diǎn)，重復(fù)式（4）到式（7）的步驟，進(jìn)行迭代，得到更精確的極點(diǎn).為了獲得更為精確的結(jié)果，根據(jù)式（3）的展開(kāi)式計(jì)算留數(shù).以上關(guān)于極點(diǎn)和留數(shù)的辨識(shí)，都只涉及到線(xiàn)性方程組的運(yùn)算，方程系數(shù)矩陣的條件數(shù)一般也不會(huì)隨階數(shù)的提高增大，與其它方法相比向量擬合法更適用于高階或?qū)掝l帶的有理函數(shù)擬合.

當(dāng)曲線(xiàn)較為平滑時(shí)，僅使用實(shí)數(shù)形式的初始極點(diǎn)即可.當(dāng)曲線(xiàn)有諧振峰時(shí)，初始極點(diǎn)應(yīng)使用式（10）形式的復(fù)共軛極點(diǎn)形式，極點(diǎn)的頻率應(yīng)該覆蓋測(cè)試的范圍.

式中，α＝β／100.

1.3 VF-MP方法的基本流程

不考慮材料的磁飽和等非線(xiàn)性特性，將屏蔽體對(duì)電磁波的屏蔽近似為線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng).以電場(chǎng)屏蔽效能為研究對(duì)象，屏蔽體的電場(chǎng)屏蔽效能S（ω）與其傳遞函數(shù)H（ω）的關(guān)系可表示為式（11）.

式中：ω為角頻率；Eu（ω）為未屏蔽的電場(chǎng)強(qiáng)度；Es（ω）為屏蔽后的電場(chǎng)強(qiáng)度.

傳遞函數(shù)的幅頻特性可寫(xiě)為式（12）.

圖2為VF-MP方法的流程圖，即在使用最小相位法得到頻域傳遞函數(shù)之后，采用向量擬合法得到頻域傳遞函數(shù)的有理函數(shù)式參數(shù)模型，然后通過(guò)拉普拉斯逆變換得到屏蔽體的指數(shù)疊加形式的沖激響應(yīng)函數(shù)，再與待估電磁脈沖直接在時(shí)域卷積，最終得到屏蔽體的電磁脈沖響應(yīng).

圖2 采用VF-MP方法的參數(shù)模型估計(jì)流程圖

使用向量擬合法對(duì)屏蔽體的電場(chǎng)傳遞函數(shù)H（jω）進(jìn)行擬合后，可以將其表示為式（13）.

對(duì)式（13）進(jìn)行拉普拉斯反變換得到屏蔽體沖激響應(yīng)的雙指數(shù)疊加形式.

由式（14）和時(shí)域卷積的定義，采用梯形積分法可得到x（t）和h（t）的遞歸卷積式（15）.

式中：Δt為采樣間隔；tk時(shí)刻的響應(yīng)由tk-1時(shí)刻的響應(yīng)和兩時(shí)刻激勵(lì)共同確定.

遞歸卷積算法可以縮短計(jì)算時(shí)間，與向量擬合法相結(jié)合還可以減少使用FFT和IFFT在時(shí)頻域間的轉(zhuǎn)換次數(shù)，克服了一些常規(guī)參數(shù)模型估計(jì)的局限性，減小了數(shù)值誤差.

2 平面材料仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

以無(wú)限大平面材料的仿真數(shù)據(jù)為例，研究利用材料屏蔽效能的幅頻曲線(xiàn)估計(jì)其電磁脈沖響應(yīng).設(shè)置理想平面材料的厚度為1mm，相對(duì)介電常數(shù)和相對(duì)磁導(dǎo)率為1，電導(dǎo)率為1×103S／m，材料的理論屏蔽效能曲線(xiàn)如圖3（a）所示.圖3（b）為滿(mǎn)足IEC61000-4-4標(biāo)準(zhǔn)的入射電磁脈沖波形，使用雙指數(shù)函數(shù)擬合得到，峰值場(chǎng)強(qiáng)為50kV／m，修正系數(shù)為1.03，脈沖前后沿參數(shù)分別為4×107s-1和6×108s-1，使用CST（Computer Simulation Technology）軟件計(jì)算經(jīng)材料衰減后的電磁脈沖波形（見(jiàn)圖4）.

圖3 建模用仿真數(shù)據(jù)

使用常規(guī)最小相位法計(jì)算圖3（b）中透過(guò)材料后的脈沖波形，結(jié)果也列于圖4中.可見(jiàn)最小相位法估計(jì)的電磁脈沖響應(yīng)波形與理論計(jì)算的波形非常接近.理想無(wú)限大平面材料的屏蔽行為可看作一個(gè)良好的線(xiàn)性系統(tǒng)，在沒(méi)有噪聲的情況下，僅依靠常規(guī)最小相位法即可很好地估計(jì)材料的電磁脈沖響應(yīng).

圖4 最小相位法估計(jì)的材料電磁脈沖響應(yīng)

然而在實(shí)際測(cè)試中，數(shù)據(jù)會(huì)不可避免地遭受噪聲污染，屏蔽效能曲線(xiàn)不會(huì)像圖3（a）中那樣平滑.通過(guò)給屏蔽效能曲線(xiàn)疊加上不同程度的高斯白噪聲，來(lái)模擬實(shí)測(cè)頻域曲線(xiàn)，研究噪聲對(duì)最小相位法使用效果的影響.給圖3（a）中的屏蔽效能曲線(xiàn)疊加上平均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差分別為其最大值2%和4%的噪聲.使用受噪聲污染的屏蔽效能曲線(xiàn)，采用常規(guī)最小相位法估計(jì)材料的電磁脈沖響應(yīng)，在同一噪聲水平下一共計(jì)算了三次，結(jié)果如圖5所示.可看出當(dāng)噪聲較大時(shí)，估計(jì)的時(shí)域波形與沒(méi)有噪聲污染時(shí)的波形相比，峰值誤差增大，脈沖的上升沿部分受噪聲的影響較小，但脈沖下降沿畸變嚴(yán)重；即使對(duì)同一水平的噪聲，由于每次疊加噪聲為隨機(jī)生成，所估計(jì)波形也有很大不同.

圖5 不同噪聲水平下常規(guī)最小相位法估計(jì)的波形

仍以疊加噪聲的屏蔽效能曲線(xiàn)為例，嘗試使用VF-MP方法估計(jì)材料的電磁脈沖響應(yīng).由于理想無(wú)限大平面材料的屏蔽是一個(gè)良好的線(xiàn)性系統(tǒng)，所需模型的階次較低，極點(diǎn)設(shè)置為實(shí)數(shù)即可.經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)擬合階次為4時(shí)，進(jìn)行5次迭代即可很好地?cái)M合屏蔽效能傳遞函數(shù)曲線(xiàn).使用4階模型、迭代5次，分別對(duì)幾組2%和4%噪聲水平下的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，結(jié)果均保持了很好的穩(wěn)定性，并未因?yàn)槊看委B加噪聲的隨機(jī)性而發(fā)生大的變化，圖6給出了2%噪聲水平下傳遞函數(shù)幅度譜的擬合結(jié)果.可預(yù)見(jiàn)，估計(jì)的材料電磁脈沖響應(yīng)波形也會(huì)保持很好的重復(fù)性，不會(huì)如圖5中那樣有劇烈變化.

圖6 向量擬合法對(duì)傳遞函數(shù)幅頻曲線(xiàn)的擬合

使用式（15）給出的遞歸卷積公式直接與圖3（b）的時(shí)域波形卷積，即可得到材料的電磁脈沖響應(yīng)，結(jié)果如圖7所示.可見(jiàn)采用VF-MP法估計(jì)的材料電磁脈沖響應(yīng)波形，與理論計(jì)算的波形非常接近，受噪聲影響較小.

圖7 不同噪聲水平下VF-MP法估計(jì)的時(shí)域波形

3 暗箱窗口法仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

繼續(xù)使用暗箱窗口法的仿真數(shù)據(jù)來(lái)檢驗(yàn)VFMP方法，測(cè)試材料的電磁參數(shù)與上一節(jié)保持不變.仿真模型使用文獻(xiàn)［16］中的設(shè)置，箱體為1m×1m×1m的正方體，窗口尺寸為60cm×60cm，測(cè)試點(diǎn)A0位于窗口中心軸線(xiàn)上距窗口10cm處.圖8（a）為測(cè)得的材料對(duì)于垂直入射平面波的插入損耗曲線(xiàn)；圖8（b）為幅值1V／m、上升時(shí)間1ns、平頂保持47ns、下降時(shí)間4ns的方波脈沖激勵(lì)下，窗口未加載材料時(shí)A0點(diǎn)的時(shí)域波形.

根據(jù)圖8中的數(shù)據(jù)，使用VF-MP方法估計(jì)加載材料后A0點(diǎn)的時(shí)域波形，由于幅頻曲線(xiàn)不平滑，應(yīng)使用復(fù)共軛極點(diǎn)和較高階次進(jìn)行向量擬合.以均方誤差來(lái)衡量向量擬合法對(duì)傳遞函數(shù)的擬合效果，分別嘗試使用10階、20階、30階、40階模型，每一階次迭代20次，計(jì)算相應(yīng)階次和迭代次數(shù)下的均方誤差.經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)在階次為30、迭代10次時(shí)，模型的均方誤差較小，擬合精度已足夠好.由VF-MP方法估計(jì)的時(shí)域波形如圖9所示，可見(jiàn)VF-MP方法大致能夠估計(jì)出加載材料之后的時(shí)域波形，但與實(shí)際響應(yīng)波形相比，峰值偏小，擬合度不夠高.使用VF-MP方法估計(jì)的材料峰值屏蔽效能為47.5dB，而根據(jù)CST軟件計(jì)算的結(jié)果為44.6dB，相差了大約3dB.這主要是因?yàn)榘迪浯翱诜y(cè)試比無(wú)限大平面材料情況要復(fù)雜得多，不滿(mǎn)足最小相位系統(tǒng)的假設(shè).由于測(cè)試中窗口的存在，測(cè)得的脈沖不只受材料衰減的影響，窗口的截止波導(dǎo)作用同樣會(huì)改變電磁脈沖各頻率分量的相位，而且在箱體內(nèi)還存在著些許諧振的影響，最終導(dǎo)致實(shí)際情況與最小相位假設(shè)不符.

圖8 建模用仿真數(shù)據(jù)

圖9 VF-MP法估計(jì)波形與仿真波形

4 結(jié) 論

采用向量擬合法與最小相位法相結(jié)合的VFMP方法是對(duì)常規(guī)最小相位法的有益補(bǔ)充，減小了因反復(fù)進(jìn)行時(shí)頻轉(zhuǎn)換而產(chǎn)生的數(shù)值誤差，估計(jì)結(jié)果受噪聲影響小，重復(fù)性好.受最小相位假設(shè)的限制，對(duì)于不滿(mǎn)足最小相位近似的系統(tǒng)，估計(jì)結(jié)果會(huì)存在一定的偏差，但可用作前期的粗略估計(jì).

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