鄧勇

喀什師范學院數(shù)學系,新疆喀什市844006

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主理想環(huán)上矩陣可對角化的新判據(jù)

鄧勇

喀什師范學院數(shù)學系,新疆喀什市844006

摘要:矩陣的對角化問題在矩陣理論中占有重要地位.為將域上矩陣可對角化的結(jié)果進行推廣,研究了主理想環(huán)上矩陣的可對角化問題,獲得了主理想環(huán)上一類具有最小多項式m(λ)=(λ?α)(λ?β),α≠β的矩陣可對角化的充分必要條件.在此基礎(chǔ)上,進一步證明了具有二次最小多項式的兩個可對角化矩陣A,B有公共特征向量,當且僅當它們的交換子[A,B]是奇異矩陣.

關(guān)鍵詞:主理想環(huán);對角化;最小多項式;特征向量;交換子

1　研究現(xiàn)狀

為方便討論,本文用R表示有單位e10的主理想環(huán);In表示n′ n階單位矩陣;Mn(R )表示R上n′ n階矩陣環(huán);M1′n(R )表示R -模;GL (n , R )表示R上階可逆n′ n 矩陣關(guān)于加法和乘法所構(gòu)成的一般線性群;p (l )和m(l )分別表示矩陣A的特征多項式和最小多項式;[A , B ]=AB- BA表 示矩陣A,B的交換子.

若用相似變換可將A? Mn(R )化為對角矩陣,則稱其可對角化.即$U? GL(n , R )使得.因此,若A? Mn(R )可對角化,則其特征多項式p(l )可寫為的形式.其中ai? R互不相同,ki,(i=1,2,L,r )是非負整數(shù).顯然,若可對角化,則其最小多項式m(l )無重根,即.特別地,若R=F是域,則最小多項式無重根是域F上的矩陣A可對角化的充要條件[1].但是,對有單位的交換環(huán)(尤其是主理想環(huán)R )上的矩陣而言,最小多項式無重根只是其可對角化的必要條件,而非充分條件[2].除此之外,類比域上的矩陣可對角化條件,文獻[3]證明了A? Mn(R )可對角化?p(l )有n個互異特征值a1,a2,L,an;文獻[4]證明了A? Mn(R )可對角化A有對應特征值a1,a2,L,an(不必互異)的 n個不同的特征向量,且它們構(gòu)成R -模M1′n(R )的一組基底.然而,因基特征向量的計算十分繁瑣且無一般算法,故實際操作相當困難.

本文進一步研究Mn(R )上具有二次最小多項式m(l )=(l-a)(l-b)的矩陣可對角化的判定問題,其中a,b? R且a1b.在此基礎(chǔ)上,給出了A, B? Mn(R )存在公共特征向量的條件.

2　判別定理

設(shè)A? Mn(R )且rankA=k是冪等矩陣.眾所周知,冪等矩陣的最小多項式為 m(l )=l (l-e )且$U? GL(n , R )使得UAU-1=diag (Ik,0 ) ,即其可對角化[5].下面,我們來描述Mn(R )中具有二次最小多項式m(l )=(l-a)(l-b),(a1b )的可對角化矩陣的特征.

定理1設(shè)A? Mn(R )且其中a,b?R ,a1b, 1￡ k￡ n.矩陣A可對角化,即$T? GL(n , R )使得下列兩個條件

(i)m (l )=(l-a)(l-b)是A的最小多項式;

同時成立.

證明(必要性)設(shè)A? Mn(R )的特征多項式,其中a,b?R,a1b, 1￡ k￡ n且A可對角化,即$T? GL(n , R )使得.顯然,m (l )=(l-a)(l-b)是A的最小多項式.又因故必要性得證.

因a1b,故由上式可得P2=P,即是冪等矩陣.又因且P可對角化,故A可經(jīng)相似變換化為的形式,即A可對角化.充分性得證.

推論1設(shè)A? Mn(R )且m(l )=(l-a)(l-b),其中a,b? R 且a1b.若(a-b )是 R中的單位的因子,則A可對角化.

推論2設(shè)A? Mn(R )且m(l )=(l-a)(l-b),其中a,b? R且a1b.若A可對角化,則存在唯一一對冪等矩陣Pa, Pb? Mn(R )使得

證明(存在性)設(shè)A? Mn(R )且m(l )=(l-a)(l-b),其中a1b.若A可對角化,則首先由定理1的充分性證明可知,矩陣A可表為A=aIn+(b-a)Pb,其中Pb? Mn(R )是冪等矩陣,即(a)成立.其次,令Pa=In- Pb.顯然它也是冪等矩陣.于是得Pa+ Pb=In,即(b)成立.再次,由(b)可知Pb=In- Pa,因此,(a)可改寫為A=aIn+(b-a)(In- Pa)=bIn+(a-b)Pa,即(c)成立.最后,由(b)可將(a)表為A=a(Pa+ Pb)+ (b-a)Pb=aPa+bPb,即(d)成立.

(唯一性)對于矩陣A,假設(shè)還存在不同于{Pa, Pb}的另一冪等矩陣對{Qa, Qb},并且它們也滿足等式(a)-(d).因A=aIn+(b-a)Pb=aIn+(b-a)Qb且a1b,故有Pb=Qb.同理可證Pa=Qa.

在此,我們強調(diào)上述結(jié)果對初等除環(huán)上的矩陣同樣正確.此外,對特殊環(huán)上的矩陣,其中有些結(jié)果還可進一步拓展.例如,有單位的交換環(huán)上的冪等矩陣可對角化[6].同時,也提請讀者注意:在主理想環(huán)中雖具有二次最小多項式,但不能對角化的矩陣分類與相似變換之間的關(guān)系至今仍未得到徹底解決.

3　結(jié)果運用

設(shè)A, B? Mn(R ).若$u?M1′n(R )使得uA=u a(Au=a u)且uB=u b(Bu=b u) ,其中a,b? R,則稱A , B有公共的左(右)特征向量.顯然,若A , B在R上有公共的左特征向量,則它們在R上必有公共的右特征向量.因此,下文所稱A , B有“公共的特征向量”意指A , B有公共的左特征向量.容易證明:若A , B在R上僅有一個公共的特征向量,則A , B的特征多項式p(l )和q(l )能夠表成p(l )=(l-a)c (l )和q(l )=(l-b)d (l )的形式.特別地,當R=F是域時,矩陣A, B? Mn(F )存在公共特征向量的問題已基本解決[7,8].

定理2冪等矩陣A, B? Mn(R )有一個公共的特征向量?交換子[A , B ]是奇異矩陣.

參考文獻

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New Diagonalization Condition for Matrices in a Domain of Principal Ideal

DENG Yong

Department of Mathematics/Kashgar Teacher’s College, Kashgar 844006, China

Abstract:The diagonalization of matrices has an important position in the matrix theory. In order to expand the results for diagonalization of matrices over fields, we discussed the diagonalization of matrices over a domain of principal ideals, and obtained the necessary and sufficient conditions of diagonalization of matrices over a domain of principal ideals with minimal polynomial m(λ)=(λ?α)(λ?β),α≠β. Further, on the basis of the obtained results, the conditions under which the matrices A and B have common eigenvectors if and only if their commutator [A, B] is singular matrix, was proved.

Keywords:Domain of principal ideals; diagonalization; minimal polynomial; eigenvector; commutator

作者簡介:鄧勇(1967-),男,四川遂寧人,學士,教授,碩士生導師,主要從事矩陣及其數(shù)值計算研究. E-mail:dengy-ks@sohu.com

基金項目:國家社科基金項目(11XTJ001)

收稿日期:2015-01-11修回日期: 2015-03-02

中圖法分類號:O151.21; O157.3

文獻標識碼:A

文章編號:1000-2324(2015)04-0625-03