徐文科 喬鈺

(東北林業(yè)大學(xué)，哈爾濱，150040)

責(zé)任編輯:戴芳天。

由Veshulst 在1838年首次提出具有微分方程形式的Logistic 模型，該模型幾乎是描述種群S 型增長的唯一數(shù)學(xué)模型，國內(nèi)外一些學(xué)者根據(jù)自己的實(shí)驗(yàn)結(jié)果及在總結(jié)前人研究結(jié)果基礎(chǔ)上，提出了許多關(guān)于Logistic 方程模型的修正和改進(jìn)，文獻(xiàn)［1］對Logistic 方程的參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)，并對初始預(yù)測值進(jìn)行了修正。統(tǒng)計(jì)學(xué)家Zellner 在1962年首次提出了似乎不相關(guān)模型，它允許各方程存在不同的自變量，這為統(tǒng)計(jì)建模帶來了很大的靈活性［2］。同時(shí)，似乎不相關(guān)線性模型從結(jié)構(gòu)上來說，它們的誤差方差陣可能不是對角陣［3］，表現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)相關(guān)，“似乎不相關(guān)”也正是體現(xiàn)于此，即可以提供一些附加信息。文獻(xiàn)［4］、［5］對似乎不相關(guān)模型的應(yīng)用做了進(jìn)一步的研究。

對于多個(gè)具有相互關(guān)系的Logistic 方程，如果單獨(dú)考慮每個(gè)Logistic 方程的參數(shù)估計(jì)，不免失去了具有相互關(guān)系多個(gè)方程的系統(tǒng)性，從而失去了系統(tǒng)的功能。從多個(gè)具有相互關(guān)系方程構(gòu)成的系統(tǒng)為出發(fā)點(diǎn)，在方程中看似不相關(guān)，但實(shí)為相關(guān)，如何把它們內(nèi)在的相關(guān)性表達(dá)出來成為問題的關(guān)鍵所在。利用生物統(tǒng)計(jì)學(xué)中的似乎不相關(guān)線性模型的原理與方法，為多個(gè)具有相互關(guān)系的Logistic 方程搭建了相互聯(lián)系的建模平臺(tái)。從而使其參數(shù)估計(jì)具有了統(tǒng)計(jì)估計(jì)的原理依據(jù)，且進(jìn)一步優(yōu)化了對參數(shù)的估計(jì)。此外，這種分析問題、解決問題的方法具有整體性、系統(tǒng)性。

筆者運(yùn)用生物統(tǒng)計(jì)學(xué)中的似乎不相關(guān)線性模型的原理與方法對Logistic 方程組的參數(shù)進(jìn)行廣義最小二乘估計(jì)，并應(yīng)用于紅松單木生長的擬合。

1 Logistic 方程組的似乎不相關(guān)線性模型

設(shè)有m 個(gè)相關(guān)的Logistic 方程:

式(1)是Verhulst 方程

的變形，其中內(nèi)稟增長率ri=ai，容納量Ni=ai/bi。

式(2)的解形式為

其中xi(t0)為初始值，i=1、2、…、m。

式(2)的差分方程為Δxi(t)= aixi(t)- bix2i(t)。

由計(jì)算數(shù)學(xué)可知，差分表達(dá)式可以有:

向后差分Δxi(k)=xi(k)-xi(k-1);

向前差分Δxi(k+1)=xi(k+1)-xi(k)。

設(shè)yi(k)=ω1ikΔxi(k)+ω2ikΔxi(k+1)。

隨機(jī)(預(yù)報(bào))誤差:

記

矩陣方程

在實(shí)際問題中，一般觀測向量(y1y2…yq)的各個(gè)不同觀測之間往往是互不相關(guān)的，并且有相同的協(xié)方差矩陣，因此可以假設(shè)誤差矩陣…em的均值為0，它的各個(gè)行之間是互不相關(guān)的，并且各行都有相同的協(xié)方差矩陣。

若

從式(5)可以看出，似乎不相關(guān)模型實(shí)際上是由m 個(gè)“相互聯(lián)系”的線性模型組成的。當(dāng)σij≠0時(shí)，第i 個(gè)線性模型與第j 個(gè)線性模型的誤差向量是相關(guān)的?！八坪醪幌嚓P(guān)”一詞正是反映了誤差向量的這個(gè)特征。

若記

則式(5)可以化成形式:

其中:設(shè)計(jì)矩陣X 的列數(shù)為2m，且Σ =(σij)m×m。

2 Logistic 方程組似乎不相關(guān)線性模型的參數(shù)估計(jì)

Logistic 方程組的似乎不相關(guān)模型是一種特殊的廣義線性模型，因而其參數(shù)估計(jì)可以使用最小二乘估計(jì)、廣義最小二乘估計(jì)和擬廣義最小二乘估計(jì)［4］。

2.1 Logistic 方程組似乎不相關(guān)模型的最小二乘估計(jì)

對于線性統(tǒng)計(jì)模型式(7)，其最小二乘估計(jì):

2.2 Logistic 方程組當(dāng)協(xié)方差矩陣Σ 已知時(shí)參數(shù)β的廣義最小二乘估計(jì)

式(8)或(9)的最小二乘估計(jì)不是β 的最優(yōu)線性無偏估計(jì)量，因?yàn)闆]有用到Σ 的信息。為了得到β 的最優(yōu)線性無偏估計(jì)量，需要采用廣義最小二乘估計(jì)。

似乎不相關(guān)線性模型式(7)參數(shù)β 的廣義最小二乘估計(jì):

2.3 Logistic 方程組當(dāng)協(xié)方差矩陣Σ 未知時(shí)參數(shù)β的擬廣義最小二乘估計(jì)

當(dāng)式(10)的協(xié)方差矩陣Σ 未知時(shí)，需要先估計(jì)協(xié)方差矩陣。采用二步估計(jì)法，首先得到Σ 的估計(jì)值，然后得到β 的擬廣義最小二乘估計(jì)。

首先利用式(9)計(jì)算參數(shù)βj的最小二乘估計(jì)，然后計(jì)算

3 紅松生長模型的擬合

以涼水實(shí)驗(yàn)林場(涼水國家級自然保護(hù)區(qū)管理局)為研究區(qū)，在林場中選取解析木，將解析木樹干鋸成若干段，在每個(gè)橫斷面上根據(jù)年輪的寬度確定各年齡的直徑生長量。在縱斷面上根據(jù)斷面高度以及相鄰兩個(gè)斷面上的生長輪之差可以確定各年齡的胸徑與樹高生長量［1，6-7］，統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表1。

由于建模擬合的方法比較多，所以不能把各種建模擬合過程與結(jié)果一一列舉，只給出胸徑與樹高的各3 個(gè)比較典型的建模擬合過程及擬合結(jié)果，便于比對與分析。相對誤差公式

設(shè)胸徑與樹高兩個(gè)相關(guān)的Logistic 方程構(gòu)成方程組，其中x1表示胸徑，x2表示樹高。紅松解析木胸徑與樹高建模擬合過程:

利用式(9)得到最小二乘估計(jì):

環(huán)境容納量估計(jì)值分別是:

內(nèi)稟增長率估計(jì)值分別是:

利用文獻(xiàn)［1］、［6］求初始預(yù)測值公式:

計(jì)算得到初始值的估計(jì)值分別是:

此初始值使得實(shí)際值和預(yù)測值的相對誤差達(dá)到最小值，比利用文獻(xiàn)［1］、［6］中其它方計(jì)算得到的初始值均理想。

參數(shù)β 的似乎不相關(guān)線性模型的擬廣義最小二乘估計(jì):

模型擬合2:①與模型擬合1 中①的條件相同;②取初始預(yù)測值(1)=3.454 12，(1)=2.929 397(利用式(13)得到的初始值的預(yù)測值)。

模型擬合3:①利用似乎不相關(guān)線性模型的擬廣義最小二乘估計(jì)=(0.179 740 7 0.002 296 6)T，=(0.240 455 6 0.007 847 7)T;②取初始預(yù)測值^x1(1)=3.454 12，(1)=2.929 397(利用式(13)得到的初始值的預(yù)測值)。

4 結(jié)論

對于預(yù)測結(jié)果，模型擬合2 和模型擬合3 均優(yōu)于模型擬合1，模型擬合3 略優(yōu)于模型擬合2，也就是說利用原初始值或與原初始值接近的初始值，其預(yù)測誤差較大，預(yù)測效果不良。利用式(13)得到相對較優(yōu)的初始值，且在此初始值下，考慮到Logistic方程間的相關(guān)性(利用似乎不相關(guān)模型)的擬合要優(yōu)于不考慮Logistic 方程間相關(guān)性的擬合。

在建立模型Logistic 方程組過程中，需要調(diào)整的參數(shù)有權(quán)數(shù)、預(yù)測初始值、方程參數(shù)(包括內(nèi)稟增長率與容納量)。筆者提供了可以組合的多種調(diào)整方案，通過調(diào)整參數(shù)，使Logistic 方程組提高了擬合精度。在建立模型的擬合過程中選取0.6，i=1、2，k=2、3、…、24 是在對權(quán)重調(diào)整修正后的最優(yōu)選擇，并同時(shí)通過調(diào)整修正預(yù)測初始值于(1)=3.454 12，(1)= 2.929 397，從而達(dá)到提高擬合精度的目的。

運(yùn)用生物統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理和方法于Logistic 方程組模型中，為進(jìn)一步定量研究具有微分形式的生物數(shù)學(xué)模型提供了一個(gè)新方法。

表1 紅松解析木測樹因子值及擬合值統(tǒng)計(jì)

［1］ 徐文科，孫廣山，李鳳日.Logistic 方程統(tǒng)計(jì)建模及對紅松單木生長的擬合［J］.東北林業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)［J］，2011，39(6):114-115.

［2］ Zellner A.An efficient method of estimating Seemingly unrelated regression equations and tests for aggregation bias［J］.Journal of the American Statistical Association，1962，57:348-368.

［3］ 馬鐵豐，王松桂.半相依回歸模型參數(shù)的協(xié)方差改進(jìn)估計(jì)［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2008，25(6):1074-1080.

［4］ 唐守正，李勇著.生物數(shù)學(xué)模型的統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)［M］.北京:科學(xué)出版社，2002.

［5］ 徐文科，劉洋.捕食與被捕食種群似乎不相關(guān)模型的參數(shù)估計(jì)［J］.黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2013，30(5):570-575.

［6］ 徐文科.基于微分方程的生態(tài)數(shù)學(xué)模型統(tǒng)計(jì)分析［D］.哈爾濱:東北林業(yè)大學(xué)，2009.

［7］ 周元滿，謝正生，劉素青，等.Logistic 模型在桉樹生長過程估計(jì)中的應(yīng)用［J］.南京林業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，28(6):107-110.