張尚榮， 譚 平， 杜永峰， 包 超， 周福霖

（1.蘭州理工大學(xué) 防震減災(zāi)研究所，甘肅 蘭州 730050；2.寧夏大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，寧夏 銀川 750021；3.廣州大學(xué) 工程抗震研究中心，廣東 廣州 510405）

層間隔震體系作為一種新型的被動(dòng)減震控制體系——通過減少地震能量傳遞到建筑物上的“隔震”和“制振”的被動(dòng)控制體系［1］，目前在國(guó)內(nèi)外有許多成功的工程應(yīng)用實(shí)例并經(jīng)歷了大地震的考驗(yàn)。層間隔震體系隔震層位置設(shè)置不同，會(huì)引起結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的變化，隔震結(jié)構(gòu)的減震機(jī)理也會(huì)出現(xiàn)新的特征。因此，解決隔震體系參數(shù)的優(yōu)化問題、確定合理的優(yōu)化目標(biāo)是分析層間隔震體系的前提。

文獻(xiàn)［1］提出以基底剪力最優(yōu)作為層間隔震體系參數(shù)優(yōu)化的目標(biāo)，兼顧了隔震層上、下部子結(jié)構(gòu)的性能，具有一定的指導(dǎo)意義；非支配排序遺傳算法Ⅱ（NSGA－Ⅱ）［2］作為目前最流行的遺傳算法之一，降低了非劣排序遺傳算法的復(fù)雜性，具有運(yùn)行速度快、解集的收斂性好并且易于得到全局最優(yōu)解的優(yōu)點(diǎn)，成為其他多目標(biāo)優(yōu)化算法性能的基準(zhǔn)。地震對(duì)結(jié)構(gòu)的作用是一種能量的傳遞、轉(zhuǎn)化和耗散的過程。G.W.Housner在20世紀(jì)50年代就曾引入“能量分析”的概念，將能量平衡關(guān)系應(yīng)用于簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)［3］。文獻(xiàn)［4］分析了智能隔震結(jié)構(gòu)的能量響應(yīng)，以多遇地震的情形為例，分析了線彈性智能隔震體系的瞬時(shí)能量傳遞的解析規(guī)律；文獻(xiàn)［5］從能量觀點(diǎn)出發(fā)，引入設(shè)計(jì)用能量譜的概念，分析了地震輸入能量在層間隔震結(jié)構(gòu)中的分配和耗散。

層間隔震體系作為一種新型的結(jié)構(gòu)體系，相關(guān)研究?jī)H限于探討隔震層參數(shù)對(duì)地震響應(yīng)及減震效果的影響［6］，對(duì)能量的變化規(guī)律及相關(guān)影響研究尚不明確。

本文基于NSGA－Ⅱ研究了層間隔震體系，以基底剪力最小為優(yōu)化目標(biāo)，得到在不同質(zhì)量比下的層間隔震結(jié)構(gòu)最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比，從能量角度分析了隔震層在結(jié)構(gòu)不同位置時(shí)，層間隔震結(jié)構(gòu)能量分布規(guī)律的特征。

1 分析模型和運(yùn)動(dòng)方程的建立

在線彈性情況下，兩質(zhì)點(diǎn)層間隔震體系計(jì)算模型如圖1所示［7］（圖中“u”和“s”分別是“upstructure”和“substructure”的縮寫，分別表示上、下部子結(jié)構(gòu)）。

圖1 層間隔震體系計(jì)算模型

其運(yùn)動(dòng)方程為：

其中，mup、keq、ceq分別為上部子結(jié)構(gòu)的等效質(zhì)量、等效水平剛度、等效阻尼；msub、csub、ksub分別為下部子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼、水平剛度；¨ug為地面運(yùn)動(dòng)加速度。

定義上、下部子結(jié)構(gòu)的自振頻率分別為：

上、下部子結(jié)構(gòu)的阻尼比分別為：

上、下部子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量比為：

上、下部子結(jié)構(gòu)的頻率比為：

2 基底剪力方差表示

兩質(zhì)點(diǎn)層間隔震體系模型的基底剪力可表示為：

其中，〈·〉表示變量的平均值。設(shè)地震激勵(lì)的功率譜密度函數(shù)為（ω），子結(jié)構(gòu)絕對(duì)加速度的傳遞函數(shù)為Hy（ω），則子結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)均方值和乘積的平均值為：

其中，S¨y（ω）為絕對(duì)加速度響應(yīng)的功率譜密度；（ω）為交叉譜密度函數(shù)。

展開兩質(zhì)點(diǎn)層間隔震體系運(yùn)動(dòng)方程（1）式并分別作Laplace變換，可得各子結(jié)構(gòu)絕對(duì)加速度的傳遞函數(shù)如下：

其中

定義兩自由度體系的基底剪力功率譜密度函數(shù)為SF（ω），可得：

其中，Re［·］為取實(shí)部。則基底剪力的方差為：

3 參數(shù)優(yōu)化與分析

基底剪力是隔震結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的一個(gè)重要指標(biāo)。隨著隔震層剛度和阻尼參數(shù)的變化，基底剪力的分布將會(huì)隨之變化，因此，選取合理的隔震層參數(shù)將會(huì)對(duì)層間隔震體系產(chǎn)生有利影響。本文選取體系的基底剪力最小作為隔震層參數(shù)優(yōu)化目標(biāo)，采用NSGA－Ⅱ進(jìn)行優(yōu)化建模和實(shí)現(xiàn)。

3.1 帶有精英策略的非支配排序遺傳算法

基于多目標(biāo)NSGA－Ⅱ算法層間隔震結(jié)構(gòu)體系參數(shù)優(yōu)化的流程，如圖2所示。算法開始時(shí)首先隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)初始群體P0，在此基礎(chǔ)上采用二元錦標(biāo)賽選擇、交叉和變異操作產(chǎn)生一個(gè)新群體Q0，P0和Q0的群體規(guī)模均為N；將Pt和Qt并入到Rt中（初始時(shí)t＝0），針對(duì)Rt構(gòu)造其所有的邊界集，然后根據(jù)需要計(jì)算某個(gè)邊界集中所有個(gè)體的聚集距離，并定義偏序集；從偏序集依次選取個(gè)體進(jìn)入Pt＋1，直至Pt＋1的規(guī)模為N［8］。

NSGA－Ⅱ在選擇過程中，采用非支配排序降低了計(jì)算復(fù)雜度，加快了收斂速度；形成支配集后引入的精英策略，提高了結(jié)果的優(yōu)化精度與種群水平；此外同時(shí)加入的擁擠度處理等方法，保證了種群的分布性與多樣性；然后經(jīng)過交叉變異等操作直到指定最大代數(shù)后終止，獲得全局最優(yōu)解集。具體參數(shù)優(yōu)化流程如圖2所示。

圖2 NSGA－Ⅱ參數(shù)優(yōu)化流程圖

3.2 參數(shù)優(yōu)化

本文選用結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量為10t，下部子結(jié)構(gòu)阻尼比為0.05，地震動(dòng)加速度功率譜為白噪聲，上、下部子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量比μ變化范圍為0.01～20，分析研究以基底剪力最小為優(yōu)化目標(biāo)而得到的結(jié)構(gòu)最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比。

優(yōu)化過程中選用實(shí)值編碼方式對(duì)2個(gè)待優(yōu)化參數(shù)頻率比ρ、阻尼比ξup進(jìn)行編碼，在取值范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生初始種群，設(shè)定算法的進(jìn)化代數(shù)為200代，種群大小為100個(gè)，種群間的交叉概率為0.9，變異概率為0.1。參數(shù)優(yōu)化表達(dá)式為：

質(zhì)量比μ＝2.0時(shí)NSGA－Ⅱ優(yōu)化過程如圖3所示，可以看出，NSGA－Ⅱ表現(xiàn)出快速的收斂能力，在20代以內(nèi)已基本得到最優(yōu)參數(shù)，而且20代后保持穩(wěn)定進(jìn)入全局最優(yōu)解。

圖3b參數(shù)聚集也證實(shí)了其在尋優(yōu)過程中算法的收斂性較好，可以看出其最優(yōu)值：阻尼比為0.30，頻率比為0.164 6。

圖3 NSGA－Ⅱ優(yōu)過程（μ＝2.0）

同理可得在不同質(zhì)量比下結(jié)構(gòu)最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比，如圖4所示。

通過NSGA－Ⅱ優(yōu)化分析，結(jié)構(gòu)在不同質(zhì)量比下的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比的結(jié)果如圖4a所示，隨著上、下部子結(jié)構(gòu)質(zhì)量比增大，上部子結(jié)構(gòu)的最優(yōu)頻率比逐漸減小并收斂于界限值0.01；最優(yōu)阻尼比逐漸增大并收斂于優(yōu)化變量界限值0.30。

圖4b給出了基底剪力方差的變化情況，隨著質(zhì)量比增大，結(jié)構(gòu)的基底剪力方差趨于一致。

圖4 NSGA－Ⅱ計(jì)算結(jié)果

4 層間隔震體系能量分析

4.1 能量方程

將運(yùn)動(dòng)方程（1）式分解為：

在（17）式兩邊對(duì)dusub積分，根據(jù)能量平衡原理，可得到結(jié)構(gòu)各部分能量為［9－12］：

4.2 功率方程

在此定義：PK＝msub¨usubsub為子結(jié)構(gòu)動(dòng)能功率；PD＝csubsubsub為 子 結(jié) 構(gòu) 阻 尼 耗 能 功 率；PS＝ksubusub˙usub為子結(jié)構(gòu)應(yīng)變能功率；PT＝ceqsub－up）sub＋keq（usub－uup）sub定義為子結(jié)構(gòu)間轉(zhuǎn)移能功率；PI＝－msub¨ugsub為地震總輸入功率。

4.3 能量響應(yīng)分析

文獻(xiàn)［1］研究指出層間隔震體系在不同質(zhì)量比及對(duì)應(yīng)最優(yōu)參數(shù)下，結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出不同的減震機(jī)理?；谖墨I(xiàn)［1］的研究結(jié)果，選取滿足頻率比為ρ＝0.85（μ＝0.1），ρ＝0.165（μ＝2.0），ρ＝0.028（μ＝6.0）對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)分別作為上部隔震、中間層隔震和下部隔震結(jié)構(gòu)的典型算例（以下分析中以質(zhì)量比μ分別代表各結(jié)構(gòu)體系），研究其在不同地震激勵(lì)下結(jié)構(gòu)能量之間的分配和轉(zhuǎn)化。選取3條地震 波 分 別 為 Imperial Valley（1979）－EI Centro Array ＃ 13、Kobe （1995）－Kakogawa 和Northridge（1994）－Arcadia－Campus Dr.作為地震 動(dòng) 輸 入 （以 下 簡(jiǎn) 記 為 EI－Centro、Kobe、Northridge），其峰值加速度PGA均調(diào)整為0.2g（為清晰表現(xiàn)其規(guī)律，以下分析中均截取其響應(yīng)較大時(shí)段）。

轉(zhuǎn)移能功率可以理解為單位時(shí)間內(nèi)由下部子結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)移至上部子結(jié)構(gòu)的能量，也可以理解為單位時(shí)間內(nèi)上部子結(jié)構(gòu)對(duì)下部子結(jié)構(gòu)所做的功。質(zhì)量比μ為0.1、2.0、6.0的結(jié)構(gòu)（參數(shù)最優(yōu)）在 EICentro波、Kobe波、Northridge波作用下的轉(zhuǎn)移能功率如圖5所示。

由圖5可以看出，隨著質(zhì)量比的增大，單位時(shí)間內(nèi)的轉(zhuǎn)移能逐漸減小。質(zhì)量比μ＝0.1，上部子結(jié)構(gòu)對(duì)下部子結(jié)構(gòu)主要做負(fù)功，其機(jī)理表現(xiàn)為TMD調(diào)諧減震；μ＝2.0，上部子結(jié)構(gòu)對(duì)下部子結(jié)構(gòu)做功總和為負(fù)功，其機(jī)理表現(xiàn)為下部子結(jié)構(gòu)部分減震；μ＝6.0，其轉(zhuǎn)移能較小。

結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)移能隨質(zhì)量比的變化情況如圖6所示，可以看出，結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)移能隨質(zhì)量比的增大表現(xiàn)為先增大后減小的趨勢(shì)，當(dāng)質(zhì)量比較小，在μ≤0.5范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)移能存在最大值，結(jié)構(gòu)工作機(jī)理相當(dāng)于TMD調(diào)諧系統(tǒng)，通過轉(zhuǎn)移下部子結(jié)構(gòu)的能量，從而減小其運(yùn)動(dòng)；μ＞0.5，隨質(zhì)量比的增大，其轉(zhuǎn)移能逐漸減小，當(dāng)質(zhì)量比μ≥10.0，轉(zhuǎn)移能較小且為一常數(shù)。

算 例 模 型 在 EI－Centro 波、Kobe 波、Northridge波作用下的下部子結(jié)構(gòu)彈性應(yīng)變能如圖7所示。

圖5 轉(zhuǎn)移能功率

圖6 轉(zhuǎn)移能隨質(zhì)量比變化

圖7 下部子結(jié)構(gòu)彈性應(yīng)變能

由圖7可以看出，μ＝0.1時(shí)，下部子結(jié)構(gòu)彈性應(yīng)變能最大，μ＝2.0對(duì)應(yīng)下部子結(jié)構(gòu)彈性應(yīng)變能次之，μ＝6.0對(duì)應(yīng)下部子結(jié)構(gòu)彈性應(yīng)變能最小。即從選取最優(yōu)參數(shù)的角度可以理解為：層間隔震體系自上部隔震到中間層隔震再到下部隔震，下部子結(jié)構(gòu)的彈性應(yīng)變能逐漸減小。

算例最優(yōu)參數(shù)模型在EI－Centro波、Kobe波、Northridge波作用下的下部子結(jié)構(gòu)阻尼耗能如圖8所示。可以看出，μ＝0.1時(shí)，下部子結(jié)構(gòu)阻尼耗能最大，μ＝2.0對(duì)應(yīng)下部子結(jié)構(gòu)阻尼耗能次之，μ＝6.0對(duì)應(yīng)下部子結(jié)構(gòu)阻尼耗能最??；隨著質(zhì)量比的逐漸增大，下部子結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)阻尼耗能逐漸減小。即層間隔震體系自上部隔震到中間層隔震再到下部隔震，下部子結(jié)構(gòu)阻尼耗能逐漸減小。

圖8 下部子結(jié)構(gòu)阻尼耗能

5 結(jié) 論

（1）從轉(zhuǎn)移能功率的角度解釋了層間隔震體系轉(zhuǎn)移能的變化規(guī)律；當(dāng)質(zhì)量比較小時(shí)，上部子結(jié)構(gòu)對(duì)下部子結(jié)構(gòu)主要做負(fù)功，其機(jī)理表現(xiàn)為TMD調(diào)諧減震；隨著質(zhì)量比的增大，轉(zhuǎn)移能逐漸減小，上部子結(jié)構(gòu)對(duì)下部子結(jié)構(gòu)不完全做負(fù)功，但做功總和為負(fù)功，其機(jī)理表現(xiàn)為層間隔震結(jié)構(gòu)對(duì)下部子結(jié)構(gòu)部分減震。

（2）層間隔震體系的轉(zhuǎn)移能隨質(zhì)量比的增大先增大后減小，質(zhì)量比在μ≤0.5范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)移能存在最大值，結(jié)構(gòu)工作機(jī)理相當(dāng)于TMD調(diào)諧系統(tǒng)，通過轉(zhuǎn)移下部子結(jié)構(gòu)的能量，從而減小其運(yùn)動(dòng)；當(dāng)質(zhì)量比μ≥10.0，轉(zhuǎn)移能較小且為一常數(shù)。

（3）層間隔震體系自上部隔震到中間層隔震再到下部隔震，下部子結(jié)構(gòu)的彈性應(yīng)變能、阻尼耗能逐漸減小。

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