程長(zhǎng)征， 丁 昊， 周 偉， 韓志林

（合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，安徽 合肥 230009）

0 引 言

功能梯度材料是一類組成結(jié)構(gòu)和性能在材料厚度或長(zhǎng)度方向連續(xù)或準(zhǔn)連續(xù)變化的非均質(zhì)復(fù)合材料。由于中間成分的連續(xù)變化消除了材料中的宏觀界面，功能梯度材料整體表現(xiàn)出良好的熱應(yīng)力緩和特性［1］。板、殼和梁仍然是功能梯度材料結(jié)構(gòu)的主要形式。板材中由于加工或拼裝會(huì)形成各種形式的切口，其尖端存在嚴(yán)重的應(yīng)力集中（實(shí)為應(yīng)力奇異）現(xiàn)象，會(huì)影響功能梯度材料結(jié)構(gòu)的安全性能［2］。

文獻(xiàn)［3］研究了均質(zhì)平面板切口尖端彈性應(yīng)力場(chǎng)的解析表達(dá)；文獻(xiàn)［4］分析了板的厚度對(duì)板內(nèi)切口尖端應(yīng)力奇異狀態(tài)的影響；文獻(xiàn)［5］給出了角度非均質(zhì)材料平面切口尖端的漸近場(chǎng)；文獻(xiàn)［6］研究了功能梯度多材料接頭處的應(yīng)力奇異性，采用解析和數(shù)值2種方法對(duì)降低功能梯度材料切口尖端的奇異性進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)［7］研究了功能梯度拉伸板和彎曲梁切口尖端應(yīng)力場(chǎng)；文獻(xiàn)［8］運(yùn)用平均應(yīng)變能密度準(zhǔn)則對(duì)功能梯度材料含切口構(gòu)件在Ⅰ型荷載作用下的斷裂性能進(jìn)行了分析；文獻(xiàn)［9］研究了含孔洞的功能梯度板受反平面剪切時(shí)切口尖端的應(yīng)力集中因子；文獻(xiàn)［10］提出了一種計(jì)算功能梯度材料平板切口尖端J積分的數(shù)值方法；文獻(xiàn)［11］研究了功能梯度薄板切口尖端奇異性和邊界層效應(yīng)。

另外，文獻(xiàn)［12－14］用特征展開法研究了功能梯度薄板、高階板以及三階板切口尖端應(yīng)力奇性指數(shù)和特征角函數(shù)的計(jì)算表達(dá)式，但給出的是一組超越方程，通過(guò)一般方法求得其解析解是非常困難的。

本文提出引入切口尖端位移漸近展開假設(shè)，將板的平衡方程及邊界條件轉(zhuǎn)化為特征微分方程，采用插值矩陣法［15］求解，可以一次性地計(jì)算出功能梯度中厚板切口各階奇性指數(shù)及其相應(yīng)的特征角函數(shù)。

1 切口奇性特征方程組的建立

功能梯度板切口示意圖如圖1所示，該功能梯度中厚板材料的彈性模量E（z）沿板的厚度方向z變化，泊松比μ設(shè)為常數(shù)，板內(nèi)含有一開角為α的切口。

本文采用Reissner中厚板理論，板的變形可以用3個(gè)獨(dú)立的廣義位移分量描述，即中面撓度w、變形前垂直于中面的直線段分別在oρz與oθz平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角uρ、uθ。板內(nèi)任意一點(diǎn)的位移分量隨板厚線性變化，撓度與厚度坐標(biāo)無(wú)關(guān)，具體表達(dá)式為：

圖1 功能梯度板切口

柱坐標(biāo)系下的幾何方程為：

將（1）式代入（2）式可得：

平面應(yīng)力問(wèn)題的本構(gòu)方程為：

將應(yīng)變分量（3）式代入（4）式，可得板面內(nèi)應(yīng)力分量的表達(dá)式為：

按能量等效原則可得板的橫向切應(yīng)力σρz和σθz分別為：

其中，G（z）為剪切模量。

板內(nèi)的彎矩（mρ，mθ，mρθ）、剪力（Qρ，Qθ）與應(yīng)力之間的關(guān)系為：

其中，h為板厚。

記

將（5）式、（6）式代入（7）式，板內(nèi)彎矩和剪力的表達(dá)式為：

不計(jì)體力時(shí)，板的平衡微分方程為：

將（9）式代入（10）式可得：

將切口尖端的位移場(chǎng)取如下的級(jí)數(shù)漸近展開［12］，即

由（8）式可得：

其中，i＝0，1，2。因此，（13）式可轉(zhuǎn)化為切口奇性特征方程組，即

由于采用了Reissner中厚板假設(shè)和（14）式，所以最終的切口特征微分方程組與材料的彈性模量沒(méi)有關(guān)系，即板厚方向不同的材料梯度模式對(duì)切口的奇性特征方程沒(méi)有影響。

2 切口徑向邊界條件

若切口的兩徑向邊界上面力自由，則可得自由邊界條件為：

將（12）式的典型項(xiàng)代入（16）式可得：

由于（14）式的關(guān)系存在，（17）式可轉(zhuǎn)化為：

若切口的兩徑向邊為夾支，則有夾支邊界條件如下：

?。?2）式的典型項(xiàng)代入（19）式可得：

若切口的兩徑向邊為簡(jiǎn)支，則有簡(jiǎn)支邊界條件如下：

?。?2）式的典型項(xiàng)代入其中，可將其轉(zhuǎn)化為：

由于（14）式，（22）式可以轉(zhuǎn)化為：

至此，將切口的各類徑向邊界條件轉(zhuǎn)化為切口特征角函數(shù)與奇性指數(shù)的組合形式。

3 數(shù)值求解及算例

由于切口奇性特征微分方程組（13）式中含有λ2項(xiàng)，是一個(gè)非線性特征值問(wèn)題，直接求解需要采用迭代算法?，F(xiàn)引入：

將（13）式的非線性特征方程組轉(zhuǎn)化為線性方程組，即

從而，功能梯度板切口奇性分析轉(zhuǎn)化為在邊界條件（18）式、（20）式、（23）式下，求解特征微分方程組（24）式、（25）式的問(wèn)題，像龍格 －庫(kù)塔等一般的數(shù)值方法即可求解，本文利用插值矩陣法［15］，一次性地計(jì)算出切口所有的奇性指數(shù)λ和相應(yīng)的特征角函數(shù)～uρ和～uθ。

自由－自由邊界條件下切口的應(yīng)力奇性指數(shù)計(jì)算結(jié)果見表1所列。

表1 自由－自由邊界條件下的切口應(yīng)力奇性指數(shù)

從（5）式、（6）式可知，當(dāng)λ＜1時(shí)應(yīng)力才奇異，從（13）式可知，λ＞0才能滿足位移分量的正則化條件，因此表1中只列出奇性指數(shù)為0～1的值。計(jì)算發(fā)現(xiàn)，α＞250°的切口存在3個(gè)奇性指數(shù)，α在（180°，250°）之 間 的 切 口 存 在 2 個(gè) 奇 性 指 數(shù)，α＜180°的切口不發(fā)生奇異。文獻(xiàn)［16］采用特征展開法獲得了一組關(guān)于奇性指數(shù)的超越方程，但沒(méi)有解析解，本文采用牛頓迭代法。由表1可看出，本文方法與文獻(xiàn)［16］方法的計(jì)算結(jié)果能吻合到小數(shù)點(diǎn)后5位，文獻(xiàn)［16］方法需要將矩奇異和剪切奇異分開計(jì)算，而本文方法可以一次性地計(jì)算出所有的奇性指數(shù)。

當(dāng)α＝360°時(shí)，切口退化為裂紋問(wèn)題，裂紋的3個(gè)奇性指數(shù)分別對(duì)應(yīng)的特征角函數(shù)如圖2所示。圖2a中只有特征角函數(shù)～w而沒(méi)有～uρ和～uθ，結(jié)合（8）式，說(shuō)明奇性指數(shù)λ1對(duì)應(yīng)的是剪切奇異；圖2b和圖2c中只有特征角函數(shù)～uρ和～uθ而沒(méi)有～w，說(shuō)明奇性指數(shù)λ2和λ3對(duì)應(yīng)的是矩奇異。通過(guò)這種方法可以將已經(jīng)計(jì)算出的奇性指數(shù)所對(duì)應(yīng)的 矩奇異和剪切奇異區(qū)分開。

圖2 α＝360°時(shí)不同應(yīng)力奇性指數(shù)對(duì)應(yīng)的特征角函數(shù)

夾支－夾支、簡(jiǎn)支－簡(jiǎn)支邊界條件下不同切口開角時(shí)切口的應(yīng)力奇性指數(shù)見表2所列，由表2可知本文結(jié)果與文獻(xiàn)［16］結(jié)果很好吻合，2種邊界條件下，α＞180°時(shí)發(fā)生奇異，且奇性指數(shù)均為3個(gè)。由特征角函數(shù)分析可知，夾支－夾支邊界條件下第1個(gè)奇性指數(shù)對(duì)應(yīng)剪切奇異，后2個(gè)對(duì)應(yīng)矩奇異；簡(jiǎn)支－簡(jiǎn)支邊界條件下第1和第3個(gè)奇性指數(shù)對(duì)應(yīng)矩奇異，第2個(gè)對(duì)應(yīng)剪切奇異。

表2 夾支－夾支和簡(jiǎn)支－簡(jiǎn)支邊界條件下的切口應(yīng)力奇性指數(shù)

4 結(jié)束語(yǔ)

本文根據(jù)線彈性理論及切口尖端位移場(chǎng)的級(jí)數(shù)漸近展開假設(shè)，推導(dǎo)出了關(guān)于功能梯度中厚板切口尖端奇性指數(shù)的特征微分方程組。推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，采用Reissner假設(shè)的功能梯度板切口的奇性與板厚度方向材料的彈性模量變化無(wú)關(guān)。本文所提方法能一次計(jì)算出板切口的各階奇性指數(shù)，克服了傳統(tǒng)方法迭代求解超越方程的不足，所求出的矩奇異和剪切奇異可由相應(yīng)的特征角函數(shù)區(qū)分。研究表明，若采用薄板理論，功能梯度板切口的奇異性與板厚方向材料的彈性模量有關(guān)，功能梯度薄板切口奇異性研究將是進(jìn)一步的工作。

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