一類欠驅(qū)動系統(tǒng)的自適應(yīng)神經(jīng)滑?？刂?/h1>
2015-03-07 09:24:14楊興明
楊興明， 湯 星
（合肥工業(yè)大學(xué) 計算機與信息學(xué)院，安徽 合肥 230009）
0 引 言
不確定系統(tǒng)的穩(wěn)定控制一直是國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點問題?；？刂剖且环N有效的控制策略，滑?？刂破鞯膬?yōu)點是能克服系統(tǒng)的不確定性，對于外界干擾和未建模動態(tài)具有很強的魯棒性?；趶较蚧瘮?shù)（RBF）的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不僅具有并行計算、學(xué)習(xí)和容錯能力，還能任意精度逼近任意連續(xù)函數(shù)［1］，但也有穩(wěn)定性差、響應(yīng)速度慢的缺陷?；？刂凭哂胁贿B續(xù)性，易導(dǎo)致控制器輸出出現(xiàn)高頻抖振現(xiàn)象，文獻［2］為了克服抖振現(xiàn)象，減小了滑模面的邊界層，但該方法不能保證系統(tǒng)的狀態(tài)在滑模面上收斂。
針對上述問題，本文提出自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模控制策略，設(shè)計自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器補償系統(tǒng)的不確定量和外界干擾，同時采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來調(diào)節(jié)切換項增益，有效地解決了傳統(tǒng)滑?？刂浦械亩墩駟栴}。并通過李雅普諾夫定理和仿真結(jié)果證明了所設(shè)計控制器的有效性和優(yōu)越性。
1 一類不確定欠驅(qū)動系統(tǒng)模型
本文討論一類4階非線性欠驅(qū)動系統(tǒng)，系統(tǒng)模型如下：
其中
Δfx（x）、Δfθ（x）、Δgx（x）、Δgθ（x）為不確定部分；dx（t）和dθ（t）為外界隨機干擾，假設(shè)其有界，即
兩輪自平衡小車是一種典型的非線性欠驅(qū)動系統(tǒng)，小車的位移和擺桿角度狀態(tài)的控制是控制的主要問題。兩輪自平衡小車系統(tǒng)模型［3］對應(yīng)（1）式的參數(shù)表達式如下：
其中，x為車底盤中心的位移；θ為擺桿與豎直方向的角度；mp、mr分別車體質(zhì)量和車輪質(zhì)量；Jp、Jr分別為車體繞電機軸的轉(zhuǎn)動慣量和車輪繞軸的轉(zhuǎn)動慣量；R為車輪半徑；l為車體重心到電機軸線之間的距離；km、ke分別為電機的力矩系數(shù)和電機的反電動勢系數(shù)。
2 傳統(tǒng)滑?？刂破?/h2>
將x＝［x，x，x，x］T作為系統(tǒng)的參考
dd1d2d3d4軌跡，定義跟蹤誤差向量ei＝xi－xdi，則系統(tǒng)的誤差模型為：
其 中，u為系 統(tǒng)控制 電壓；¨r1、¨r2為參考軌跡 。
（1）式表示的系統(tǒng)可以分為2個子系統(tǒng)，定義第1層滑模面為：
令˙sx＝0，˙sθ＝0，得到等效控制律為：
對于（1）式系統(tǒng)，定義第2層滑模面為：
選取李雅普諾夫函數(shù)為：
對 （8）式兩邊求導(dǎo)得：
其中
使用指數(shù)趨近律，令＝0，聯(lián)合（5）式、（6）式、（10）式設(shè)計控制律為：
其中，k＞0，η＞0。將控制律（11）式代入（9）式中得到：
3 自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂破?/h2>
在實際控制中，由于ψ（x）是未知的，（11）式表示的控制律很難實現(xiàn)。本文根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)特點，設(shè)計一種基于RBF的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器補償系統(tǒng)未知量ψ（x），增加系統(tǒng)的魯棒性。
RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種3層前向網(wǎng)絡(luò)，由輸入到輸出的映射是非線性的，而隱含層空間到輸出空間的映射是線性的，從而可以大大加快學(xué)習(xí)速度并避免局部極小問題［4］。
在本文的RBF網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，X＝ ［S］T為網(wǎng)絡(luò)的輸入向量。設(shè)RBF網(wǎng)絡(luò)的徑向基向量為：
其中，m為網(wǎng)絡(luò)的隱含層層數(shù)；hj為高斯函數(shù)，即
網(wǎng)絡(luò)中第j個節(jié)點的中心向量為：
設(shè)網(wǎng)絡(luò)的中心向量為：
網(wǎng)絡(luò)的基寬向量為：
其中，bj為節(jié)點j的基寬參數(shù)，且為大于0的數(shù)。網(wǎng)絡(luò)的權(quán)向量為：
RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出為：
將 （12）式代入（11）式，可得：
其中
根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，滑模面的到達條件是＜0。本文使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)表示滑模面與控制器輸入之間的非線性映射關(guān)系，因而RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)需要根據(jù)到達條件實時調(diào)整［5－7］，從而選取最優(yōu)參數(shù)。
設(shè)RBF網(wǎng)絡(luò)參數(shù)調(diào)整指標為：
根據(jù)梯度下降法，在線調(diào)整神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的3個參數(shù)，即輸出權(quán)值、節(jié)點中心及節(jié)點基寬參數(shù)。
由于（14）式中，
其中，μ＝λgx（x）＋gθ（x），所以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值的自適應(yīng)律為：
由于（16）式中，
所以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點中心參數(shù)的自適應(yīng)律為：
由于（18）式中，
所以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點基寬參數(shù)的自適應(yīng)律為：
由（15）式、（17）式、（19）式可以得到：
其中
RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出可表示為：
補償系統(tǒng)未知量的最優(yōu)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器ψ＊（x）設(shè)計如下：
其中，W＊、B＊和C＊分別為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出權(quán)值、節(jié)點基寬及節(jié)點中心的最優(yōu)參數(shù)；ε1為最小建模誤差。
系統(tǒng)不確定量與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出之間的誤差定義如下：
（23）式可表述如下：
對（21）式兩邊同時求導(dǎo)可得：
由（24）式和（25）式可以得到：
為了證明控制器的穩(wěn)定性，定義李亞普諾夫函數(shù)為：
對（27）式兩邊同時微分得到：
選取的參數(shù)η滿足η≥‖ε1＋ε2‖，則有：
由（28）式可知，所設(shè)計的控制器滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。
同時，由于滑?？刂频亩墩翊笮∮善淇刂破髑袚Q項的增益決定，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對切換項的增益進行調(diào)節(jié)，可降低滑模控制的抖振［8－10］。采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來調(diào)節(jié)切換項增益η，設(shè)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入為S和，輸出的絕對值為切換項的增益η。取η＝｜vTh（x）｜，其中vT為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值。
網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的學(xué)習(xí)算法為：
其中
則權(quán)值調(diào)整算法為：
其中，γ4為網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)速率，γ4∈（0，1）。
網(wǎng)絡(luò)權(quán)值學(xué)習(xí)算法為：
其中，α1為慣性系數(shù)，α1∈（0，1）。
4 仿真結(jié)果
實際模型參數(shù)如下：
通過簡化模型轉(zhuǎn)化的狀態(tài)方程為：
不確定性干擾參數(shù)選取如下：
則系統(tǒng)的不確定干擾可表示為：
其中，α2為［－1，1］的隨機數(shù)。
控制器參數(shù)λ、λx、λθ的選取決定了滑模面的性能特性。本文采用極點配置方法［11］選取的參數(shù)為λ＝1.744，λx＝0.862，λθ＝3.975；其他控制器參數(shù)選取為γ1＝0.3，γ2＝0.1，γ3＝0.1，γ4＝0.1，α1＝0.05，ε1＝ε2＝0.1；網(wǎng)絡(luò)初始權(quán)值選取W＝［0.1 0.1 0.1 0.1 0.1］T；網(wǎng)絡(luò)的中心向量C的初值取－3～3之間的隨機數(shù)；網(wǎng)絡(luò)的基寬向量初值選取為：
設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)X＝［0 0 0.2 0］T，控制目標是使小車位移和擺桿角度趨近于0，選取下面2種控制器進行仿真：① 采用自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂破?，運用（13）式表示的控制律；② 采用傳統(tǒng)滑模控制器，運用（11）式表示的控制律。仿真結(jié)果如圖1所示。
圖1 仿真結(jié)果
5 結(jié)束語
本文針對欠驅(qū)動系統(tǒng)在存在系統(tǒng)參數(shù)擾動和外界干擾情況下的穩(wěn)定控制問題，運用二次型李雅普諾夫函數(shù)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)思想設(shè)計了自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模控制器。該方法可以使系統(tǒng)具有更好的魯棒性和較小的超調(diào)量，仿真結(jié)果證明了該控制器的有效性和優(yōu)越性。
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［3］ 楊興明，楊傳偉，馬文森.一類欠驅(qū)動系統(tǒng)的全局改進積分模糊滑?？刂疲跩］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，36（8）：923－928.
［4］ 劉金琨.滑模變結(jié)構(gòu)控制 MATLAB仿真［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2005：109－143.
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楊興明， 湯 星
（合肥工業(yè)大學(xué) 計算機與信息學(xué)院，安徽 合肥 230009）
0 引 言
不確定系統(tǒng)的穩(wěn)定控制一直是國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點問題?；？刂剖且环N有效的控制策略，滑?？刂破鞯膬?yōu)點是能克服系統(tǒng)的不確定性，對于外界干擾和未建模動態(tài)具有很強的魯棒性?；趶较蚧瘮?shù)（RBF）的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不僅具有并行計算、學(xué)習(xí)和容錯能力，還能任意精度逼近任意連續(xù)函數(shù)［1］，但也有穩(wěn)定性差、響應(yīng)速度慢的缺陷?；？刂凭哂胁贿B續(xù)性，易導(dǎo)致控制器輸出出現(xiàn)高頻抖振現(xiàn)象，文獻［2］為了克服抖振現(xiàn)象，減小了滑模面的邊界層，但該方法不能保證系統(tǒng)的狀態(tài)在滑模面上收斂。
針對上述問題，本文提出自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模控制策略，設(shè)計自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器補償系統(tǒng)的不確定量和外界干擾，同時采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來調(diào)節(jié)切換項增益，有效地解決了傳統(tǒng)滑?？刂浦械亩墩駟栴}。并通過李雅普諾夫定理和仿真結(jié)果證明了所設(shè)計控制器的有效性和優(yōu)越性。
1 一類不確定欠驅(qū)動系統(tǒng)模型
本文討論一類4階非線性欠驅(qū)動系統(tǒng)，系統(tǒng)模型如下：
其中
Δfx（x）、Δfθ（x）、Δgx（x）、Δgθ（x）為不確定部分；dx（t）和dθ（t）為外界隨機干擾，假設(shè)其有界，即
兩輪自平衡小車是一種典型的非線性欠驅(qū)動系統(tǒng)，小車的位移和擺桿角度狀態(tài)的控制是控制的主要問題。兩輪自平衡小車系統(tǒng)模型［3］對應(yīng)（1）式的參數(shù)表達式如下：
其中，x為車底盤中心的位移；θ為擺桿與豎直方向的角度；mp、mr分別車體質(zhì)量和車輪質(zhì)量；Jp、Jr分別為車體繞電機軸的轉(zhuǎn)動慣量和車輪繞軸的轉(zhuǎn)動慣量；R為車輪半徑；l為車體重心到電機軸線之間的距離；km、ke分別為電機的力矩系數(shù)和電機的反電動勢系數(shù)。
2 傳統(tǒng)滑?？刂破?/h2>
將x＝［x，x，x，x］T作為系統(tǒng)的參考
dd1d2d3d4軌跡，定義跟蹤誤差向量ei＝xi－xdi，則系統(tǒng)的誤差模型為：
其 中，u為系 統(tǒng)控制 電壓；¨r1、¨r2為參考軌跡 。
（1）式表示的系統(tǒng)可以分為2個子系統(tǒng)，定義第1層滑模面為：
令˙sx＝0，˙sθ＝0，得到等效控制律為：
對于（1）式系統(tǒng)，定義第2層滑模面為：
選取李雅普諾夫函數(shù)為：
對 （8）式兩邊求導(dǎo)得：
其中
使用指數(shù)趨近律，令＝0，聯(lián)合（5）式、（6）式、（10）式設(shè)計控制律為：
其中，k＞0，η＞0。將控制律（11）式代入（9）式中得到：
3 自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂破?/h2>
在實際控制中，由于ψ（x）是未知的，（11）式表示的控制律很難實現(xiàn)。本文根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)特點，設(shè)計一種基于RBF的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器補償系統(tǒng)未知量ψ（x），增加系統(tǒng)的魯棒性。
RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種3層前向網(wǎng)絡(luò)，由輸入到輸出的映射是非線性的，而隱含層空間到輸出空間的映射是線性的，從而可以大大加快學(xué)習(xí)速度并避免局部極小問題［4］。
在本文的RBF網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，X＝ ［S］T為網(wǎng)絡(luò)的輸入向量。設(shè)RBF網(wǎng)絡(luò)的徑向基向量為：
其中，m為網(wǎng)絡(luò)的隱含層層數(shù)；hj為高斯函數(shù)，即
網(wǎng)絡(luò)中第j個節(jié)點的中心向量為：
設(shè)網(wǎng)絡(luò)的中心向量為：
網(wǎng)絡(luò)的基寬向量為：
其中，bj為節(jié)點j的基寬參數(shù)，且為大于0的數(shù)。網(wǎng)絡(luò)的權(quán)向量為：
RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出為：
將 （12）式代入（11）式，可得：
其中
根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，滑模面的到達條件是＜0。本文使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)表示滑模面與控制器輸入之間的非線性映射關(guān)系，因而RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)需要根據(jù)到達條件實時調(diào)整［5－7］，從而選取最優(yōu)參數(shù)。
設(shè)RBF網(wǎng)絡(luò)參數(shù)調(diào)整指標為：
根據(jù)梯度下降法，在線調(diào)整神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的3個參數(shù)，即輸出權(quán)值、節(jié)點中心及節(jié)點基寬參數(shù)。
由于（14）式中，
其中，μ＝λgx（x）＋gθ（x），所以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值的自適應(yīng)律為：
由于（16）式中，
所以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點中心參數(shù)的自適應(yīng)律為：
由于（18）式中，
所以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點基寬參數(shù)的自適應(yīng)律為：
由（15）式、（17）式、（19）式可以得到：
其中
RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出可表示為：
補償系統(tǒng)未知量的最優(yōu)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器ψ＊（x）設(shè)計如下：
其中，W＊、B＊和C＊分別為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出權(quán)值、節(jié)點基寬及節(jié)點中心的最優(yōu)參數(shù)；ε1為最小建模誤差。
系統(tǒng)不確定量與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出之間的誤差定義如下：
（23）式可表述如下：
對（21）式兩邊同時求導(dǎo)可得：
由（24）式和（25）式可以得到：
為了證明控制器的穩(wěn)定性，定義李亞普諾夫函數(shù)為：
對（27）式兩邊同時微分得到：
選取的參數(shù)η滿足η≥‖ε1＋ε2‖，則有：
由（28）式可知，所設(shè)計的控制器滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。
同時，由于滑?？刂频亩墩翊笮∮善淇刂破髑袚Q項的增益決定，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對切換項的增益進行調(diào)節(jié)，可降低滑模控制的抖振［8－10］。采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來調(diào)節(jié)切換項增益η，設(shè)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入為S和，輸出的絕對值為切換項的增益η。取η＝｜vTh（x）｜，其中vT為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值。
網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的學(xué)習(xí)算法為：
其中
則權(quán)值調(diào)整算法為：
其中，γ4為網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)速率，γ4∈（0，1）。
網(wǎng)絡(luò)權(quán)值學(xué)習(xí)算法為：
其中，α1為慣性系數(shù)，α1∈（0，1）。
4 仿真結(jié)果
實際模型參數(shù)如下：
通過簡化模型轉(zhuǎn)化的狀態(tài)方程為：
不確定性干擾參數(shù)選取如下：
則系統(tǒng)的不確定干擾可表示為：
其中，α2為［－1，1］的隨機數(shù)。
控制器參數(shù)λ、λx、λθ的選取決定了滑模面的性能特性。本文采用極點配置方法［11］選取的參數(shù)為λ＝1.744，λx＝0.862，λθ＝3.975；其他控制器參數(shù)選取為γ1＝0.3，γ2＝0.1，γ3＝0.1，γ4＝0.1，α1＝0.05，ε1＝ε2＝0.1；網(wǎng)絡(luò)初始權(quán)值選取W＝［0.1 0.1 0.1 0.1 0.1］T；網(wǎng)絡(luò)的中心向量C的初值取－3～3之間的隨機數(shù)；網(wǎng)絡(luò)的基寬向量初值選取為：
設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)X＝［0 0 0.2 0］T，控制目標是使小車位移和擺桿角度趨近于0，選取下面2種控制器進行仿真：① 采用自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂破?，運用（13）式表示的控制律；② 采用傳統(tǒng)滑模控制器，運用（11）式表示的控制律。仿真結(jié)果如圖1所示。
圖1 仿真結(jié)果
5 結(jié)束語
本文針對欠驅(qū)動系統(tǒng)在存在系統(tǒng)參數(shù)擾動和外界干擾情況下的穩(wěn)定控制問題，運用二次型李雅普諾夫函數(shù)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)思想設(shè)計了自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模控制器。該方法可以使系統(tǒng)具有更好的魯棒性和較小的超調(diào)量，仿真結(jié)果證明了該控制器的有效性和優(yōu)越性。
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