李 磊李國林劉潤杰

①(海軍航空工程學(xué)院 煙臺 264001)

②(解放軍第91918部隊 北京 102300)

基于相干積累矩陣重構(gòu)的波達方向估計新方法

李 磊*①李國林①劉潤杰②

①(海軍航空工程學(xué)院 煙臺 264001)

②(解放軍第91918部隊 北京 102300)

針對短時小樣本條件下相干信號的波達方向(Direction Of Arrival, DOA)估計問題，該文提出了一種基于相干積累矩陣重構(gòu)的快速解相干方法。首先利用相干積累技術(shù)對陣列接收快拍進行處理，得到累積快拍矢量，提高了數(shù)據(jù)信噪比。再依據(jù)累積快拍矢量的結(jié)構(gòu)特點構(gòu)造一個非降維等效協(xié)方差矩陣，理論分析可知，該矩陣的秩僅與信源個數(shù)相等，與信號間相關(guān)性無關(guān)，即實現(xiàn)了相干信源完全解相干。相較于空間平滑類算法，該方法避免了陣列孔徑損失，估計精度高、計算量小。仿真結(jié)果驗證了算法的有效性。

波達方向(DOA)估計；相干信號；相干積累；孔徑損失

1 引言

波達方向(Direction Of Arrival, DOA)估計在雷達、通信等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用[1－3]，但探測空間存在的相干或強相關(guān)信號會導(dǎo)致陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣出現(xiàn)秩虧，信號子空間向噪聲子空間擴散，導(dǎo)致子空間類算法估計性能下降甚至失效。同時，在彈載陣列探測系統(tǒng)中，對測向算法的估計精度及算法的解算實時性要求更高，因此，研究相干信源條件下高精度、低計算復(fù)雜度的新方法具有重大實際意義。

常用的解相干預(yù)處理方法可分為降維處理[4－6]和非降維處理[7－12]兩類。其中，降維處理解相干算法主要以空間平滑類算法[4](Spatial Smoothing, SS)及其改進算法[5,6]為代表，它將傳感器陣列劃分為多個具有平移特性的子陣，通過子陣協(xié)方差矩陣的疊加實現(xiàn)協(xié)方差矩陣的秩與信源個數(shù)相等。為避免陣列孔徑損失，文獻[7-9]提出一類Toeplitz矩陣重構(gòu)算法，通過恢復(fù)協(xié)方差矩陣的秩實現(xiàn)解相干，避免了空間平滑，但矩陣構(gòu)造過程需要大量陣列接收數(shù)據(jù)互相關(guān)運算，計算量較大。文獻[10]提出一種直接數(shù)據(jù)域取對稱共軛向量解相干的方法，但要求相干信號個數(shù)不大于兩個。文獻[11,12]利用高階累積量的陣列擴展能力，基于陣列快拍數(shù)據(jù)的4階累積量結(jié)合時間平滑處理實現(xiàn)相干多徑的DOA估計并具有抑制高斯色噪聲的能力，且估計信源個數(shù)超過陣元個數(shù)，但上述算法均建立在大量時域累計快拍的基礎(chǔ)上，且計算復(fù)雜度高，不適用于實時性高的應(yīng)用背景。

針對短時小樣本條件下相干信號的DOA估計問題，相關(guān)文獻較少。文獻[13,14]將坐標原點建立在陣列幾何中心，利用陣列單次快拍接收數(shù)據(jù)構(gòu)建Toeplitz矩陣實現(xiàn)了相干信號解相干，但實質(zhì)上損失了陣列一半的孔徑，估計誤差過大。文獻[15]首次提出了一種利用少快拍數(shù)進行相干積累，并結(jié)合矢量奇異值分解算法實現(xiàn)相干信號DOA估計的算法(CAV-SS算法)，但同樣存在陣列孔徑損失問題?；谝陨蠁栴}，本文提出一種基于相干積累矩陣重構(gòu)的快速解相干算法。該算法首先基于相干積累原理對短快拍陣列接收數(shù)據(jù)進行處理，得到累積快拍矢量，然后利用該矢量第1個元素與特征矢量進行復(fù)乘，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建一個非降維的等效協(xié)方差矩陣，經(jīng)公式推導(dǎo)證明，矩陣的秩與信源個數(shù)相同，與信號間相關(guān)性無關(guān)，即實現(xiàn)了信源的完全解相干。同時，該算法通過相干積累實現(xiàn)了信號能量的積累，提高了算法的抗噪性，且有效避免了陣列孔徑損失，分辨率高、計算量小。

2 數(shù)據(jù)模型與問題的提出

2.1 數(shù)據(jù)模型

假設(shè)M個各向同性陣元組成均勻線性陣列，陣元間距為d，陣元編號為1,2,…,M。N個遠場窄帶信號sk(t)(k=1,2,…,N)分別以與陣列法線夾角θk的方向入射。陣列噪聲為加性高斯白噪聲，且噪聲與信號相互獨立。以編號1陣元為參考原點，陣列觀測信號的矢量表示為：

2.2 相干積累矢量平滑算法

由式(5)可知，每一次快拍矢量均可表示為陣列流型矩陣A(θ)中所有導(dǎo)向矢量的一個線性組合，即含有信源入射角度所有信息，而多次快拍數(shù)據(jù)經(jīng)過相干積累能夠提高信噪比[15]，文獻[15]即利用該性質(zhì)提出了相干積累矢量平滑算法(CAV-SS)。下面對該算法進行簡介。

假設(shè)信號載頻ω已知，首先構(gòu)造K維相干積累列向量

由于F頻率與信號載頻相同，則能對信號進行能量積累，則累積快拍相較于一次快拍數(shù)據(jù)能夠有效提高信噪比。然后，利用累積快拍矢量V構(gòu)造式(7)中前后向空間平滑矩陣

其中，T為陣列輸出的采樣周期。通過向量F對K次陣列輸出的采樣快拍進行相干積累，構(gòu)造M×1維累積快拍矢量V，即

通過對該矩陣進行一次奇異值分解結(jié)合常規(guī)子空間類算法即可實現(xiàn)對入射信源的DOA估計，為確保rank(Y)=N,p的選擇范圍為N＜p＜(M-N/2+1)，即算法存在較大的陣列孔徑損失。

3 相干積累矩陣重構(gòu)解相干算法

首先，通過相干積累得到累積快拍矢量，即將式(5)代入至式(7)中，則M×1維累積快拍矢量V可展開為：

將式(10)所示累積快拍矢量與式(5)所示單次快拍數(shù)據(jù)進行對比可知，累積快拍矢量不僅可表示為陣列流型矩陣A(θ)中所有導(dǎo)向矢量的線性組合，且其中信號分量幅值增強了K倍，而噪聲能量無法得到累積，因此提高了信噪比。矢量V的第m個元素可表示為：

定義M×1維特征矢量該矢量的第m個元素定義如下：

其中V(1)表示矢量V第1個元素。利用矢量構(gòu)建M×M維等效協(xié)方差矩陣：

下面證明矩陣R~可分解為陣列數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣形式，且矩陣的秩僅與信源個數(shù)有關(guān)，與信源間的相干性無關(guān)。證明如下：

由式(21)可以得知，式(20)所有對角元素相等，均可由表示。此時，將式(14)，式(17)代入至式(20)，即可證明式(18)等式左右兩側(cè)相等。 證畢

顯然，無論信號間是否相關(guān)，對角陣G的對角元素均不為零，且A(θ)為列滿秩矩陣，則rank(G)=N，即實現(xiàn)了相干信源的完全解相干。由式(18)形式可知，通過對矩陣進行一次特征分解并結(jié)合常規(guī)子空間類算法即可實現(xiàn)相干信源的DOA估計。由于等效協(xié)方差矩陣為M×M維矩陣，則M陣元均勻線陣最多可估計M-1個相干信源，即算法無孔徑損失。且對角陣G的對角元素形式(式(15))可以看出，當(dāng)信號完全相干時，gk為所有入射信號疊加功率的K2倍，即等效協(xié)方差矩陣的構(gòu)造大幅增大了信號能量，提高了信噪比，確保了算法在低信噪比下能夠保持穩(wěn)健的估計性能。

利用本文進行相干信號DOA估計的具體步驟如下：

步驟1 獲取陣列觀測快拍數(shù)據(jù)X(t)；

步驟2 根據(jù)式(9)對X(t)進行相干積累，得到累積快拍矢量(t)；

由算法具體步驟可知，本文算法的計算量主要集中在步驟2和步驟5，其中式(9)累積快拍矢量構(gòu)建約需O(KM)次復(fù)乘運算，對式(13)構(gòu)建的矩陣進行特征分解約需O(M3)次復(fù)乘運算，較之CAVSS算法中對降維矩陣進行矢量奇異值分解的運算量有所增加，但避免了陣列孔徑損失；較之MSS算法[5]，本文算法計算量則降幅較大，MSS算法需要對大量時域累積快拍進行互相關(guān)及空間平滑處理，需要約O((M-P)2L+(M-P)3)次復(fù)乘運算(P為平滑次數(shù)，L為快拍次數(shù))，且MSS算法孔徑損失嚴重，分辨率低。

4 數(shù)值仿真分析

為驗證算法的有效性，設(shè)計如下仿真試驗。將本文算法與修正的空間平滑MSS算法[5]及同樣基于相干積累的CAV-SS算法[15]進行對比，分析算法的優(yōu)點和局限性。

仿真1驗證算法的解相干性能

考慮4個遠場窄帶信號，頻率f0=20 MHz ，信號形式為入射方向分別為-25°, -20°, 10°, 20°，采樣頻率為100 MHz。陣元個數(shù)M=8，陣元間距d=λ/2,λ為信號波長，快拍次數(shù)為100次，相干積累次數(shù)K=30，信噪比SNR=5 dB，結(jié)合MUSIC算法得到本文算法、MSS算法及CAV-SS算法的空間譜曲線，如圖1(a)。仿真條件不變，考慮7個遠場窄帶信號分別從角度-40°, -30°, -20°, 0°, 10°, 20°, 30°入射至8陣元均勻線陣，得到3種算法的空間譜曲線，如圖1(b)。

由信號形式可知，信號1與信號2為相干信號，信號3和信號4為相關(guān)信號，且與信號1和信號2是相關(guān)的。由圖1(a)可知，本文算法能夠?qū)崿F(xiàn)對4個信源的解相干，且算法的估計精度高于CAV-SS算法及MSS算法，尤其當(dāng)入射角度接近時(-25°與-20°)表現(xiàn)得更加明顯。分析原因，本文算法所構(gòu)造的等效協(xié)方差矩陣的秩與信源個數(shù)相等，與信源間相關(guān)性無關(guān)，因此實現(xiàn)了信號的完全解相干，充分利用了陣列孔徑。而CAV-SS算法和MSS算法的實質(zhì)是對數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的秩進行恢復(fù)的過程，其解相干性能是以降低陣列自由度為代價的，估計性能與本文算法相比較低。由圖1(b)可知，本文算法M陣元均勻線陣最多可估計M-1個相干信源，而對比算法此時已經(jīng)無法對所有信號DOA進行估計。

仿真2驗證算法的角度分辨力

考慮仿真1中的2個遠場窄帶相干信號s1(t)和s2(t)入射至8陣元均勻線陣，固定信號1的入射角角度為10°，改變信號2的入射角度，使其從0°至20°區(qū)間以0.5°為步長步進，快拍次數(shù)為100次，相干積累次數(shù)K=30，信噪比SNR=5 dB，每個入射角度下進行200次Monte-Carlo統(tǒng)計試驗，驗證本文算法、CAV-SS算法及MSS算法的角度分辨力。僅改變陣元個數(shù)，分別得到8陣元(圖2(a))和15陣元(圖2(b))均勻線陣時算法DOA估計均方根誤差隨信號2入射角度變化曲線。

圖1 相干信號DOA估計性能Fig. 1 DOA estimation results of coherent signals

圖2 DOA估計誤差隨入射角度變化曲線Fig. 2 RMSE curve of DOA estimation with incident angle

由圖2可知，所有算法的DOA估計均方根誤差均隨角度差增大而遞減，且本文算法在相同角度差條件下的均方根誤差相較于CAV-SS算法、MSS算法更小。分析原因，本文算法在解相干的過程中未損失陣列自由度，而CAV-SS算法和MSS算法在信號協(xié)方差矩陣恢復(fù)秩的過程中均存在不同程度孔徑損失，降低了算法的估計性能。另一方面，將不同陣元數(shù)下的DOA估計性能進行對比可知，當(dāng)陣元個數(shù)增大時，陣列的角度分辨力與陣列孔徑大小具有正比關(guān)系。

仿真3驗證算法的估計性能隨信噪比變化關(guān)系

考慮仿真圖1(a)中4個信號，分別以同樣角度入射至15陣元均勻線陣，快拍次數(shù)為100次，相干積累次數(shù)K=30，改變?nèi)肷湫盘柕男旁氡?，使其? dB至20 dB區(qū)間以1 dB為步長步進，每個信噪比下進行200次Monte-Carlo統(tǒng)計試驗，驗證本文算法、CAV-SS算法及MSS算法DOA估計的均方根誤差(Root-Mean-Square Error, RMSE)隨信噪比的變化關(guān)系。DOA估計的RMSE定義為：

式中，N為信源個數(shù)，為估計值，為標稱值。

由圖3可知，算法的估計均方根誤差均隨信噪比的增大而遞減，在同一信噪比下，本文算法的DOA估計均方根誤差低于CAV-SS算法，MSS算法的估計誤差最高。分析原因，本文算法及CAV-SS算法均在解相干矩陣的構(gòu)造過程中對信號能量進行了積累，而噪聲分量卻無法進行能力疊加，因此提高了數(shù)據(jù)的信噪比，而本文算法在等效協(xié)方差矩陣的構(gòu)造過程中通過對累積快拍矢量處理避免了陣列孔徑損失，因此本文算法的估計性能高于CAV-SS算法，而基于空間平滑原理的MSS算法不存在能量累積，且存在較大陣列孔徑損失，因此估計均方根誤差最大。

仿真4驗證算法的估計性能隨累積快拍次數(shù)及信噪比的變化關(guān)系

仿真參數(shù)設(shè)定與仿真3相同，僅改變算法相干積累過程中所需的累積快拍次數(shù)，使累積快拍次數(shù)分別為K=10, 20, …, 60，改變信噪比，使其從0 dB至20 dB區(qū)間以1 dB為步長步進，每個信噪比下進行200次Monte-Carlo統(tǒng)計試驗，驗證本文算法在不同累積快拍數(shù)下的估計性能隨信噪比的變化關(guān)系。由圖4可知，在同一信噪比條件下，本文算法的估計性能隨累積快拍次數(shù)的增加而不斷提高，但當(dāng)快拍次數(shù)大于30后，累積快拍次數(shù)的增加對算法的估計性能的影響逐漸減小。

圖3 DOA估計誤差隨信噪比變化曲線Fig. 3 RMSE curve of DOA estimation with SNR

圖4 DOA估計誤差隨累積快拍次數(shù)及信噪比變化曲線Fig. 4 RMSE curve of DOA estimation with accumulation snapshot and SNR

5 結(jié)論

針對短時小樣本條件下的相干信號DOA估計問題，本文提出一種基于相干積累矩陣重構(gòu)的非降維快速解相干算法。算法通過對少量陣列接收快拍數(shù)據(jù)進行相干積累，得到累積快拍矢量，實現(xiàn)了信號能量的累積，提高了信噪比，同時通過公式推導(dǎo)證明了基于累積快拍矢量所構(gòu)造的非降維等效協(xié)方差矩陣的秩與信源個數(shù)相等，即實現(xiàn)了相干信源的完全解相干。相較于常規(guī)空間平滑算法，本文算法無需平滑處理，計算量小，且無孔徑損失，分辨率高。如何將本文算法思想應(yīng)用至多陣列誤差下的陣列空間譜估計領(lǐng)域是下一步的研究重點。

[1]Zheng Z, Li G J, and Teng Y L. Simplified estimation of 2D DOA for coherently distributed sources[J].Wireless Peronal Communications, 2012, 62(4): 907-922.

[2]Kassis C E, Picheral J, and Mokbel C. Advantages of nonuniform arrays using root-MUSIC[J].Signal Processing, 2010, 90(2): 689-695.

[3]蔣柏峰, 呂曉德, 向茂生. 基于廣義MUSIC算法的低仰角估計新方法[J]. 雷達學(xué)報, 2013, 2(4): 422-429. Jiang Bai-feng, Lü Xiao-de, and Xiang Mao-sheng. A new low-elevation estimation method based on a general MUSIC algorithm[J].Journal of Radars, 2013, 2(4): 422-429.

[4]Pillai S U and Kwon B H. Forward-backward spatial smoothing techniques for coherent signal identification[J].IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing, 1989, 37(1): 8-15．

[5]Williams R T, Prasad S, Mahalanabis A K,et al.. An improved spatial smoothing technique for bearing estimation in a multi path environment[J].IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing, 1988, 36(4): 425-432.

[6]Gu J F, Wei P, and Tai H M, 2-D direction-of-arrival estimation of coherent signals using cross-correlation matrix[J].Signal Processing, 2008, 88(1): 75-85.

[7]高書彥, 陳輝, 王永良, 等. 基于均勻圓陣的模式空間矩陣重構(gòu)算法[J]. 電子與信息學(xué)報, 2007, 29(12): 2832-2835. Gao Shu-yan, Chen Hui, Wang Yong-liang,et al.. The MODE-TOEP algorithm based on uniform circular array[J].Journal of Electronics&Information Technology, 2007, 29(12): 2832-2835.

[8]Kareem A J, Hyuck M K, and Nizar T. Modified UCA-ESPRIT for estimating DOA of coherent signals using one snapshot[C]. Proceedings of the Vehicular Technology Conference, Singapore, 2008: 126-131.

[9]謝菊蘭, 李會勇, 何子述. 均勻圓陣相干信源DOA估計的差分算法[J]. 電子科技大學(xué)學(xué)報, 2012, 41(4): 516-521. Xie Ju-lan, Li Hui-yong, and He Zi-shu. DOA estimation of coherent sources using difference algorithm with the uniform circular arrays[J].Journal of University of Electronic Science and Technology of China, 2012, 41(4): 516-521.

[10]袁曉東, 萬建偉, 程翥, 等. 基于直接數(shù)據(jù)域自適應(yīng)算法的相干信號DOA估計[J]. 國防科技大學(xué)學(xué)報, 2012, 34(3): 131-135. Yuan Xiao-dong, Wan Jian-wei, Cheng Zhe,et al.. DOA estimation of correlated signals based on the adaptive algorithm in direct data domain[J].Journal of National University of Defense Technology, 2012, 34(3): 131-135.

[11]周圍, 朱聯(lián)祥, 周正中, 等. 相干多徑環(huán)境下信號空間特征及波達方向估計[J]. 電波科學(xué)學(xué)報, 2007, 22(4): 685-691. Zhou Wei, Zhu Lian-xiang, Zhou Zheng-zhong,et al.. Estimation of spatial signature and direction of arrivals for signals in coherent multipath environment[J].Chinese Journal of Radio Science, 2007, 22(4): 685-691.

[12]景小榮, 隋偉偉, 周圍. 基于四階累積量和時間平滑的相干信號DOA估計[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù), 2012, 34(4): 789-795. Jing Xiao-rong, Sui Wei-wei, and Zhou Wei. DOA estimation of coherent signals based on fourth-order cumulant and temporal smoothing[J].Systems Engineering and Electronics, 2012, 34(4): 789-795.

[13]王凌, 李國林, 孟晶, 等. 用一次快拍數(shù)據(jù)實現(xiàn)二維完全解相干和解互耦[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù), 2012, 34(11): 2208-2214. Wang Ling, Li Guo-Lin, Meng Jing,et al.. Two-dimensional decorrelation and decoupling using single snapshot[J].Systems Engineering and Electronics, 2012, 34(11): 2208-2214.

[14]王凌, 李國林, 謝鑫. 互耦效應(yīng)下用單快拍數(shù)據(jù)實現(xiàn)相干信源完全解相干和解耦合[J]. 電子與信息學(xué)報, 2012, 34(10): 2532-2536. Wang Ling, Li Guo-lin, and Xie Xin. Decorrelation and decoupling of coherent signals in the presence of mutual coupling using single snapshot[J].Journal of Electronics&Information Technology, 2012, 34(10): 2532-2536.

[15]李濤, 李國林, 徐珩, 等. 采用相干積累矢量平滑實現(xiàn)小樣本信號解相干[J]. 西安電子科技大學(xué)學(xué)報, 2011, 38(6): 113-116. Li Tao, Li Guo-lin, Xu Heng,et al.. Small sample signals' decorrelation using the coherent accumulation vector' spatial smoothing[J].Journal of Xidian University, 2011, 38(6): 113-116.

李 磊(1987-)，男，山東濟寧人，海軍航空工程學(xué)院在讀博士生，研究方向為目標中近程探測、陣列信號處理等。

E-mail: lilei19880229@gmail.com

李國林(1955-)，男，吉林吉化人，博士生導(dǎo)師，主要研究方向為數(shù)字信號處理、近程目標探測、識別與干擾。

劉潤杰(1987-)，男，黑龍江大慶人，工程師，主要研究方向為雷達信號處理。

Novel Direction Of Arrival Estimation Method Based on Coherent Accumulation Matrix Reconstruction

Li Lei①Li Guo-lin①Liu Run-jie②

①(Naval Aeronautical Engineering Institute,Yantai264001,China)

②(Unit91918of PLA,Beijing102300,China)

Based on coherent accumulation matrix reconstruction, a novel Direction Of Arrival (DOA) estimation decorrelation method of coherent signals is proposed using a small sample. First, the Signal to Noise Ratio (SNR) is improved by performing coherent accumulation operation on an array of observed data. Then, according to the structure characteristics of the accumulated snapshot vector, the equivalent covariance matrix, whose rank is the same as the number of array elements, is constructed. The rank of this matrix is proved to be determined just by the number of incident signals, which realize the decorrelation of coherent signals. Compared with spatial smoothing method, the proposed method performs better by effectively avoiding aperture loss with high-resolution characteristics and low computational complexity. Simulation results demonstrate the efficiency of the proposed method.

Direction Of Arrival (DOA) estimation; Coherent signals; Coherent accumulation; Aperture loss

TN911.7

：A

：2095-283X(2015)02-0178-07

10.12000/JR14116

李磊, 李國林, 劉潤杰. 基于相干積累矩陣重構(gòu)的波達方向估計新方法[J]. 雷達學(xué)報, 2015, 4(2): 178-184. http://dx.doi.org/10.12000/JR14116.

Reference format: Li Lei, Li Guo-lin, and Liu Run-jie. Novel direction of arrival estimation method based on coherent accumulation matrix reconstruction[J].Journal of Radars, 2015, 4(2): 178-184. http://dx.doi.org/ 10.12000/JR14116.

2014-10-22收到，2014-11-07改回；2014-12-10網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版

國家自然科學(xué)基金(61102165)資助課題

*通信作者： 李磊 lilei19880229@gmail.com