劉 恒，趙宏偉，李維梅，劉 波

(西安空間無線電技術(shù)研究所，西安 710100)

1 引言

稀疏相控陣天線[1］是指從規(guī)則排布的均勻相控陣中按照一定的比例剔除掉部分單元，或者將這些單元連接到匹配負(fù)載上，既可以減少陣列天線成本和重量，還可以獲得與滿陣排布相當(dāng)?shù)恼ㄊ?。?dāng)單元均勻激勵時，稀疏陣列天線可以獲得比滿陣布置更低的副瓣電平。由于稀疏陣列天線不需要幅相調(diào)整的放大器和移相器等器件，具有結(jié)構(gòu)簡單和低成本等優(yōu)點(diǎn)，已成功應(yīng)用在抗環(huán)境干擾的衛(wèi)星接收天線、高頻地面雷達(dá)和射電天線學(xué)中的干涉陣等領(lǐng)域。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，高效的稀疏陣列優(yōu)化已成研究熱點(diǎn)，人們提出了遺傳算法[2］、粒子群算法[3］、模擬退火算法[4］和差分進(jìn)化算法[5］等各種優(yōu)化算法的混合算法[6－8］。

差分進(jìn)化算法(Differential Evolution，DE)是由Storn和 Price兩位學(xué)者提出[9］的，由于其高效、快速、隨機(jī)并行搜索方式，且操作簡單、搜索能力強(qiáng)等原因，已經(jīng)在陣列天線綜合等電磁優(yōu)化問題中得到了廣泛的應(yīng)用[10－11］。楊仕文教授[12］在時間調(diào)制天線陣列和幅度激勵的方向圖綜合中應(yīng)用DE算法進(jìn)行優(yōu)化，取得了比遺傳算法更快的收斂速度。然而，陣列天線的稀疏布陣是一個離散的0－1規(guī)劃問題，對稀疏陣列天線方向圖的綜合大多數(shù)采用支持離散編碼的智能優(yōu)化算法。例如，文獻(xiàn)[5］采用布爾代數(shù)體系的布爾DE算法，其變異算子可以在二進(jìn)制編碼0－1規(guī)劃問題直接求解。文獻(xiàn)[13］提出了將實(shí)值變量分別量化，然后組成所需要的二進(jìn)制序列的二進(jìn)制DE算法。由于布爾 DE和二進(jìn)制DE算法對變異算子進(jìn)行了修改，無法應(yīng)用于標(biāo)準(zhǔn)DE算法基礎(chǔ)上大量改進(jìn)的算法。本文將標(biāo)準(zhǔn)DE算法與取整策略相結(jié)合，使稀疏陣列天線的綜合可以直接用標(biāo)準(zhǔn)DE算法進(jìn)行處理。

由于在等幅激勵時近似圓形的六邊形平面陣列能夠獲得相對低的峰值副瓣電平(Peak Sidelobe Level，PSLL)，且相同單元間距下六邊形陣列掃描過程中出現(xiàn)柵瓣時的掃描角度更大，因此六邊形平面天線陣被廣泛應(yīng)用在通信和雷達(dá)中[14］。本文應(yīng)用取整策略的DE算法對工程上廣泛應(yīng)用的正三角形排列的六邊形平面天線陣(1027個單元)進(jìn)行稀疏布陣優(yōu)化，以降低陣列天線的峰值副瓣電平。為了快速地計(jì)算六邊形平面陣列的輻射方向圖，通過添加虛擬單元把六邊形陣列轉(zhuǎn)化為矩形陣列，六邊形陣的陣因子就可以通過快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT)進(jìn)行計(jì)算。為了對陣列單元的優(yōu)化變量進(jìn)行降維，以對稱處理的方式把獨(dú)立單元降低了90%。仿真實(shí)驗(yàn)得到了滿意的結(jié)果，說明了此方法在工程應(yīng)用中的有效性和可行性。

2 天線陣列模型

2.1 六邊形陣列天線方向圖

六邊形平面陣列天線的幾何結(jié)構(gòu)如圖1所示，其天線單元按等邊三角形排列，由若干個同心六邊形環(huán)陣環(huán)繞一個位于中心的天線單元所組成。文獻(xiàn)[2］根據(jù)圓環(huán)天線陣的遠(yuǎn)場表示式，通過陣列疊加原理計(jì)算六邊形陣列天線的方向圖。對于一個由L個同心六邊形環(huán)陣組成的六邊形平面天線，其第一行的單元數(shù)為L+1個;隨著行數(shù)的增加，每行的單元數(shù)依次增一個，到L+1行的單元數(shù)增加到最多的2L+1個;再隨著行數(shù)繼續(xù)增加，每行的單元數(shù)則依次減少一個，到2L+1行的單元數(shù)減少到L+1個，每行不等數(shù)量但等間距的直線陣在縱向交替緊密排布。本文利用六邊形陣列天線的這一結(jié)構(gòu)提出一種新的六邊形陣列輻射方向圖的計(jì)算方法。

圖1 六邊形平面陣列天線結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of a hexagon planar array antenna

由于六邊形平面陣列的每行在y方向是交替排布的，如果通過在每行的單元中間添加一個虛擬單元，這樣就把六邊形平面陣列變換為矩形柵格的平面陣列。每行沿x軸方向間距dx=0.5d，每列沿y軸方向間距dy=0.5d·tan60°，d為正三角形排列的單元間距。根據(jù)六邊形平面陣列的結(jié)構(gòu)和添加的虛擬單元的位置可知，對于一個由L個同心六邊形環(huán)陣通過在每一行單元中間添加虛擬單元變化為一個2L+1行4L+1列的矩形柵格平面陣，由陣列天線理論可知，在不考慮互耦的情況下，輻射單元為理想點(diǎn)源，六邊形陣列方向圖滿足乘積定理可以表示為

式中，L為同心六邊形環(huán)陣的數(shù)量，k為波數(shù)，θ、φ分別為球坐標(biāo)系的下俯仰角和方位角，Amn是第(m，n)個單元激勵幅度。對于矩陣A與六邊形陣列不匹配的點(diǎn)，如添加的虛擬單元和位于六邊形陣列孔徑外的點(diǎn)，其激勵幅度設(shè)置Amn=0。那些與陣列匹配的點(diǎn)，在稀疏陣優(yōu)化過程中，Amn=1表示單元在工作;Amn=0表示單元被剔除。

根據(jù)六邊形陣列天線的對稱性，對稱軸上的單元有6個對稱單元，非對稱軸上的單元有12個對稱單元。如果一個單元在優(yōu)化中被稀疏剔除，與其相對稱的所有單元都剔除，則六邊形天線陣的獨(dú)立單元位于圖1中y軸和p標(biāo)記的30°扇形區(qū)內(nèi)的單元。式(2)給出一個六邊形天線陣(L個同心六邊形環(huán)陣)的獨(dú)立單元數(shù)D的計(jì)算公式:

式中，int(·)為向下取整函數(shù)。

2.2 利用FFT計(jì)算陣列天線方向圖

在進(jìn)化過程中，評估個體的優(yōu)劣需要根據(jù)采樣點(diǎn)反復(fù)計(jì)算方向圖函數(shù)，如果能夠減少方向圖的計(jì)算時間就能降低評估個體適應(yīng)度的時間，從而提高算法的優(yōu)化速度。設(shè)一個由理想點(diǎn)源組成的陣列，單元間距沿x軸方向?yàn)閐x，y軸方向?yàn)閐y的M×N元平面陣列天線，在不考慮互耦影響的情況下，陣因子可以表示為

式中，k=2π/λ，λ 為自由空間波長，Amn是第(m，n)個單元激勵幅度，u=sinθcosφ、v=sinθsinφ 是方向余弦，θ、φ分別為球坐標(biāo)系的下俯仰角和方位角。令 p=Mkdxu/2π +1，q=Nkdyv/2π +1，則式(3)變換為

由式(3)可以看出陣因子AF(u，v)與單元激勵A(yù)之間存在FFT關(guān)系，這樣根據(jù)具體的問題，將(θ，φ)域的方向圖特性映射到(p，q)域中，就可以在(p，q)進(jìn)行優(yōu)化。由 u=sinθcosφ、v=sinθsinφ 可得 u2+v2=sin2θ≤1，即方向余弦 u、v坐標(biāo)系下，可見空間為一圓形區(qū)域。

2.3 方向圖計(jì)算速度分析

在方向圖采樣點(diǎn)很多的情況下，采用陣列疊加原理需要很長時間計(jì)算陣因子，甚至導(dǎo)致計(jì)算無法完成。為了減少優(yōu)化計(jì)算量，通常是在φ=0°和φ=90°兩個主面進(jìn)行方向圖采樣，結(jié)果可能導(dǎo)致其他φ面的方向圖不理想。本文對單元激勵做FFT來計(jì)算陣因子，具有計(jì)算速度極快的優(yōu)點(diǎn)。表1列出了使用陣列疊加原理和FFT在獨(dú)立運(yùn)行20次，計(jì)算由1027個單元組成的六邊形陣列方向圖所需要的平均時間。所用計(jì)算機(jī)處理器為Q8300，內(nèi)存為2 GB?？梢钥闯雠c陣列疊加原理比較，F(xiàn)FT計(jì)算二維陣列方向圖具有計(jì)算時間極短的優(yōu)點(diǎn)。

表1 計(jì)算陣列方向圖的平均時間Table 1 Average time of computing the array pattern

3 基于取整策略的差分進(jìn)化算法

由于稀疏陣列天線的激勵幅值只能取0和1，在優(yōu)化過程中如果能夠處理單元激勵幅度的離散問題，就可以采用標(biāo)準(zhǔn)DE算法進(jìn)行優(yōu)化。本文將標(biāo)準(zhǔn)DE算法與取整策略相結(jié)合，差分進(jìn)化變量的搜索區(qū)間在各維坐標(biāo)上設(shè)為[0，1］，通過對優(yōu)化變量進(jìn)行四舍五入取整，可以使標(biāo)準(zhǔn)DE算法對稀疏陣列方向圖進(jìn)行優(yōu)化。在六邊形稀疏陣天線中，用一個D維向量x=(x1，x2，…，xD)表示一個稀疏陣列天線的激勵狀態(tài)Amn，向量的維數(shù)等于需要優(yōu)化的獨(dú)立單元數(shù)。六邊形陣列天線中心單元的狀態(tài)用向量的第一位數(shù)表示，第一個六邊形環(huán)陣的第一個獨(dú)立單元用第二位數(shù)表示，依次類推如圖1中的數(shù)字所示。對每一維變量進(jìn)行取整，結(jié)果為“1”表示與該獨(dú)立單元對稱的所有單元都在工作，取整后結(jié)果為“0”代表單元都被剔除。為了不影響算法性能，目標(biāo)向量的取整只是在適應(yīng)度函數(shù)的計(jì)算過程進(jìn)行。因此，本文提出的基于取整策略的DE算法用于六邊形稀疏陣列天線優(yōu)化的流程如下。

(1)種群初始化。根據(jù)變量的取值范圍[0，1］，在上下邊界空間盡可能地均勻分布種群數(shù)NP個目標(biāo)向量:

式中，rand(1，D)為 D 維的[0，1］區(qū)間上的隨機(jī)數(shù)。

(2)變異。從種群中隨機(jī)選取3個不同目標(biāo)向量 r1≠r2≠r3≠i，生成變異向量 vi，G=xr1，G+F·(xr2，G－ xr3，G)。

(3)交叉。對變異個體 vi，G和 xi，G進(jìn)行交叉操作，產(chǎn)生新的試驗(yàn)向量 ui，G=(u1i，G，u2i，G，…，uDi，G)。

式中，k為任意隨機(jī)整數(shù)，以確保至少有一維vi，G貢獻(xiàn)給實(shí)驗(yàn)向量 ui，G。

(4)計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)。對目標(biāo)向量和試驗(yàn)向量進(jìn)行取整，按式(7)計(jì)算適應(yīng)度:

式中，round(·)為四舍五入取整。

(5)選擇。目標(biāo)向量與交叉操作后的試驗(yàn)向量進(jìn)行競爭，適應(yīng)度值更優(yōu)的個體作為進(jìn)入下一輪進(jìn)化。

(6)判斷是否滿足迭代次數(shù)上限或收斂準(zhǔn)則，未滿足則轉(zhuǎn)到第2步。

(7)輸出最好個體xbest對應(yīng)的陣列結(jié)構(gòu)Amn，優(yōu)化結(jié)束。

4 稀疏陣列天線的優(yōu)化實(shí)例

本文應(yīng)用取整策略的DE算法對文獻(xiàn)[2］中1027個單元的六邊平面稀疏天線陣列進(jìn)行優(yōu)化，單元為理想點(diǎn)源，間距d=λ/2，為了使結(jié)果具有對比性，采用與文獻(xiàn)[2］中遺傳算法相同的種群數(shù)NP=200，進(jìn)化代數(shù)G=100。我們驗(yàn)證當(dāng)FFT運(yùn)算采樣點(diǎn)數(shù)K=256，文獻(xiàn)[2］的陣列布置在 φ=0°面的PSLL= －27.33 dB，φ=90°面 的 PSLL=－26.43 dB，與文獻(xiàn)[2］結(jié)果 PSLL=－26.4 dB相等，可以認(rèn)為文獻(xiàn)[2］中的采樣點(diǎn)是256。DE算法的基本參數(shù)采用文獻(xiàn)[15］推薦的DE/rand/1，差分因子 F=0.5，交叉概率 CR=0.9，為了體現(xiàn)本文方法的穩(wěn)健性，獨(dú)立運(yùn)行10次仿真程序。

4.1 六邊形稀疏天線陣優(yōu)化

本文采用FFT計(jì)算六邊形天線陣列方向圖，由于FFT計(jì)算的快速性，大大縮小了適應(yīng)度的評估時間，峰值副瓣電平在所有φ平面進(jìn)行采樣計(jì)算，適應(yīng)度函數(shù)定義為

式中，S表示副瓣區(qū)域，F(xiàn)Fmax是主瓣的峰值。

圖2給出了取整策略DE算法最好、最差單次和10次平均收斂曲線。最好陣列的單元數(shù)T=607，方向性系數(shù) D=32.8 dB，φ =0°面的 PSLL=－28.2 dB，φ =90°面的 PSLL=－28.9.3 dB，如表2 所示，在全 φ面內(nèi)的PSLL=－28.2 dB。與文獻(xiàn)[2］中運(yùn)用遺傳算法對相同的陣列進(jìn)行優(yōu)化相比PSLL改善了6 dB，單元數(shù)增加了90個，最大方向性系數(shù)增加了1.4 dB，其主瓣和副瓣都得到了改善。最差陣列在全φ面的PSLL相對文獻(xiàn)[2］也改善了4.5 dB。

圖2 DE算法收斂曲線Fig.2 Convergence of optimization DE algorithm

表2 優(yōu)化結(jié)果與文獻(xiàn)[2］遺傳算法對比Table 2 Comparison of of optimization results between DE and GA

圖3給出了最好陣列天線陣的遠(yuǎn)場方向圖，其中圖3(a)為遠(yuǎn)場方向三維方向圖，圖3(b)是φ=0°和φ=90°兩個截面的方向圖。優(yōu)化得到的最好六邊形稀疏陣列如圖4所示，陣列中心單元密集，邊緣單元排布比較稀疏，符合稀疏陣列優(yōu)化的一般規(guī)律。

圖3 最好陣列的遠(yuǎn)場方向圖Fig.3 Far field pattern of the best array

圖4 六邊形稀疏陣列單元分布圖Fig.4 Elements distribution in aperture

4.2 六邊形稀疏天線陣掃描優(yōu)化

本小節(jié)應(yīng)用DE算法同樣對文獻(xiàn)[2］中有1027個單元的掃描六邊形稀疏天線陣進(jìn)行優(yōu)化處理，要求陣列在60°的圓錐空域進(jìn)行掃描，則適應(yīng)度函數(shù)選取為(φ =0°，θ=0°)、(φ =0°，θ=60°)和(φ =90°，θ=60°)3個波位全 φ平面內(nèi)的 PSLL。圖5給出了DE算法最好、最差單次和10次平均收斂曲線。最好稀疏六邊形天線陣激勵單元數(shù)T=679，在60°掃描范圍內(nèi) PSLL=－25.93 dB。與文獻(xiàn)[2］相比PSLL改善了5.1 dB，有源單元數(shù)增加了71個，掃描范圍內(nèi)的方向性系數(shù)改善0.3～0.6 dB，最好結(jié)果與文獻(xiàn)[2］采用遺傳算法詳細(xì)參數(shù)對比如表3所示。圖6為掃描時最好陣列在θ=0°和θ=60°的截面方向圖，最好陣列的單元分布圖如圖7所示。

圖5 陣列掃描DE算法收斂曲線Fig.5 Convergence of DE algorithm in scan

表3 掃描陣列最好結(jié)果與文獻(xiàn)[2］遺傳算法對比Table 3 Comparison of scan results between DE and GA

圖6 最好陣掃描0°和60°的兩個截面方向圖Fig.6 Pattern of best array with scanning at 0°and 60°

圖7 掃描六邊形稀疏陣列最好單元分布圖Fig.7 Elements distribution in aperture with scan

5 結(jié)束語

標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法只能處理連續(xù)空間的優(yōu)化問題，無法直接應(yīng)用于離散優(yōu)化問題。為了使DE算法能夠應(yīng)用于離散優(yōu)化問題，本文提出了一種基于取整策略的DE算法，只需在適應(yīng)度函數(shù)的計(jì)算過程對目標(biāo)向量進(jìn)行取整，使得標(biāo)準(zhǔn)DE算法可以應(yīng)用于稀疏陣列方向圖優(yōu)化。利用取整策略的DE算法對六邊形陣列天線進(jìn)行優(yōu)化稀疏布陣處理，為了快速計(jì)算六邊形陣列的輻射場，通過在陣列中添加虛擬單元的方式，從而能夠利用FFT快速地計(jì)算三角排布陣列的輻射方向圖。以改善六邊形陣列的峰值副瓣電平為目的，取得了比遺傳算法更優(yōu)的結(jié)果，且該方法使計(jì)算量成倍減少，也可進(jìn)一步用于解決其他種類的矩形陣和三角陣平面陣列天線的稀疏布陣優(yōu)化，因而具有很好的工程實(shí)用價(jià)值。

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