董晨 吳保國 韓焱云 劉建成

(北京林業(yè)大學(xué)，北京，100083)

責(zé)任編輯:王廣建。

樹冠是林木進行光合作用的主要場所。樹冠的大小成為衡量林木生長健康與否的重要指標，反映樹冠大小的指標非常多，最常用的指標仍然是冠幅［1］。冠幅模型是建立樹冠冠幅與冠長、枝下高等樹冠屬性及林分其他因子之間關(guān)系的函數(shù)。國內(nèi)外學(xué)者對單木冠幅模型已有大量研究，構(gòu)建單木冠幅模型的方法很多，其中以線性回歸模型居多。Curtis等［2］首次用線性回歸法，構(gòu)建了以直徑、樹高和立地等級為變量的黃衫冠幅生長模型，線性回歸法在冠幅模型的構(gòu)建上得到了廣泛的應(yīng)用［3－4］。在我國，雷相東等［5］構(gòu)建了長白落葉松等9個樹種的冠幅多元回歸模型;周元滿等［6］建立了桉樹冠幅階躍函數(shù)模型，該模型較好地解決分段擬合模型在變點上的不連續(xù)問題，其應(yīng)用效果優(yōu)于一般回歸模型;劉平等［7］采用一元和多元線性回歸法構(gòu)建低山側(cè)柏的單木冠幅模型;覃陽平等［8］建立了與距離有關(guān)的競爭指數(shù)、樹高和胸徑的冠幅線性回歸模型。采用線性回歸法構(gòu)建模型雖然計算簡便，但假設(shè)條件多、自變量之間存在共線性及異相關(guān)等局限性［9］。相比之下，非線性模型由于其變量組合形式的多樣化，在模型的表達上具有更大的探索空間。近年來，研究者更多地運用非線性回歸方法構(gòu)建冠幅模型，如Ritchie等［10］采用非線性三階段最小二乘法構(gòu)建幼齡黃衫的冠幅生長方程，模型表達了冠幅增長量與冠幅面積和樹高增長的關(guān)系;Ledermann［11］構(gòu)建了云杉的非線性冠幅枯損模型;符利勇等［12］以立地指數(shù)和樣地因子作為水平因子，建立了非線性混合單木冠幅模型。若采用單一的非線性理論或經(jīng)驗方程進行方程擬合，模型自變量選取復(fù)雜;混合模型盡管可以自由選擇自變量，模型精度較高，但模型的構(gòu)建過程復(fù)雜。

在諸多的非線性回歸方程中，修正方程以修正變量和基礎(chǔ)模型組合的形式存在，基礎(chǔ)模型根據(jù)因變量的屬性而制定，修正變量的加入能夠盡量縮小理論模型與實際結(jié)構(gòu)之間的誤差，且修正模型直觀易懂，應(yīng)用方便。本文以冠幅的潛在生長量為基礎(chǔ)模型，以林分密度、地位指數(shù)、林木競爭指數(shù)及林木直徑為修正變量，構(gòu)建杉木人工林單木冠幅模型，并與線性回歸模型的擬合優(yōu)度進行對比分析。

1 研究區(qū)概況

順昌縣位于福建省的西北部，地理坐標為117°30'～118°14'E，2635'～27゜12'N。該地區(qū)屬中亞熱帶海洋性季風(fēng)氣候，年平均氣溫為18．9℃，1月平均氣溫為7．8℃，7月平均氣溫為28．1℃。地形以低山丘陵為主，海拔300～500 m。氣候溫和，雨量充沛，年降水量1 600～1 800 mm。土壤深厚、濕潤、肥沃。森林覆蓋率75．6%，屬于福建省重點林區(qū)。主要用材樹種有:杉木(Cunninghamia lanceolata)、馬尾松(Pinus massoniana)、黃山松(Pinus taiwanensis Hayata)、巨尾桉(Eucalyptus grandis)、柳杉(Cryptomeria fortunei Hooibrenk)、側(cè)柏(Platycladus orientalis)、刺槐(Robinia pseudoacacia)、毛竹(Phyllostachys heterocycla)、銀樺(Grevillea robusta)等。

2 材料與方法

2．1 數(shù)據(jù)來源

實驗地點設(shè)置于福建省順昌縣嵐下鄉(xiāng)林場。根據(jù)不同林齡和密度選取50塊大小為30 m×30 m杉木人工純林樣地，使用圍尺和激光測高儀分別測量樣地中每株樹木的胸徑(D)和樹高(H);在每塊樣地選擇5～7株樹冠生長較對稱的林木作為標準木，選擇2～3株樹高長勢良好，并且與周圍樹木競爭較小的林木作為優(yōu)勢木，借助皮尺和塔尺分別測量標準木和優(yōu)勢木的東西冠幅和南北冠幅。胸徑測量的精度為0．1 cm，其他變量的精度為0．1 m，將東西冠幅和南北冠幅的平均數(shù)作為冠幅數(shù)據(jù)。同時記錄每塊樣地的平均胸徑、平均樹高和林分密度。所采集的數(shù)據(jù)中，根據(jù)不同樹齡、密度及立地條件，選擇其中的227株杉木數(shù)據(jù)用于模型擬合，78株用于模型檢驗。模型擬合和檢驗的數(shù)據(jù)匯總見表1。

表1 模型擬合與檢驗數(shù)據(jù)匯總

2．2 研究方法

樹冠的生長與林木直徑生長類似，在周圍沒有競爭的前提下，樹冠能夠在林木生理所限定的范圍內(nèi)自由生長。但林分內(nèi)絕大多數(shù)林木，由于林木間的相互競爭，林木的實際生長量小于潛在生長量，減小的程度與林分密度及林木之間的競爭程度有關(guān);同時，樹冠的生長還與立地條件以及其他林分因子相關(guān)。本研究以冠幅各個方向長度一致為假設(shè)前提，以反映冠幅潛在生長的冠幅－樹齡函數(shù)作為基礎(chǔ)模型，以胸徑生長函數(shù)、地位指數(shù)、林分密度及競爭指數(shù)作為修正變量，對模型進行修正。杉木人工林單木冠幅表達式為:

其中:CW代表冠幅，F(xiàn)(CW0)代表樹冠潛在生長方程，YCW代表誤差函數(shù)，φ1、φ2、φ3、…分別代表修正變量。

在模型的擬合中，根據(jù)決定系數(shù)(R2)最大和均方殘差(MSE)最小來判斷最優(yōu)的擬合函數(shù)。

在評價方程的擬合效果時，采用平均系統(tǒng)誤差(B)、均方根誤差(RMSE)和相對均方根誤差(RRMSE)指標來檢驗擬合效果，各項檢驗指標如公式3～5所示。此外，在數(shù)據(jù)擬合之前，使用箱形圖剔除兩倍標準差之外的異常數(shù)據(jù)。

其中:n為樣本數(shù)，Yi為參與檢驗的冠幅實際值，Yi為冠幅預(yù)測值。

3 結(jié)果與分析

3．1 冠幅潛在生長方程

由于實際調(diào)查中的疏開木不易確定，因此，在本研究中，以優(yōu)勢木的冠幅生長過程代替疏開木的生長過程，采用最常見的7個經(jīng)驗方程以及Logistic、Mitscherlich、Comperts、Korf和Richards五個理論方程對36塊樣地的108株不同樹齡、冠幅長勢良好的優(yōu)勢木進行擬合，建立冠幅－樹齡的函數(shù)(見表2)。

表2 冠幅潛在生長方程擬合結(jié)果

在顯著性檢驗統(tǒng)計量F的sig值均小于0．05的前提下，在12個模型中，得到冪函數(shù)的相關(guān)系數(shù)R2最大(0．783)，均方殘差最小(0．331)。因此，采用冪函數(shù)作為修正函數(shù)的基礎(chǔ)模型。

3．2 修正函數(shù)的建立

建立修正函數(shù)首先要選擇修正變量來構(gòu)造誤差函數(shù)，研究中以地位指數(shù)、林分密度、競爭指數(shù)和直徑作為修正變量。

地位指數(shù)。立地條件對林分的生長收獲具有重要的影響，通常采用地位指數(shù)或者地位級來判斷林地的立地條件。對于人工林而言，林地會受到間伐、補植等人為因素的干擾，林分條件平均高會因此受影響，從而影響有林地立地條件的判斷。而優(yōu)勢木的生長受人為干擾因素較少，因此，本研究選擇地位指數(shù)作為立地條件的判定指標。

構(gòu)建有林地地位指數(shù)的方法有導(dǎo)向曲線法、代數(shù)差分法，廣義代數(shù)差分法等［13］，本研究使用代數(shù)差分法構(gòu)建地位指數(shù)模型。選擇Richards、Mitscherlich、Korf、Logistic和Compertz 5類理論生長方程作為基礎(chǔ)模型，對于各類曲線中的參數(shù)a、b、c，以參數(shù)b作為消元參數(shù)，保留參數(shù)a、c。差分消元后，得到5個2參數(shù)的差分方程。采用研究區(qū)的每個樣地平均優(yōu)勢木－樹齡數(shù)據(jù)，平均分成兩組進行方程擬合，選擇其中一組數(shù)據(jù)，將其優(yōu)勢木的樹高作為地位指數(shù)，樹齡為杉木基準樹齡20。

研究采用SPSS17．0，選取50塊樣地中的100株優(yōu)勢木作為研究對象，經(jīng)擬合和檢驗，發(fā)現(xiàn)由Richards方程轉(zhuǎn)化而成的差分方程，在眾模型中得到的決定系數(shù)最高、均方殘差最小。其具體的模型表達如公式7所示。

其中，IS為地位指數(shù);t為任意時刻的優(yōu)勢木樹齡;H為樹齡t時對應(yīng)的優(yōu)勢木高。

林分密度。樹冠的生長與密度息息相關(guān)，衡量林分密度的指標很多，從便于林業(yè)生產(chǎn)實際應(yīng)用出發(fā)，擬從每公頃株數(shù)(N)和相對植距(RS)兩個林分密度測度中，選擇一個與冠幅生長關(guān)系最為密切的指標作為林分密度指標。相對植距的是林分中林木的空間的開方與優(yōu)勢木高的除數(shù)。

其中:N為林分的密度;H0為優(yōu)勢木高。

在N和RS兩個變量中，分別對其與冠幅數(shù)值進行Pearson相關(guān)性分析，挑選出相關(guān)系數(shù)最大的變量作為密度修正變量。由表3可知，N與冠幅的相關(guān)系數(shù)為－0．745，大于RS與冠幅的相關(guān)系數(shù)，因此，將N作為密度修正變量。

競爭指數(shù)。林分密度只能反映林分內(nèi)每株林木平均占有的空間，但未考慮不同大小的林木占有不同的空間，而導(dǎo)致林木間的競爭關(guān)系也不同的問題［14］，冠幅的生長也受到競爭指數(shù)的影響。一個好的競爭指數(shù)，不僅應(yīng)與林木生長關(guān)系密切，有一定的理論依據(jù)，還應(yīng)該形式簡單直觀，測算容易，應(yīng)用方便［15］。在實際操作中，由于與距離有關(guān)的競爭指數(shù)測量困難且計算復(fù)雜，研究表明，與距離無關(guān)的競爭指數(shù)，在方程的擬合中，優(yōu)度不亞于前者［16－17］。根據(jù)上述原則，本文選擇相對直徑、相對樹高和樹高直徑比作為與距離無關(guān)的單木競爭指標，3個指標的具體表達可見公式(9)～(11)。

其中:RDi為相對直徑;RHi為相對樹高;RHDi為樹高直徑比;di為林分中各林木的胸徑;hi為林分中各林木的樹高;H0為林分優(yōu)勢木高;Dg為斷面積平均胸徑;Di為單株木相對直徑競爭水平。

分別對各指標與冠幅數(shù)值進行Pearson相關(guān)性分析，挑選出相關(guān)系數(shù)最大的變量作為競爭指數(shù)修正變量。由表3得RD與冠幅的相關(guān)系數(shù)最大，為0．790，故將RD作為競爭指數(shù)的修正變量。

表3 各指標與冠幅的Pearson相關(guān)性

其他修正變量。除了地位指數(shù)、林分密度及競爭指數(shù)以外，冠幅的生長還受林分因子的影響。利用多元線性回歸中的逐步回歸法剔除變量，其原理是當一個變量的F統(tǒng)計量概率雙側(cè)檢驗的顯著性水平≤0．05時，則引入該變量;當顯著性水平≥0．10時，則剔除變量。為消除共線性，病態(tài)指數(shù)大于15或者容許度小于0．5的變量也排除在外。對37塊樣地的227株的杉木數(shù)據(jù)(胸徑、樹高、枝下高、樹冠比)進行逐步回歸分析，按照上述原則，被納入的變量有地位指數(shù)、林分密度、競爭指數(shù)及胸徑被選入作為修正變量。

根據(jù)不同形式的理論和經(jīng)驗方程，對227株杉木的胸徑數(shù)據(jù)進行擬合，得到?jīng)Q定系數(shù)R2最高的方程。

其中:D為平均胸徑;t為林齡。

修正變量構(gòu)造的誤差函數(shù)YCW應(yīng)該滿足以下性質(zhì):

隨著IS的增加，單株樹木的優(yōu)勢木越高，樹木長勢越好，CW會隨之增加，修正函數(shù)CW為IS的增函數(shù);林分密度越高，樹木競爭越激烈，冠幅生長受阻，因此，密度是CW的減函數(shù);競爭指數(shù)越高，單木較平均木而言長勢良好，相應(yīng)的生長空間越大，CW為RD的增函數(shù);林木直徑與冠幅呈現(xiàn)顯著的正相關(guān)性，CW為直徑的增函數(shù)。

相關(guān)文獻［15，18］表明，誤差函數(shù)的構(gòu)建方式以指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的組合形式為最佳，因此，研究選擇通過指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)來組合誤差變量。每個修正變量都有兩種表達形式，4個變量的誤差函數(shù)則有16種表現(xiàn)方式。

結(jié)合已建立的冠幅潛在生長量函數(shù)，采用SPSS17．0，對37塊樣地的227株的杉木數(shù)據(jù)進行擬合，每類組合下的模型擬合結(jié)果見表4。由表4可知，1號組合的模型擬合效果最佳，其中系數(shù)α1=0．568，α2=－0．228，α3=1．085，α4=0．093，決定系數(shù)R2=0．876，MSE=0．081。則:

結(jié)合誤差函數(shù)，根據(jù)冠幅模型的表達式CW=CW0×YCW，即得出單木冠幅預(yù)測模型。

表4 誤差函數(shù)表達式

3．3 模型檢驗

根據(jù)所擬合的冠幅修正模型，對未參與建模的13塊樣地中的78株杉木數(shù)據(jù)進行計算，經(jīng)數(shù)據(jù)的整理和計算，在F雙側(cè)檢驗顯著水平P＜0．05的前提下，得到B=0．053，RMSE=0．241，RRMSE=12．0%，模型的預(yù)測誤差較小，因此，模型有一定的實用性。

為了進一步驗證模型的真實性，分別對三個模型進行殘差分析，分析結(jié)果如圖1所示。

圖中橫坐標為冠幅值，縱坐標為各個模型的標準化殘差值，由圖1可知，一元線性回歸的殘差有小部分值超出［－2，2］的區(qū)間，且對于誤差項方差為0的假設(shè)，其殘差分布與正態(tài)分布稍微有所偏差;多元線性回歸方程的殘差分布盡管符合正態(tài)分布，但仍有部分殘差值小于－2;而修正模型的殘差分布既符合回歸分布原則，其殘差值都在［－2，2］的區(qū)間，殘差值更加緊湊。因此，進而說明采用修正模型擬合杉木的單木冠幅具有優(yōu)越性。

圖1 模型殘差分布

4 結(jié)論與討論

在構(gòu)建樹冠單木模型時，多數(shù)使用的是一元模型或多元線性回歸模型［19－21］。而本研究中采用修正法擬合的模型的決定系數(shù)為0．876，說明修正模型與線性模型相比，在精度上大大提高。

修正模型的構(gòu)建中，修正變量的選擇十分重要。根據(jù)經(jīng)驗以及數(shù)據(jù)的相關(guān)性分析，發(fā)現(xiàn)冠幅的生長與林分密度、地位指數(shù)、競爭指數(shù)和胸徑呈現(xiàn)明顯的相關(guān)性，因此，選擇上述指標作為修正變量。但是不同樹種存在不一致的生長特性，或者同一樹種在不同的環(huán)境下，會獲得不同的量測數(shù)據(jù)，從而導(dǎo)致冠幅生長與林分因子相關(guān)性的不一致，因此，修正變量的選擇要根據(jù)數(shù)據(jù)的實際情況考慮。

本研究所構(gòu)建的修正模型，盡管在精度上較線性回歸模型有所提高?？紤]到模型的推廣應(yīng)用，雖然樹高、枝下高、冠長比等因子與冠幅也存在顯著的相關(guān)性，但未將其作為修正因子，也未考慮經(jīng)營作業(yè)對樹冠生長的影響。因此，如何綜合與冠幅生長相關(guān)的各種因子，構(gòu)造更準確的冠幅模型，仍需要進一步的研究。

［1］Miguel G C，Martin E A，Ronald H W．Development and testing of models for predicting crown fire rate of spread in conifer forest stands［J］．Canadian Journal of Forest Research，2005，35(7):1626－1639．

［2］Curtis R O，Reukema D L．Crown development and site estimates in a Douglas-fir plantation spacing test［J］．Forest Science，1970，16(3):287－301．

［3］Bechtold W A．Largest crown-width prediction models for 53 species in the western United States［J］．Western Journal of Applied Forestry，2004，19(4):245－251．

［4］Russell M B，Weiskittel A R．Maximum and largest crown width equations for 15 tree species in Maine［J］．North JAppl For，2011，28(2):84－91．

［5］雷相東，張則路，陳曉光．長白落葉松等幾個樹種冠幅預(yù)測模型的研究［J］．北京林業(yè)大學(xué)學(xué)報，2006，28(6):75－79．

［6］周元滿，謝正生，劉素青，等．短輪伐期桉樹林分樹冠生長的階躍函數(shù)模型［J］．南京林業(yè)大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2006，30(2):59－62．

［7］劉平，王玉濤，馬履一．低山側(cè)柏人工林單木冠幅預(yù)測模型及精度評價［J］．林業(yè)資源管理，2014(2):52－58．

［8］覃陽平，張懷清，陳永富，等．基于簡單競爭指數(shù)的杉木人工林樹冠形狀模擬［J］．林業(yè)科學(xué)研究，2014，27(3):363－366．

［9］Uzoh F CC，Oliver WW．Individual tree diameter increment model for managed even-aged stands of ponderosa pine throughout the western United States using a multilevel linear mixed effects model［J］．Forest Ecology and Management，2008，256(3):438－445．

［10］Ritchie M W，Hamann J D．Individual-tree height-，diameterand crown-width increment equations for young Douglas-fir plantations［J］．New Forests，2008，35(3):173－186．

［11］Ledermann T．A non-linear model to predict crown recession of Norway spruce(Picea abies［L．］Karst．)in Austria［J］．European Journal of Forest Research，2011，130(4):521－531．

［12］符利勇，孫華．基于混合效應(yīng)模型的杉木單木冠幅預(yù)測模型［J］．林業(yè)科學(xué)，2013，49(8):65－74．

［13］郭艷榮，吳保國，劉洋，等．立地質(zhì)量評價研究進展［J］．世界林業(yè)研究，2012，25(5):47－52．

［14］孟憲宇．測樹學(xué)［M］．3版．北京:中國林業(yè)出版社，2006:118．

［15］孟憲宇，張弘．閩北杉木人工林單木模型［J］．北京林業(yè)大學(xué)學(xué)報，1996，18(2):1－8．

［16］劉微，李鳳日．落葉松人工林與距離無關(guān)的單木生長模型［J］．東北林業(yè)大學(xué)學(xué)報，2010，38(5):24－27．

［17］劉強，李鳳日，董利虎．基于樹冠競爭因子的落葉松人工林單木生長模型［J］．植物研究，2014，34(4):547－553．

［18］劉洋，亢新剛，郭艷榮，等．長白山主要樹種直徑生長的多元回歸預(yù)測模型:以云杉為例［J］．東北林業(yè)大學(xué)學(xué)報，2012，40(2):1－4．

［19］Grote R．Estimation of crown radii and crown projection area from stem size and tree position［J］．Annals of Forest Science，2003，60(5):393－402．

［20］田曉筠．林木直徑與冠幅的灰色模型及應(yīng)用［J］．科技資訊，2008(25):86．

［21］韋雪花，王佳，馮仲科．北京市13個常見樹種胸徑估測研究［J］．北京林業(yè)大學(xué)學(xué)報，2013，35(5):56－63．