白晉彥

(晉中學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,山西 晉中 030600)

一維非散度橢圓方程解的二階導(dǎo)數(shù)的高階可積性

白晉彥

(晉中學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,山西 晉中 030600)

一維;非散度橢圓方程;低階項(xiàng);高階可積性

0 引言

很多學(xué)者已經(jīng)對橢圓方程解的高階可積性問題進(jìn)行了研究.Companato在文[1]中建立了解的二階導(dǎo)數(shù)的高階可積性,同樣的方法被運(yùn)用到散度橢圓方程后得到同樣的結(jié)果[2].M.Franciosi和G.Moscariello在文[3]中,證明了如果函數(shù)f滿足反向積分不等式, 那么非增重排函數(shù)f滿足同樣的不等式, 并且作為反向積分不等式的應(yīng)用, 在一維情況下給出了高階可積性的簡單證明.T.Radice對不帶低階項(xiàng)的非散度橢圓方程解的二階導(dǎo)數(shù)的高階可積性進(jìn)行了研究[4].本文的主要目的是對一維情況下的帶低階項(xiàng)的非散度橢圓方程低階項(xiàng)系數(shù)做了處理,得出了帶低階項(xiàng)的非散度橢圓方程解得二階導(dǎo)數(shù)的高階可積性結(jié)果.

考慮算子

(1)

這里主要研究方程

(2)

解的二階導(dǎo)數(shù)的高階可積性.假設(shè)系數(shù)滿足下面的條件:

(H1) 1≤a(x)≤K.

(3)

(4)

(5)

本文的主要結(jié)論是:

(6)

這里2I與I是同一中心,并且長是I的兩倍.

下邊的L2估計(jì)是證明定理1的核心.

(7)

這里|uxx|∈L2(Ω)并且h∈L2(Ω).

這里常數(shù)C≥0依賴于對我們的研究無關(guān)緊要的常數(shù), 文中出現(xiàn)的C可能不是同一個(gè)常數(shù).

1 預(yù)備知識

引理1[4]設(shè)u∈W2,2(Ω), 對任意的ε>0, 我們有

上述引理可根據(jù)文獻(xiàn)[4]中的方法很容易驗(yàn)證.

引理4(高階Poincaré不等式,見[6]) 若u∈W2,s(Ω),則

引理5(反向H?ider不等式,見[5])設(shè)Ω是R中的有界開集,g∈Lq(Ω),q>1, 若對任意區(qū)間I?2I??Ω,

以上引理均可根據(jù)文獻(xiàn)中的方法類似推廣到一維情形,容易驗(yàn)證結(jié)論仍然成立.

2 定理2的證明

根據(jù)假設(shè)(H1)以及方程(2),我們有

不等式兩邊同時(shí)在Ω上積分,并利用H?lder不等式,則有

即

所以,

運(yùn)用插值不等式,可得

故

即

3 定理1的證明

(8)

根據(jù)定理2和假設(shè)(H1),有

由于

即

(9)

注意到v=φu,那么

并且有

(10)

聯(lián)立(9)和(10)即得

記η=|φx|,運(yùn)用引理3和|ηx|=|φxx|,我們有

令φ=ψ2則

因此有

利用不等式(a+b)2≤2(a2+b2)我們得到

定理證明:

用此處的ψ代入(8),得到

即

運(yùn)用高階Poincaré不等式

據(jù)反向H?ider不等式得

[1] CAMPANATO S.Un risultato relativeo ad equazioni ellittiche del secondo ordine di tipo non variazionale[J].Ann.Scuola Norm.Sup.Pisa,1967,21(4):701-707

[2] MEYERS N G. AnLpestimate for the gradient of solutions of second order elliptic divergence equations[J].Ann.Sc.Norm.Sup.Pisa,1963,17(3):189-206

[3] FRANCIOSI M,Moscariello G.Higher integrability results[J].Manuscripta Math.,1985,52(1-3):151-170

[4] RADICE T. A higher integrability result for nondivergence elliptic equations[J].Annali di Matematica,2008,187(1):93-103

[5] WU Z Q,YI J X,WANG C P.An introduction to elliptic and parabolic equations[M].Beijing:Science Press,2003:12-16

[6] COHN W S,LU G Z,WANG P Y.Sub-elliptic global high order poincaré inequalities in stratified Lie groups and applications[J].Journal of Functional Analysis,2007,249(2):393-424

[7] AUBIN J P.Applied functional analysis[M].Paris:University of Paris-Dauphine,1979:153

Higher Integrability Result for Solutions to Nondivergence Elliptic Equations in the One Dimensional

BAI Jinyan

(Mathematics School of Jinzhong University,Jinzhong 030600, China)

onedimensional;nondivergenceellipticequation;loworderterms;higherintegrability

2015-10-16

白晉彥(1987-)，女,山西朔州人,碩士,晉中學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院助教,主要從事偏微分方程的研究.

1672-2027(2015)04-0008-04

O175.25

A