郭尊光, 李 燦

(太原工業(yè)學院 理學系,山西 太原 030008)

美式看跌期權定價的隱式差分格式

郭尊光, 李 燦

(太原工業(yè)學院 理學系,山西 太原 030008)

文章研究美式看跌期權的定價問題．通過對美式看跌期權定價滿足的變分不等式離散化,設定邊界條件,建立隱式差分格式并將其轉化為矩陣方程,通過MATLAB編程求解矩陣方程,給出數值算例,驗證了算法的有效性．

美式看跌期權;隱式差分格式;數值實驗

0 引言

期權理論的核心問題是期權定價問題．對于標準的歐式期權,已有Blakc-Sholes方程得到解析形式的定價公式[1]．對于美式支付紅利的看漲期權,或者美式看跌期權并不存在這樣的解析公式,也無法求出精確解.美式期權可以提前實施,擁有更多的獲利機會,應用更為廣泛,研究美式期權定價模型的數值方法更具有實際意義．關于美式期權定價問題數值方法研究已有很多,例如有限元法[2],移動邊界法[3],有限體積九點格式法[4],懲罰函數法[5]等．

美式期權定價模型最終歸結為一個自由邊界問題,本文對不支付紅利的美式看跌期權模型進行研究,將符合美式看跌期權定價的變分不等式進行離散化,構造求解期權定價的隱式差分格式,并進行數值實驗．

1 隱式差分格式的建立

假設S為原生資產,st為t時刻原生資產的價格,K為敲定價格;V(s，t)為美式看跌期權定價,T為到期日,r為無風險利率,σ為波動率,不考慮紅利的情況下,美式看跌期權的定價滿足變分不等式模型[6]:

(1)

(2)

為了求解模型(2),首先需加兩條邊界:{x=-N1,0≤t≤T}和{x=N2,0≤t≤T},當N1,N2充分大時,兩條邊界上相應邊界條件為:v(-N1,t)=φ(-N1)(其中φ(x)=(1-ex)+)和v(N2，t)=0.從而在區(qū)域{-N1≤x≤N2，0≤t≤T}上,v(x，t)適合變分不等式方程:

(3)

對區(qū)域{-N1≤x≤N2,0≤t≤T}剖分:v≥φ(x)

可得(3)式的離散差分格式:

(4)

把(4)式寫成矩陣方程形式:

(5)

定理 矩陣形式變分不等式方程(5)存在唯一解Vn∈R1(l=n1+n2-1)[6].

2 數值算例

考慮對美式看跌期權定價問題進行模擬,取K=10,T=1,r=0.15,σ=0.4,n1=n2=200,N=400模擬效果如下:

圖1 最優(yōu)實施邊界

取K=15,T=1,r=0.10,σ=0.6,n1=n2=100,N=200模擬效果如下:

通過兩組數值試驗,得到了光滑的最優(yōu)實施邊界曲線(圖1a和圖1b),符合美式看跌期權定價的最優(yōu)實施邊界的性質．將期權生存區(qū)域離散成不同大小的網格,對美式看跌期權價格繪制成三維圖(圖2a和圖2b),結果更為直觀,通過數值算例驗證本文方法可以有效計算美式看跌期權定價問題．

[1] BLACK F,SCHOLES M.The pricing of options and corporate liabilities[J].The Journal of Political Economy,1973,81(3):637-654

[2] HOLMES A D,YANG H.A front-fixing finite element method for the valuation of American options[J].SIAM journal on scientific computing,2008,30(4):2158

[3] KHALIQ A Q M,VOSS D A,KAZMI K.Adaptive θ-methods for pricing American options[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2008,222(1):210-227

[4] 孫 鵬,張 蕾,趙衛(wèi)東.美式期權定價問題的一類有限體積數值模擬方法[J],山東大學學報(理學版),2007,42(6):1-7

[5] MUTHURAMAN K.A moving boundary approach to American option pricing[J].Journal of Economic Dynamics and Control,2008,32(11):3520-3537

[6] 姜禮尚.期權定價的數學模型和方法[M].2版.北京：高等教育出版社,2008

Implicit Difference Scheme of American Put OptionPricing

GUO Zunguang， LI Can

(Department of Science, Taiyuan Institute of Technology,Taiyuan 030008, China)

The American put options pricing problem will be studied. By discretizing the Variational inequality derived of American put options pricing, we set the boundary condition and established the implicit difference scheme which is transformed to the Matrix equation. Matrix equation is solved by MATLAB program, calculation samples is presented, and the validity of the algorithm is verified.

American put option； implicit difference scheme； numerical experiment

2015-10-14

郭尊光(1978-)，男，山東單縣人，碩士，太原工業(yè)學院理學系講師，主要從事應用教學研究.

1672-2027(2015)04-0001-03

O241.82

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