郭尊光, 李 燦

(太原工業(yè)學(xué)院 理學(xué)系,山西 太原 030008)

美式看跌期權(quán)定價(jià)的隱式差分格式

郭尊光, 李 燦

(太原工業(yè)學(xué)院 理學(xué)系,山西 太原 030008)

文章研究美式看跌期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題．通過(guò)對(duì)美式看跌期權(quán)定價(jià)滿足的變分不等式離散化,設(shè)定邊界條件,建立隱式差分格式并將其轉(zhuǎn)化為矩陣方程,通過(guò)MATLAB編程求解矩陣方程,給出數(shù)值算例,驗(yàn)證了算法的有效性．

美式看跌期權(quán);隱式差分格式;數(shù)值實(shí)驗(yàn)

0 引言

期權(quán)理論的核心問(wèn)題是期權(quán)定價(jià)問(wèn)題．對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)的歐式期權(quán),已有Blakc-Sholes方程得到解析形式的定價(jià)公式[1]．對(duì)于美式支付紅利的看漲期權(quán),或者美式看跌期權(quán)并不存在這樣的解析公式,也無(wú)法求出精確解.美式期權(quán)可以提前實(shí)施,擁有更多的獲利機(jī)會(huì),應(yīng)用更為廣泛,研究美式期權(quán)定價(jià)模型的數(shù)值方法更具有實(shí)際意義．關(guān)于美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題數(shù)值方法研究已有很多,例如有限元法[2],移動(dòng)邊界法[3],有限體積九點(diǎn)格式法[4],懲罰函數(shù)法[5]等．

美式期權(quán)定價(jià)模型最終歸結(jié)為一個(gè)自由邊界問(wèn)題,本文對(duì)不支付紅利的美式看跌期權(quán)模型進(jìn)行研究,將符合美式看跌期權(quán)定價(jià)的變分不等式進(jìn)行離散化,構(gòu)造求解期權(quán)定價(jià)的隱式差分格式,并進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)．

1 隱式差分格式的建立

假設(shè)S為原生資產(chǎn),st為t時(shí)刻原生資產(chǎn)的價(jià)格,K為敲定價(jià)格;V(s，t)為美式看跌期權(quán)定價(jià),T為到期日,r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率,σ為波動(dòng)率,不考慮紅利的情況下,美式看跌期權(quán)的定價(jià)滿足變分不等式模型[6]:

(1)

(2)

為了求解模型(2),首先需加兩條邊界:{x=-N1,0≤t≤T}和{x=N2,0≤t≤T},當(dāng)N1,N2充分大時(shí),兩條邊界上相應(yīng)邊界條件為:v(-N1,t)=φ(-N1)(其中φ(x)=(1-ex)+)和v(N2，t)=0.從而在區(qū)域{-N1≤x≤N2，0≤t≤T}上,v(x，t)適合變分不等式方程:

(3)

對(duì)區(qū)域{-N1≤x≤N2,0≤t≤T}剖分:v≥φ(x)

可得(3)式的離散差分格式:

(4)

把(4)式寫(xiě)成矩陣方程形式:

(5)

定理 矩陣形式變分不等式方程(5)存在唯一解Vn∈R1(l=n1+n2-1)[6].

2 數(shù)值算例

考慮對(duì)美式看跌期權(quán)定價(jià)問(wèn)題進(jìn)行模擬,取K=10,T=1,r=0.15,σ=0.4,n1=n2=200,N=400模擬效果如下:

圖1 最優(yōu)實(shí)施邊界

取K=15,T=1,r=0.10,σ=0.6,n1=n2=100,N=200模擬效果如下:

通過(guò)兩組數(shù)值試驗(yàn),得到了光滑的最優(yōu)實(shí)施邊界曲線(圖1a和圖1b),符合美式看跌期權(quán)定價(jià)的最優(yōu)實(shí)施邊界的性質(zhì)．將期權(quán)生存區(qū)域離散成不同大小的網(wǎng)格,對(duì)美式看跌期權(quán)價(jià)格繪制成三維圖(圖2a和圖2b),結(jié)果更為直觀,通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證本文方法可以有效計(jì)算美式看跌期權(quán)定價(jià)問(wèn)題．

[1] BLACK F,SCHOLES M.The pricing of options and corporate liabilities[J].The Journal of Political Economy,1973,81(3):637-654

[2] HOLMES A D,YANG H.A front-fixing finite element method for the valuation of American options[J].SIAM journal on scientific computing,2008,30(4):2158

[3] KHALIQ A Q M,VOSS D A,KAZMI K.Adaptive θ-methods for pricing American options[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2008,222(1):210-227

[4] 孫 鵬,張 蕾,趙衛(wèi)東.美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題的一類(lèi)有限體積數(shù)值模擬方法[J],山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2007,42(6):1-7

[5] MUTHURAMAN K.A moving boundary approach to American option pricing[J].Journal of Economic Dynamics and Control,2008,32(11):3520-3537

[6] 姜禮尚.期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型和方法[M].2版.北京：高等教育出版社,2008

Implicit Difference Scheme of American Put OptionPricing

GUO Zunguang， LI Can

(Department of Science, Taiyuan Institute of Technology,Taiyuan 030008, China)

The American put options pricing problem will be studied. By discretizing the Variational inequality derived of American put options pricing, we set the boundary condition and established the implicit difference scheme which is transformed to the Matrix equation. Matrix equation is solved by MATLAB program, calculation samples is presented, and the validity of the algorithm is verified.

American put option； implicit difference scheme； numerical experiment

2015-10-14

郭尊光(1978-)，男，山東單縣人，碩士，太原工業(yè)學(xué)院理學(xué)系講師，主要從事應(yīng)用教學(xué)研究.

1672-2027(2015)04-0001-03

O241.82

A