宗文鵬，李廣云，2，王 力，2，周陽林，2

直接地理參考中軌跡插值算法對精度影響的評估

宗文鵬1，李廣云1，2，王 力1，2，周陽林1，2

( 1．信息工程大學導航與空天目標工程學院，河南鄭州450052; 2．現(xiàn)代城市測繪國家測繪地理信息局重點實驗室，北京100000)

一、引言

誕生于20世紀90年代初的移動測量系統(tǒng)( mobile mapping system，MMS)是當今世界最尖端的測繪科技之一［1］，具有精度高、速度快、可實時獲取海量實景三維數(shù)據(jù)的特點，已在我國100多個數(shù)字城市信息化項目中得到成功應用。它代表著測繪與地理信息技術未來發(fā)展的一個重要方向［2］，將在地理空間數(shù)據(jù)采集與更新中發(fā)揮越來越大的作用［3］。MMS集成了定位定姿系統(tǒng)( position and orientation system，POS)、激光掃描儀及CCD相機等測量傳感器，搭載在各種移動平臺(汽車、火車、艦船等)上，可動態(tài)、實時獲取航跡周圍一定范圍內目標的地理信息數(shù)據(jù)［4］。其中，POS主要由全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)( GNSS)、慣性測量單元( IMU)組成，分別提供載體在空間的位置和姿態(tài)信息，用于將測量傳感器得到的結果直接轉換到大地坐標系或指定的測圖坐標系下，從而實現(xiàn)直接地理參考( direct geo-referencing，DG)。

攝影測量、遙感及掃描地圖等得到的影像數(shù)據(jù)或激光掃描儀掃描得到的點云數(shù)據(jù)在用于成圖或地理信息系統(tǒng)時，需要將其和真實的地理坐標進行匹配，即地理參考( Geo-referencing)。早期的地理參考通過地面控制點實現(xiàn)，稱為間接地理參考( indirect geo-referencing)。隨著衛(wèi)星導航定位的發(fā)展，GPS輔助空中三角測量成為航空攝影中新的地理參考手段［5］。慣性導航與GNSS組合導航的出現(xiàn)使得測量能夠在移動中直接實現(xiàn)數(shù)據(jù)的地理參考，稱為直接地理參考［6］。車載移動測量系統(tǒng)的DG是指將三維激光掃描儀得到的目標點的角度和距離信息(或點坐標)通過一系列的坐標轉換得到其地理坐標的過程。

POS系統(tǒng)中，GNSS接收機的頻率較低，一般為1 Hz，IMU的頻率相對較高，能達到上百赫茲，如Applanix公司的POS LV220為200 Hz，而隨著硬件技術的發(fā)展，激光掃描儀的采樣頻率迅速提高，目前可達幾百千赫茲，如Riegl的VQ-450二維激光掃描儀的采樣頻率達到550 kHz。在完成激光掃描儀時間同步后，可以得到激光掃描儀在每次采樣時對應的測量系統(tǒng)的時間，但無法直接獲得采樣瞬間對應的測量系統(tǒng)的位置和姿態(tài)信息，因此存在內插問題。因為位置姿態(tài)信息存在于POS系統(tǒng)輸出的軌跡數(shù)據(jù)中，故稱之為軌跡插值。

文獻［7—9］在分析移動測量系統(tǒng)誤差模型時，都提到了位置姿態(tài)內插誤差，但沒有具體給出不同插值方法間的比較及其軌跡內插結果對激光腳點定位精度影響的大小。本文利用車載移動測量系統(tǒng)獲取的實測數(shù)據(jù)，研究典型插值算法應用于軌跡數(shù)據(jù)插值的精度和效率，并根據(jù)車載移動測量系統(tǒng)整體誤差模型給出插值結果對系統(tǒng)定位精度的影響大小。

二、典型插值算法

常用的代數(shù)插值算法有很多，如線性插值、拋物插值、拉格朗日插值、牛頓插值、自然樣條插值等。

1．拉格朗日插值

n次插值問題，即求經過數(shù)據(jù)點( x0，y0)，( x1，y1)，…，( xn，yn)而次數(shù)不高于n的多項式，即

用構造n次插值基函數(shù)的方法，可得拉格朗日插值多項式為

式中，n=1、n=2時分別對應線性插值、拋物插值。

2．牛頓插值

增加一個節(jié)點時，拉格朗日插值多項式除了要增加一項外，原來的每一項都要改變;而牛頓插值通過差商來構造插值多項式，當增加一個節(jié)點時，只需在原來的插值多項式中增加一項即可，其n次插值多項式為

式中，f［x0，x1，…，xn］為f( x)關于節(jié)點x0，x1，…，xn的n階差商。由插值多項式唯一性可知，Nn( x)≡Pn( x)。故牛頓插值多項式與拉格朗日插值多項式的插值余項相同，因此插值結果是相同的，但插值效率不同。

3．自然樣條插值

在區(qū)間［a，b］上，已知函數(shù)y=f( x)在n+1個互異節(jié)點a=x0＜x1＜…＜xn= b處值為yi( i = 0，1，…，n)，若分段表示的函數(shù)φ( x)滿足:

1)φ( x)在［xi，xi+1］的表達式φ( xi)都是不高于3次的多項式。

2)φ( xi) = yi。

3)φ( x)在整個區(qū)間［a，b］上有連續(xù)的二階導數(shù)。

則稱φ( x)為三次樣條插值函數(shù)。但上述條件不足以確定其插值表達式，還需要加在區(qū)間兩個端點處的邊界條件，其中由自然邊界條件

而得數(shù)稱為自然樣條插值函數(shù)。

三、測試數(shù)據(jù)及方法

軌跡數(shù)據(jù)為POS得到的結果，由一系列若干連續(xù)等時間間隔的點組成，每個點的數(shù)據(jù)主要包括UTC時間、里程、慣導坐標系原點的位置信息，以及三軸相對瞬時當?shù)厮阶鴺讼档男D角。其中位置信息由X、Y、Z 3個坐標分量組成，姿態(tài)信息由3個姿態(tài)角組成，分別是側滾角( roll)、俯仰角( pitch)和航向角( heading)［9］，數(shù)據(jù)還可包括原點的投影坐標、位置精度、角度精度等信息。其中，位置和姿態(tài)信息數(shù)據(jù)的精度在整個系統(tǒng)中起主導作用，因此本文在討論插值算法的精度時只考慮這兩方面的插值數(shù)據(jù)誤差，本文采用的車載移動測量系統(tǒng)測得的每個點的數(shù)據(jù)中還包含經度( longitude)和緯度( latitude)兩個值。

選擇在鄭州某測區(qū)的一次實測軌跡數(shù)據(jù)進行測試。試驗進行了4次數(shù)據(jù)采集，其平均速度分別為5．5 m/s( 19．8 km/h)、12．2 m/s( 43．9 km/h)、17．7 m/s ( 63．7 km/h)和25．6 m/s( 92．2 km/h)。分別選取4種速度下的100個連續(xù)采集數(shù)據(jù)點，編號1—100。其中，奇數(shù)序號的點作為插值已知節(jié)點;偶數(shù)序號的點作為控制點(真值)以便評價插值精度。采用移動插值，即對每個待插值點，首先尋找其n個最近點，并求出插值函數(shù)，然后將該點的時間代入插值函數(shù)，得到相應量的插值結果。根據(jù)已知節(jié)點分別用不同插值算法得到對應控制點處的結果，與真值比較從而評價插值結果的精度。

測試包括拉格朗日插值取不同階次的精度比較、不同插值方法間精度比較，以及各插值方法的效率比較。為評價插值的整體精度，定義兩個精度指標:點位的插值誤差mp、姿態(tài)的插值誤差mθ，單位分別為米和度，即

四、各插值算法比較

1．不同階次拉格朗日插值的比較

一般認為插值次數(shù)越高，所用節(jié)點越多，則結果越準確。但當次數(shù)較高時，多項式插值會出現(xiàn)龍格現(xiàn)象，使得插值結果不穩(wěn)定。文獻［10］指出，在進行高次插值時，越靠近端點逼近的效果越差。如圖1所示，用高次插值得到的結果與真值在兩端誤差較大，在中間誤差較小。

圖1 高次插值龍格現(xiàn)象

通過加“窗”處理可以解決此問題，使插值點始終位于插值區(qū)間的中間，這樣就可以保證插值的精度，且“窗口”尺寸越小效果越好［11］。取一段速度為25．6 m/s的包含100個數(shù)據(jù)點的連續(xù)軌跡，將奇數(shù)點作為已知節(jié)點，偶數(shù)點作為控制點(即待插值點)，比較不同階次的拉格朗日插值結果。

為獲得更好的插值精度，本文在測試時使“窗口”尺寸達到最小(即為零)即采用移動插值，且在插值區(qū)間兩端增加了幾個已知點。測試結果見表1。

表1 不同階次n的拉格朗日插值精度比較

2．不同插值算法精度的比較

相同速度、不同速度下各插值算法計算結果分別見表2、表3。

表2 同一速度( 25．6 m/s)下不同插值方法精度比較

表3 不同速度下不同插值算法精度比較

3．不同插值算法效率的比較

待插值點151 353個，分別采用不同方法進行插值，VC++6．0中統(tǒng)計運行時間見表4。

表4 各插值算法運行時間 s

4．測試結果

由表1、表2可得，當拉格朗日插值階次n≥8時，點位誤差趨于穩(wěn)定不再減小，而姿態(tài)誤差在一定范圍內隨著插值階次的增大而減小;相同軌跡數(shù)據(jù)采用自然樣條插值到的點位誤差和姿態(tài)誤差分別為0．000 6 m和0．011 0°，可見適當提高階次，拉格朗日插值可以得到與自然樣條插值精度相當?shù)慕Y果。牛頓插值與拉格朗日插值效果等價，但插值效率相對較高;且在軌跡插值中一般都是等間距插值，采用差分代替差商，牛頓插值效率可進一步提高。

由表3可得，當車速提高時，插值結果的誤差相應增大，但其中點位誤差變化不明顯，姿態(tài)誤差變化較大。因此兼顧效率與精度，在低速時可對位置進行低階次插值，對姿態(tài)進行較高階次插值。由表4可知，隨著插值階次的提高，插值效率越來越低，而在相同精度要求下自然樣條插值效率稍高。

五、結束語

由文獻［7］可知，POS定位誤差對激光腳點定位誤差的影響是平移過去的，即直接傳遞的。如采用移動自然樣條插值時，內插位置最大誤差對激光腳點坐標造成的誤差矢量為( 0．000 8，0．000 8，0．000 8) ;根據(jù)車載移動測量系統(tǒng)整體誤差模型，在100 m范圍內由內插姿態(tài)對激光腳點坐標造成的誤差矢量為( 0．026，0．018，0．014)，則采用該插值方法對激光腳點坐標造成的點位誤差為0．034 m，小于車載移動測量系統(tǒng)的整體誤差，但與系統(tǒng)精度一樣都是在厘米級上。

因此，兼顧精度與效率，可對位置與姿態(tài)數(shù)據(jù)分別采用不同插值方法，位置數(shù)據(jù)用移動線性插值得到即可滿足精度要求，姿態(tài)數(shù)據(jù)用移動自然樣條插值得到相比其他典型插值算法精度更高;姿態(tài)插值誤差對系統(tǒng)精度影響較大，可嘗試采用其他更好的插值算法進一步減小姿態(tài)插值誤差。

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Accuracy Evaluation of Trajectory Interpolation Algorithm in Direct Geo-referencing

ZONG Wenpeng，LI Guangyun，WANG Li，ZHOU Yanglin

移動測量中定位定姿系統(tǒng)的精度決定了整個系統(tǒng)的精度，為了獲得激光掃描儀采樣時對應測量系統(tǒng)時間點處的軌跡數(shù)據(jù)，需要進行插值。本文介紹了移動測量系統(tǒng)和直接地理參考，給出了典型的插值算法，以筆者所在學校車載移動測量系統(tǒng)的實測數(shù)據(jù)進行軌跡插值測試，對各種插值算法在不同移動速度下的軌跡插值結果的精度和效率進行了比較，并分析了對激光腳點定位精度的影響。結果表明，對位置進行移動線性插值，對姿態(tài)進行移動自然樣條插值可以取得較好的精度和效率。

定位定姿系統(tǒng);移動測量;軌跡插值;龍格現(xiàn)象;移動插值;自然樣條

宗文鵬( 1990—)，男，碩士生，主要從事激光掃描儀應用的相關研究。E-mail: 524824358@ qq．com

P237

B

0494-0911( 2015) 11-0035-04

宗文鵬，李廣云，王力，等．直接地理參考中軌跡插值算法對精度影響的評估［J］．測繪通報，2015( 11) : 35-38．

10．13474/j．cnki．11-2246．2015．0341

2014-11-16

國家自然科學基金( 41274014) ;現(xiàn)代城市測繪國家測繪地理信息局重點實驗室開放基金( 20131204WY)