羅正東，董 輝，陳 鋮，蘇永華

（1. 湘潭大學 土木工程與力學學院，湖南 湘潭 411105；2. 湖南大學 巖土工程研究所，湖南 長沙 410082）

1 引 言

由于邊坡結構力學參數(shù)及破壞模式的復雜性及不確定性，采用可靠度分析方法對邊坡的穩(wěn)定性進行評估是目前較為理想的解決途徑，其研究近年來取得了較為理想的成果[1－2]，并發(fā)展了一些近似模型方法來對隱式功能函數(shù)進行顯示化表達諸如響應面法、神經(jīng)網(wǎng)絡法、支持向量機（SVM）等，但這些方法在使用過程中均存在一定的限制條件[3－5]。

源于地質統(tǒng)計學的 Kriging模型是一種只需已知部分信息，而模擬某點待求信息的半?yún)?shù)化插值技術，與傳統(tǒng)代理模型相比，Kriging模型最主要的特征是其不需要給出模擬函數(shù)的形式，能避免多項式函數(shù)對結構后續(xù)求解計算產生的影響，而且其使用非常靈活方便。2005年Kaymaz[6]首次將Kriging模型與一次二階矩分析法結合求解結構的可靠度指標。Won等[7]結合自適應序列樣本方案與 Kriging模型，解決了基于可靠度的優(yōu)化設計問題。蘇永華等[8]利用Kriging代理模型，對邊坡的穩(wěn)定可靠度進行了分析研究。

在 Kriging代理模型的擬合過程中必須已知一定數(shù)量的初始樣本點，抽取的訓練樣本點代表性強弱將直接影響求解結果的準確性。Kriging代理模型典型的試驗設計方法是拉丁超立方設計[9]，但該方法的擬合精度依賴于樣本點的數(shù)量，樣本點越多其精度越高，計算量也隨之增大。主動學習方法[10]能主動搜索最佳訓練樣本點，并將其逐漸加入已知樣本中，使樣本集不斷更新，進而使 Kriging代理模型迅速達到預期的預測精度。

為充分考慮邊坡功能函數(shù)的復雜性及高度非線性的基本特征，本文在現(xiàn)有的研究基礎上通過引進Kriging代理模型，采用具有主動偵測能力的主動學習和具有布滿整個空間、不含重復點的拉丁超立方抽樣進行互補和聯(lián)合來抽取樣本點，建立了一種高效的邊坡穩(wěn)定可靠度求解方法。

2 邊坡極限狀態(tài)功能函數(shù)的特征

邊坡穩(wěn)定性分析已發(fā)展了多種方法和理論，但極限平衡分析法仍為當前邊坡穩(wěn)定性分析的主要方法[11]。根據(jù)邊坡結構的失穩(wěn)模式及其地質特征，常用的極限平衡分析法大體可歸為兩類：一類是適合于圓弧形滑動面的瑞典法、Bishop法等，另一類是適合于任意滑動面的Janbu法、Spencer法、Sarma法等。在邊坡的穩(wěn)定可靠度研究中，需以極限平衡分析法為基礎展開分析，本文選取適合于任意滑動面的Janbu法為例來展示基于Kriging代理模型的可靠度分析方法。

Janbu[12]提出其求解邊坡結構安全系數(shù)的表達式為

顯見，邊坡穩(wěn)定極限狀態(tài)功能函數(shù)也屬于非線性隱函數(shù)，不便于利用傳統(tǒng)的分析方法來求解其可靠度。

3 隱式功能函數(shù)值的代理方程

3.1 Kriging隨機過程代理模型

源于地質統(tǒng)計學的 Kriging代理模型[13]，是一種基于隨機過程的統(tǒng)計預測方法，以已知樣本信息的動態(tài)構造為基礎，充分考慮了變量在空間上的相關特性，建立近似函數(shù)模擬對象問題在某一點的未知信息，具有平滑效應及估計方差最小的統(tǒng)計特征[6]。Kriging代理模型的響應值與自變量間的對應關系為式（4）由回歸部分及隨機過程兩部分組成。

式中：R為由R(η；S)構成的對角元為1，大小為i×i的對稱矩陣；F為由i個樣本點處的回歸模型組成的i維向量；f (xnew)為回歸多項式，一般采用不高于二階的多項式，實際操作中由具體工程情況來確定；r(xnew)為訓練樣本與待測點間的相關向量，其表達式為

3.2 Kriging隨機過程代理模型

4 拉丁超立方試驗設計

構造Kriging隨機過程代理模型需要功能函數(shù)Z的訓練樣本，實際邊坡工程很難由試驗獲得全部參數(shù)樣本值，因此需要通過試驗設計抽樣法來抽取隨機變量的樣本數(shù)據(jù)。試驗設計方法有多種，本文選取拉丁超立方試驗設計[16]（LHS）抽取需要的樣本。這種方法是一種“充滿空間”的抽樣方法，即使試驗樣本點相對均勻地散布于整個試驗范圍之內，并且每個水平只使用一次。

拉丁超立方試驗設計作為一種改進的蒙特卡洛抽樣方差縮減技術，其抽樣的均勻性得到了極大體現(xiàn)，該試驗設計方法的基本原理為

輸出變量：

5 主動搜索最可能失效的區(qū)域

5.1 主動學習搜索規(guī)則

主動學習法是由Lewis等[17]提出，學習過程中依據(jù)一定的標識策略，從未標識的數(shù)據(jù)樣本庫中選擇對分類器最為有利的樣本進行進一步訓練，從而實現(xiàn)用最少的樣本點來實現(xiàn)盡可能高的分類精度。

主、被動學習間的差異在于具體實施過程中主動學習須和外界進行信息交互，通過交互過程中反饋的信息來更新初始訓練樣本，而被動學習則依靠學習器自身，二者的差異見圖1。

圖1 主動學習與被動學習流程Fig.1 Flow of active learning and passive learning

5.2 主動學習中學習函數(shù)的構建

擬合好的 Kriging代理模型，需要另取樣本點來檢驗擬合模型的精度，以確保其精確性和有效性，經(jīng)驗證后的 Kriging代理模型才能用作代理模型進行隱式函數(shù)的近似分析，常用檢驗方法有多種[18]，本文選取較易操作的平均相對誤差法來進行驗證，其表達式為

5.3 邊坡可靠度的搜索法執(zhí)行步驟

融合Kriging模型、LHS方法及主動學習搜索法的邊坡可靠度分析方法的實施步驟：

② 利用 LHS方法抽取少量樣本作為初始訓練樣本 S，代入極限平衡法得到樣本的響應值（本文采用Geo-Studio軟件中Slope/W模塊進行求解，響應值采用最小安全系數(shù)）。

③依據(jù)章節(jié)3.1～3.2方法，采用初始訓練樣本及其響應值建立邊坡功能函數(shù)的初始Kriging模型，根據(jù)式（13）對樣本點的功能函數(shù)值進行預測，利用式（20）求解相對誤差值。

④主動學習：搜索下一個最佳訓練樣本點*x，不斷更新訓練樣本，提高 Kriging模型對功能函數(shù)的預測精度。

⑤將*x代入極限平衡法得其真實響應值，使訓練樣本S得到更新，建立新的Kriging模型，不斷重復步驟④～⑤，直到滿足平均相對誤差小于0.01便可停止主動學習。

⑥由 LHS方法及主動學習搜索出的樣本構建最優(yōu)的Kriging模型，最后采用JC法[1]求解邊坡的失效概率Pf。

6 算例分析

已知某土坡[19]剖面幾何形狀如圖2所示。土坡包含2個土層，其重度均為19 kN/m3。設土層的黏聚力c及內摩擦角φ為相互獨立的正態(tài)隨機變量，其分布特征見表1，以Janbu法為基礎進行求解。

圖2 邊坡剖面圖(單位：m)Fig.2 Geometry of slope (unit: m)

表1 土層物理力學性質及統(tǒng)計特征Table 1 Physico-mechanical properties and statistical characteristics of soil layers

表2 算例求解結果對比Table 2 Comparison results for example

由表 2可知，當以直接 Monte Carlo法計算2×105次所得結果為近似精確解時，本文方法計算得到的邊坡穩(wěn)定可靠度指標相對誤差為 1.79%，計算精度高于傳統(tǒng)響應面法的求解精度，基本能滿足工程實際要求，但邊坡穩(wěn)定極限平衡分析計算工作量與傳統(tǒng)響應面法相當，且遠小于Monte Carlo計算法，尤其在復雜的隱式功能函數(shù)可靠度分析中將得到較好的體現(xiàn)。

7 結 語

以Janbu模型為例，利用Kriging隨機過程的統(tǒng)計預測方法，并結合拉丁超立方試驗設計，導出了邊坡功能函數(shù)值的隨機過程代理模型。

引入主動學習搜索規(guī)則及收斂準則，提出了邊坡功能函數(shù)替代方程的更新迭代程序。建立了在最可能失效區(qū)域中依替代隨機過程方程的驗算點法求解失效概率的方法，該方法在失效概率計算中不需要直接調用原功能函數(shù)，計算過程簡單明了。

在詳細歸納出上述方法的操作執(zhí)行過程基礎之上，通過工程應用分析，表明該方法求解過程簡明，效率高，更具工程實用性。

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