寧尚軍，劉小華，蓋 健

（吉林大學計算機科學與技術學院，吉林 長春130012）

傳統(tǒng)的人臉識別技術以單幅人臉為基礎［1］，通過分析單幅圖像中的人臉來達到辨識身份的目的.這種方法普遍要求圖像取自嚴格限制的拍攝條件，然而在實際應用中，圖像一般取自復雜的自然條件及光照、人物姿態(tài)、視角等諸多因素的變化，使得傳統(tǒng)方法普遍識別率低，難以達到應用的目的.近年來，隨著計算機硬件和通信技術的提高，基于圖像集的人臉識別技術越來越受到人們的重視［2－6］.這種方法以同一人的多幅圖像構成的圖像集作為分析和分類的單元，通過對圖像集進行建模，然后選定合適的分類標準，比較測試圖像集和數(shù)據(jù)庫中已知身份的圖像集（訓練集）達到識別未知圖像集身份的目的.

基于仿射包模型的圖像集人臉識別方法［2－3］，將圖像集建模為仿射包，圖像集中的每幅圖像均是屬于仿射包上的點（向量），定義仿射包距離為2個包中最近的2個點之間的距離，通過奇異值分解（SVD）算法得到仿射空間的基，計算測試集與每個訓練集之間的仿射包距離，以最近鄰分類原則得到有效結果.這是一種幾何方法，分類結果是依賴于高維仿射空間中點的位置，因此圖像集中的異常值圖像（outliers）將會降低識別率.

針對仿射包模型對于異常圖像的敏感性［3］，本文提出對異常值數(shù)據(jù)魯棒性更強的旋轉不變L1范數(shù)方法［7］（R1－PCA 算法）進行仿射子空間估計，代替原有的L2范數(shù)方法，然后通過計算仿射包距離，利用最近鄰分類器得到有效結果.

1 AHISD

1.1 仿射包模型

AHISD［2］（Affine hull based image sets distance）將每個圖像集建模為仿射包，即用每個集中所有樣本構成的最小仿射包來描述整個集.我們以Xsi表示圖像集s 中的第i 幅樣本圖像，其中Xci∈?d，即每幅樣本圖像經過預處理為d 維列向量，i＝1，…，ns，其中ns表示第s 個圖像集中共ns個樣本，s＝1，…，S，其中S 表示共有S 個圖像集，那么包含第s個圖像集所有樣本的最小仿射包定義為

仿射包模型將集中樣本的所有仿射組合作為所在集的合理特征表示，跟其他約束性更強的模型（比如凸包等）相比，弱約束性使得仿射包表示可以更有效地應對小樣本問題，對于不在原來集中出現(xiàn)的樣本，可以通過仿射組合得到并計算在內.

1.2 仿射包參數(shù)化

（1）式的約束條件可寫作1Tα＝1，其中1是全1列向量，1T表示1的轉置矩陣，α 是元素為αsk的列向量.設有集中樣本的一個正交基U、樣本均值μ，對于任意α 滿足1Tα＝1，對中心化后的樣本使用SVD 算法可得

由（2）式可得

取v＝ΣVTα，可知對任意α 滿足1Tα＝1，（1）式可寫為

由（2）式可得

于是，由（1）式定義的仿射包模型可以重寫為

其中：μs為圖像集s的均值；Us為圖像集仿射空間的一組正交基；vs是經過正交投影之后l 維未知向量.Us的計算由基于L2范數(shù)估計的奇異值分解方法得到.

1.3 仿射包距離

2個仿射包之間的距離［2］（AD）定義為2個最近點之間的歐式距離，其中2個點分別位于2個不同的仿射包中.給定2個不相交的仿射包：AHi＝｛Uivi＋μi｝和AHk＝｛Ukvk＋μk｝，兩者之間距離為

2個仿射包AD 的計算就是求得（5）式最優(yōu)解的過程，由于仿射包是凸集合，（5）式的運算是保凸運算，這樣一個凸優(yōu)化問題是能解出最優(yōu)解的，具體如下：

定義U≡（Ui，－Uk），U 是Ui和－Uk的拼接矩陣是vi，vk的拼接矩陣，（5）式可寫作

易知，（6）式是標準的最小二乘問題，其閉合最優(yōu)解為

將（7）式代入（6）式，可得

其中：I是單位矩陣；W＝U（UTU）－1UT是2個仿射子空間聯(lián)合方向上的正交投影矩陣；（I－W）是向2個仿射子空間的正交補空間的投影矩陣.實際計算中，通過對拼接矩陣U 進行奇異值分解，求得U 的正交基Ub，則W＝UbUTb，將W 代入（8）式即可求得2個仿射包之間的距離AD.

2 仿射子空間估計

基于仿射包的圖像集識別方法是基于如下假設：圖像集的每個樣本都是仿射特征空間的一個向量，對于特征空間的估計是其中最重要的一環(huán)，對于一般情況，我們假設仿射特征空間是線性的，當然面對圖像集過弱等情況，可以考慮更復雜的非線性模型.

2.1 SVD 算法估計仿射子空間

AHISD［2］使用SVD 算法進行子空間估計，對于已經中心化的樣本集X，進行SVD 算法［7］，得到

然后對Σ 按奇異值由大到小排列，取前l(fā)個奇異值使得該l 個奇異值之和與所有奇異值之和的比值大于我們設定的閾值t，l個奇異值對應的左奇異向量即子空間的正交基.PCA 算法是對SVD 算法的封裝，可以用SVD 算法輕易實現(xiàn)PCA 算法，兩者本質是相同的.使用SVD 算法估計子空間其實就是運用PCA 算法.

取U＝（u1，…，ul）為主成分方向（即特征向量），V＝（v1，…，vl）為主成分，PCA 算法還可以描述為

Frobenius范數(shù)定義為

式中：i＝1，…，n，其中n表示集中的n 個樣本；j＝1，…，d，其中d 表示每個樣本有d 維.

由（10）式可知，基于SVD 算法（或者PCA 算法）的子空間估計是以最小化誤差矩陣的Frobenius范數(shù)（L2范數(shù)）為目的的，這種方法在樣本中沒有異常值數(shù)據(jù)時效果不錯，一旦存在異常樣本，L2范數(shù)對于異常值數(shù)據(jù)的敏感性使J 的誤差增大，導致對子空間的估計出現(xiàn)較大偏差，從而影響識別的效率.

2.2 基于L1 范數(shù)的子空間估計

鑒于Frobenius對異常值數(shù)據(jù)的敏感性，可以使用基于魯棒性更強的L1范數(shù)的方法.矩陣X 的L1范數(shù)定義為

L1范數(shù)方法雖然在一定程度上解決了異常值數(shù)據(jù)的問題，但是存在如下缺陷［4］：（1）計算復雜度高；（2）最優(yōu)解是否與協(xié)方差矩陣相關不明確；（3）在聚類算法中使用L1范數(shù)會引發(fā)問題.

3 本文方法

為了解決在識別過程中的異常值數(shù)據(jù)問題，同時避免L1范數(shù)方法的不足，本文采用基于旋轉不變L1范數(shù)的R1－PCA 算法進行子空間估計.R1－PCA 算法不但對異常值數(shù)據(jù)具有魯棒性，同時可以運用子空間迭代算法有效求解，計算復雜度小于基于L1范數(shù)的方法.

3.1 R1 范數(shù)

R1范數(shù)即旋轉不變L1范數(shù)［7］，是對L1范數(shù)的變形.在R1范數(shù)中，空間維度的距離是按照L2范數(shù)的二次形式計算的，但在不同點之間的求和是運用L1范數(shù)的一次形式.對于樣本集X，寫成矩陣形式為X＝（Xji），其中j為指示空間維度（j＝1，…，d），i為指示樣本（i＝1，…，n）.R1范數(shù)的定義為

對比（11）式和（12）式，不難看出，基于Frobenius范數(shù)（L2范數(shù)）和L1范數(shù)的方法，將數(shù)據(jù)集的行i和列j 做相同的操作，但是i指示樣本、j指示空間維度和R1范數(shù)正是抓住了這細小的差別，從而在子空間估計中魯棒性更強.

3.2 R1－PCA算法

令V＝（v1，…，vl）∈Rl×n，（10）式標準的PCA 算法可以寫作如下向量形式

R1－PCA 算法可以記為

不失一般性，令U 為正交矩陣，解min‖Xi－Uvi‖2，得

故得

估計誤差si是樣本Xi到子空間的距離，R1－PCA 算法可簡化為

通過定義損失函數(shù)ρ（·），（18）式定義的R1－PCA 算法可以推廣為使用通用魯棒估計量的形式［7］

其中參數(shù)c為消去變量，通常選作si的中值，即c＝median（si）.

定義R1協(xié)方差矩陣為

對于使用ρH（s） 作為損失函數(shù)的R1－PCA 算法，權值定義為

易知，CR是標準協(xié)方差矩陣的加權形式，R1－PCA 算法的實質便是減小異常值數(shù)據(jù)（到估計子空間距離較遠）的影響（對應權值），從而獲得更準確地對異常值數(shù)據(jù)魯棒的估計子空間.可以證明［7］，R1－PCA 算法（19）式的全局最優(yōu)解就是R1協(xié)方差矩陣CR（21）式的特征向量，即

寫成矩陣形式

（21）式中，U 即CR的特征向量矩陣，Λ 是對角線為特征值的對角矩陣.

3.3 求解R1－PCA問題的子空間迭代法

由（21）和（22）式可知，R1協(xié)方差矩陣CR依賴于U，因此（24）式是一個非線性特征值問題，可以通過經典的子空間迭代算法得到前l(fā)個最大特征值對應的l個主成分子空間.

取U 的初值U（0）為標準協(xié)方差矩陣前l(fā)個最大特征值對應的主成分特征向量，計算U（0）的R1協(xié)方差矩陣CR（U（0）），U 按照（26）和（27）式的方式更新為：

其中：t表示迭代次數(shù)；orth（·）是正交化函數(shù)，當?shù)鬂M足設定收斂條件即得到子空間基向量U.

下面給出R1－PCA 算法求解子空間的過程.

輸入：圖像集構成的數(shù)據(jù)矩陣X，子空間維度k，收斂閾值t，迭代上限n.

初始化：計算標準PCA 算法（SVD 算法），得到U0.

計算

迭代過程：令U＝U0，根據(jù)（28）和（29）式迭代更新U 直到滿足收斂條件或超過迭代次數(shù)上限n.

計算V＝UTX.

輸 出：U，V.

因為U 最終收斂為特征向量矩陣，收斂條件設定為U（t＋1）與U（t）對角線元素的誤差平方和，當其小于設定的值t時即收斂.

3.4 本文方法識別過程

本文提出的對異常值數(shù)據(jù)具有魯棒性的圖像集人臉識別方法，記為R1－AHISD，具體過程如下：

（1）將已知身份的訓練人臉圖像集和待分類的測試圖像進行預處理，將圖像矩陣變形為列向量，將每個訓練圖像集和測試圖像集中的圖像向量分別合并為對應的圖像集矩陣.

（2）對測試集和每個訓練集建模為仿射包，對圖像集矩陣進行R1－PCA 算法，分別得到估計子空間，進而得到仿射包表示.

（3）對測試仿射包和每一個訓練集仿射包計算仿射包距離AD.

（4）Min（AD）對應的訓練集即為測試集的目標身份.

4 實驗部分

4.1 Honda／UCSD 視頻庫和預處理

Honda／UCSD［8］視頻庫最早應用于視頻人臉識別，本文采用Honda／UCSD 視頻庫進行實驗，該數(shù)據(jù)庫包含20個人的共59段視頻片段，每段視頻拍攝于不同的光照環(huán)境下，包含被拍攝者不同的動作、表情、姿態(tài).實驗選取其中每個人的一段視頻作為訓練集，剩余39 段視頻作為測試集，每段視頻有300～500幀圖像.

首先，實驗采用經典的Viola－Jones人臉檢測算法［9］檢測得到視頻中盡可能多的人臉圖像，將檢測得到的人臉圖像縮放大小為20像素×20像素，然后對圖像進行直方圖均衡化以消除光照影響.將每段視頻預處理之后的人臉圖像作為此人的圖像集.圖1分別展示了Honda／UCSD 數(shù)據(jù)庫視頻中提取的原始幀圖像、對應的人臉檢測之后的人臉圖像以及預處理之后的圖像.

圖1 Honda／UCSD數(shù)據(jù)庫樣本圖像

4.2 結果和分析

實驗分為2個部分，分別測試在無噪聲影響下的識別率以及在混有特定噪聲（離散圖像）的情況下的識別率，2個仿真實驗的結果都顯示本文提出的方法具有較高的識別率、穩(wěn)定性，同時對異常值數(shù)據(jù)具有魯棒性.

第一部分實驗為無噪聲實驗.由Viola－Jones算法［9］檢測得到的人臉圖像會有一些錯誤（包括不完整人臉、模糊人臉和非人臉等），將其中的錯誤圖像去除制成無噪聲圖像集，因為每段視頻檢測得到的圖像數(shù)不一，隨機選取無噪聲圖像集中的10，20，50，70和100作為圖像集，實驗將建立隨機圖像集的過程重復10次以求更精確的結果，分別測試基于圖像集的MSM 算法［4］（公共子空間算法）、DCC算法［5］（判別典型相關分析）、AHISD 算法［2］和本文提出的R1－AHISD 算法，最后將10次結果取平均值得到最終的識別率（如圖2所示）.

由圖2可以看出，幾種方法的識別率都隨著圖像集中的圖像數(shù)的增多而提高，這是因為這幾種方法都是基于圖像集的人臉識別方法，這種方法需要圖像集中盡量包含更多的信息，當圖像集中的圖像取自不同光照、姿態(tài)和表情等條件下時，識別效果更好，這種基于圖像集的方法遠遠優(yōu)于單幅圖像人臉識別方法，基于單幅圖像的人臉識別方法在面對復雜的光照、姿態(tài)、表情等情況時往往識別率下降明顯.其次，本文提出的方法在識別率和穩(wěn)定性上都要好于原有方法，當集中樣本數(shù)達到100時，本文方法的識別率可以達到97.4%.

第二部分實驗為噪聲測試，實驗目的是驗證本文提出的方法對異常值數(shù)據(jù)（outliers）的魯棒性.在實際應用中，由于攝像機（比如監(jiān)控攝像機）條件的限制，得到的視頻往往包含噪聲，導致人臉檢測程序得到意外的結果.這些噪聲主要包括由于遮擋或視角受限導致的人臉不全，動作過快導致的圖像模糊以及人臉檢測得到的錯誤圖像等.因此本文噪聲實驗立足實際，選取人臉檢測過程中出現(xiàn)的錯誤圖像作為噪聲，圖3展示了部分噪聲圖像.隨機選取某個人1～5幅噪聲圖像，加入此人的圖像集得到噪聲圖像集，分別測試上述4種算法，同樣對10次隨機實驗識別率取平均值，表1和2分別為圖像集樣本數(shù)為50和100時的實驗結果.

圖2 在無噪聲圖像集上不同算法的識別率

圖3 噪聲圖像樣本

由表1和2可以看出，異常值數(shù)據(jù)對以子空間估計為基礎的圖像集識別算法的影響是很明顯的，實驗中采用的4種算法都不同程度受到影響，這是由算法的原理導致的.基于幾何的方法容易受到異常值數(shù)據(jù)的影響，對于偏離子空間距離較大的點會使子空間估計出現(xiàn)嚴重偏差，從而使識別率下降.由表1和2可知，MSM 算法、DCC 算法和原有的AHISD 算法在異常值數(shù)據(jù)的影響下，識別率下降都超過10%，本文提出的R1－AHISD方法下降并不明顯.

表1 樣本數(shù)為50的噪聲集上不同算法的識別率 %

表2 樣本數(shù)為100的噪聲集上不同算法的識別率 %

綜合上述實驗結果，本文方法在識別率和穩(wěn)定性方面都比原有方法有所提高，對異常值數(shù)據(jù)的魯棒性也更強.

5 結束語

提出了一種對異常值數(shù)據(jù)具有強魯棒性的基于仿射包模型的圖像集人臉識別算法.以R1－PCA 算法進行子空間估計，通過計算定義的仿射包距離，運用最近鄰分類器得到分類識別結果.在Honda／UCSD 視頻庫上的仿真實驗驗證了本文方法的有效性和穩(wěn)定性.

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