薛翠平，劉靜宜，肖 冬

（1.東北大學(xué)理學(xué)院，遼寧 沈陽110004；2.東北大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 沈陽110004）

0 引言

20世紀(jì)50年代末，Daunts首次提出0－1背包問題（Knapsack problem），它是一類非常經(jīng)典的Np問題［1］，在實(shí)際生活中，網(wǎng)絡(luò)資源分配問題、調(diào)運(yùn)裝載、生產(chǎn)安排、信息加密等問題都能建出0－1背包問題的數(shù)學(xué)模型［2－4］，因此對(duì)該問題的研究在理論上和現(xiàn)實(shí)中都具有重要的意義.

0－1背包問題可以簡(jiǎn)單描述為：給定n種物品集合N＝｛1，2，…，n｝和一背包.已知物品i的質(zhì)量為wi（＞0），價(jià)值為vi（i＝1，2，…，n），背包容量為c.求最優(yōu)裝包方案（x1，x2，…，xn），xi∈｛0，1｝（xi＝0表示不把第i個(gè)物品放入背包，xi＝1表示把第i個(gè)物品裝入背包），使背包獲得的價(jià)值達(dá)到最大.在選擇裝包物品時(shí)，不能將物品裝入背包多次，也不能將物品分割裝入，數(shù)學(xué)模型如下：

許多學(xué)者對(duì)該問題進(jìn)行了行之有效的研究，主要包括適用于小規(guī)模問題的分支限界法、遞歸法、回溯法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法等及適用于大規(guī)模問題的智能計(jì)算方法（遺傳算法、人工魚群算法、模擬退火算法、粒子群算法、免疫算法等［5－8］）.目前這方面的文獻(xiàn)很多，每種方法各有優(yōu)劣，但總體來說思想還是比較復(fù)雜.

1 算法

整體分布優(yōu)化算法是粒子群優(yōu)化算法衍生出來的一種新智能優(yōu)化算法［9］，本文將貪婪思想嵌入到整體分布優(yōu)化算法中，得到基于貪婪策略的整體分布優(yōu)化算法.該算法主要具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、實(shí)現(xiàn)容易、代碼較少和參數(shù)少的優(yōu)點(diǎn).種群相對(duì)價(jià)值較高，程序?qū)?nèi)存要求較小，種群的個(gè)體可以逐一形成，不需要存儲(chǔ).算法的基本思想是首先在定義域范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)初始種群，在種群中找到最優(yōu)粒子，然后直接在最優(yōu)粒子附近由柯西分布產(chǎn)生新的種群，周而復(fù)始，直到達(dá)到最大的迭代次數(shù)為止.決定該算法性能的因素主要產(chǎn)生種群的概率分布形式及其參數(shù)的選取，算法的收斂策略及其對(duì)應(yīng)參數(shù)的選取.根據(jù)貪婪思想，將所有物品按照價(jià)值密度（每種物品的價(jià)值系數(shù)vi與其質(zhì)量wi的比值）從大到小編號(hào).將相應(yīng)的vi和wi按照價(jià)值密度順序大小做相應(yīng)的調(diào)整.新的問題記為：

以下內(nèi)容是在新問題的基礎(chǔ)上求解的：首先，整體分布式優(yōu)化算法需要編碼，在0－1背包問題中只存在裝入和不裝入2種情況，所以算法采用二進(jìn)制編碼，0表示不裝入，1表示裝入，編碼長度為所需裝入物品的數(shù)量；其次，整體分布優(yōu)化算法需要適應(yīng)度函數(shù)，這里我們把適應(yīng)度函數(shù)定義為0－1背包問題的目標(biāo)函數(shù)

整體分布優(yōu)化算法的初始種群通過下面的子算法1給出.

算法1 初始種群的產(chǎn)生，種群規(guī)模為m，變量的維數(shù)為n

Step 2 將第一步產(chǎn)生的解轉(zhuǎn)換成可行解，思想為貪婪思想，即盡量將下角標(biāo)小的物品裝入背包.比如，當(dāng)前已經(jīng)考慮到第k個(gè)物品，若x［i］［k］＝0，則第k個(gè)物品不裝入背包；若x［i］［k］＝1，考慮將第k個(gè)物品裝入背包，看看是否超重，若不超重，則裝入，否則，該物品不應(yīng)裝入背包，置x［i］［k］＝0.

下面給出完整的整體分布式優(yōu)化算法.

算法2 貪婪策略整體分布優(yōu)化算法

Step 1：初始化.在整個(gè)定義域內(nèi)按照子算法1產(chǎn)生初始種群，同時(shí)初始化柯西分布的半徑為覆蓋整個(gè)定義域的0.5倍，初始化參數(shù).柯西分布尺度參數(shù)γ＝0.1，種群直徑遞減率α＝0.93，停滯次數(shù)β＝9，最大迭代次數(shù)10 000或者種群直徑的標(biāo)度小于0.000 001，種群的規(guī)模為70.

Step 2：計(jì)算種群中每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值，找出本次最好的個(gè)體并與上次的最好個(gè)體比較，如果好于上次，則進(jìn)行替換，種群的直徑保持不變.

如果差于上次的最好個(gè)體，則保留上次，同時(shí)使停滯次數(shù)減1，若停滯次數(shù)為0，則使種群直徑縮減為原來直徑的0.93，同時(shí)使停滯次數(shù)變?yōu)?；若停滯次數(shù)不為0，則保持原來的種群直徑不變.迭代次數(shù)減1.

Step 3：以已經(jīng)找到的最好個(gè)體的坐標(biāo)為中心，用柯西分布產(chǎn)生新的種群.

Step 4：如果當(dāng)前迭代次數(shù)達(dá)到了預(yù)先設(shè)定的最大次數(shù)或種群直徑的標(biāo)度小于0.000 001，則停止迭代、輸出最優(yōu)解、否則轉(zhuǎn)到Step 2.

2 實(shí)例

為了驗(yàn)證本文算法在求解0－1背包問題上的有效性，這里引用文獻(xiàn)［7］中的3個(gè)實(shí)例，3個(gè)例子的規(guī)模從小到大倍增，通過3個(gè)實(shí)例比較了幾種算法結(jié)果的優(yōu)劣及本文算法點(diǎn)列的收斂趨勢(shì)及速度.

例1 物品個(gè)數(shù)n＝20，物品價(jià)值集合P＝｛92，4，43，83，84，68，92，82，6，44，32，18，56，83，25，96，70，48，14，58｝，物品質(zhì)量 集 合W ＝｛44，46，90，72，9l，40，75，35，8，54，78，40，77，15，61，17，75，29，75，63｝，背包容量C＝878，具體結(jié)果見表1和圖1.

表1 例1中7種算法的最好結(jié)果對(duì)比

例2 物品個(gè)數(shù)n＝50，物品價(jià)值集合P＝｛220，208，195，192，180，180，165，162，160，158，155，130，125，122，120，118，115，110，105，101，100，100，98，96，95，90，88，82，80，77，75，73，72，70，69，66，65，63，60，58，56，50，30，20，15，10，8，5，3，1｝，物品質(zhì)量集合W ＝｛80，82，85，70，72，70，66，50，55，25，50，55，40，48，50，32，22，60，30，32，40，38，35，32，25，28，30，22，25，30，45，30，60，50，20，65，20，25，30，10，20，25，15，10，10，10，4，4，2，1｝，背包容量C＝1 000，具體結(jié)果見表2和圖2.

圖1 例1中本文算法1次執(zhí)行過程不同初始點(diǎn)向最優(yōu)點(diǎn)收斂圖形

表2 例2中7種算法的最好結(jié)果對(duì)比

例3 隨機(jī)產(chǎn)生的實(shí)例，n＝100，物品價(jià)值集合P＝｛68，101，125，159，65，146，28，92，143，37，5，154，183，117，96，127，139，113，100，95，12，134，65，112，69，45，158，60，142，179，36，43，107，143，49，6，130，151，102，149，24，155，41，177，109，40，124，139，83，142，116，59，131，107，187，146，73，30，174，113，9l，37，168，175，53，151，125，31，192，138，88，184，110，159，189，147，31，169，192，56，160，138，84，42，151，37，21，22，200，85，135，200，139，189，68，94，84，22，18，115｝，物 品 的 質(zhì) 量 集 合W ＝｛42，35，70，79，63，6，82，62，96，28，92，3，93，22，19，48，72，70，68，36，4，23，74，42，54，48，63，38，24，30，17，9l，89，4l，65，47，91，71，7，94，30，85，57，67，32，45，27，38，19，30，34，40，5，78，74，22，25，7l，78，98，87，62，56，56，32，5l，42，67，8，8，58，54，46，10，22，23，7，14，l，63，11，25，49，96，3，92，75，97，49，69，82，54，19，1，28，29，49，8，11，14｝，背包容量C＝2 010，具體結(jié)果見表3和圖3.

表3 例3中7種算法的最好結(jié)果對(duì)比

圖2 例2中本文算法1次執(zhí)行過程不同初始點(diǎn)向最優(yōu)點(diǎn)收斂圖形

圖3 例3中本文算法1次執(zhí)行過程不同初始點(diǎn)向最優(yōu)點(diǎn)收斂圖形

由表1—3可以看出，本文基于貪婪策略整體分布優(yōu)化算法對(duì)3個(gè)算例求解的最好結(jié)果與最優(yōu)解優(yōu)于其他幾個(gè)算法.由圖1—3又可以看出本文算法向最優(yōu)點(diǎn)收斂的速度非?？?

3 結(jié)論

本文程序都是用C＋＋語言編寫，每個(gè)實(shí)驗(yàn)均從不同的隨機(jī)初始種群運(yùn)行10次，整體分布優(yōu)化算法與其他算法相比，取得了較好的效果，不但取得了最好的優(yōu)化效果，而且優(yōu)化結(jié)果非常穩(wěn)定，每次優(yōu)化結(jié)果的值變化不大.說明整體分布優(yōu)化算法對(duì)0－1背包問題是可行的，為有效求解此類問題提供了一種新的可行方法，同時(shí)也拓展了整體分布優(yōu)化算法的應(yīng)用領(lǐng)域.

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