張 俊， 范馨月

（1.貴州財經(jīng)大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，貴州 貴陽550025；2.貴州大學理學院，貴州 貴陽550025）

1 研究背景及現(xiàn)狀

K－S方程是許多物理現(xiàn)象中出現(xiàn)的一類重要的數(shù)學物理方程，實際研究中經(jīng)常能發(fā)現(xiàn)這一模型的應用.例如，等離子物理、熱傳導、氧化反應擴散、動力學、自由膜的流動等問題.方程具有內(nèi)在穩(wěn)定性與不穩(wěn)定性的相互作用，從而表現(xiàn)為系統(tǒng)耗散性的典型無窮性動力系統(tǒng).K－S方程已被認為是無窮維動力學中幾個具有代表性的模型之一，其動力特性具有相當?shù)钠者m性.而數(shù)值解的研究成為研究這類模型的主要內(nèi)容之一.眾多學者都研究過K－S方程的數(shù)值方法.［1－15］空間方向的離散主要有譜方法、有限差分、或有限體積法，時間方向采用的方法包括Runge－Kutta法［1－2］、指數(shù)形Runge－Kutta法［10］、Strang分裂方法［5－6］、隱式－顯式方法［12－14］.一方面，顯式多步法或者Runge－Kutta法在全離散的情況下通常是不穩(wěn)定的或者條件穩(wěn)定的.另一方面，隱式法大多是無條件穩(wěn)定的，但在實際的計算中每一步要解一個非線性方程組；隱式－顯示方法雖然是局部穩(wěn)定的，但是在實際計算中時間步長要取得足夠小.

本文構造了幾種線性化半離散數(shù)值格式，并分析了該格式的穩(wěn)定性.盡管我們沒有給出誤差估計，但是數(shù)值試驗的結果顯示了格式的有效性.最后的數(shù)值例子討論解的混沌、周期等性質.

2 Kuramoto－Svashinsky方程

這里ν是非負常數(shù)，T 表示時間.

關于方程的連續(xù)解我們有如下的穩(wěn)定性的結果：

引理2.1 方程（2.1）—（2.2）的解u滿足不等式

其中

證明 方程（2.1）兩邊與u做內(nèi)積，可得

由Young's不等式有

因此

令

則有

兩邊對t積分可得（2.4）式.

3 有限差分時間離散格式

在這里介紹K－S方程三個線性化的時間半離散格式，并考察其穩(wěn)定性.對于一個給定的正整數(shù)K＞0，令tn＝nΔt，n＝0，1，…，K，這里時間步長Δt＝T／K.

Euler格式 考慮如下基于Euler方法的一階半隱格式：

引理3.1 對所有un∈H1＊（Λ），有（2un?xun＋1＋un＋1?xun，un＋1）＝0.

證明

引理得證.

引理3.2 對所有網(wǎng)格函數(shù)｛ un｝ ，有

直接計算即可得此結論.

由上述兩個引理可以得到離散格式的穩(wěn)定性結果.

定理3.1 時間半離散格式（3.1）是條件穩(wěn)定的，即當Δt≤2ν時，

證明 由方程（3.1）與2Δtun＋1做內(nèi)積可得

定理得證.

BD2格式 考慮基于Adam－Basshorth方法的二階半隱格式

對第一步進行考察

引理3.3 對所有網(wǎng)格函數(shù)｛ un｝ ，有

證明 令

那么

引理得證.

引理3.4 對所有網(wǎng)格函數(shù)｛ un｝ ，有（2?xun＋1（2un－un－1）＋un＋1?x（2un－un－1），un＋1）＝0.

證明

引理得證.

同理我們可以得到二階BD2離散格式的穩(wěn)定性結果.

定理3.2 BD2格式，即方程（3.3）是條件穩(wěn)定的，亦即當Δt≤ν時，有

證明 方程（3.3）與4Δtun＋1做內(nèi)積可得

丟掉一些正項，我們有

定理得證.

C－N 格式 考慮基于Crank－Nicolson方法的二階半隱格式

這里

引理3.5 對所有網(wǎng)格函數(shù)｛ un｝ ，有

證明

引理得證.

同理我們可以得到二階C－N 離散格式的穩(wěn)定性結果.

定理3.3 半離散C－N 格式是條件穩(wěn)定的，即當Δt≤4ν時，

因此

定理得證.

其他高階半隱式格式

三階半隱格式

四階半隱格式

五階半隱格式

六階半隱格式

4 數(shù)值結果

4.1 數(shù)值結果的有效性

這里，我們討論一些計算的細節(jié)，并討論數(shù)值解的有效性.定義

Euler／F格式

BD2／F格式

C－N／F格式

事實上，找到方程（2.1）—（2.3）的準確解是異常困難的，為了驗證數(shù)值格式的有效性，定義收斂階

固定初值u0（x）＝cosx（1＋sinx），T＝1，l＝2π，N＝128.我們測試了不同的ν，Δt對收斂階的影響，計算結果如表1—3.從表中可知Euler／F格式在時間方向上有一階精度，BD2／F和C－N／F格式在時間方向上有二階精度，這表明我們的數(shù)值格式是有效的.當ν＝0時，計算格式是失效的，因為此時方程可能是病態(tài)的.

表1 Euler／F格式收斂階隨Δt與ν 的變化情況

表2 BD2／F格式收斂階隨Δt與ν 的變化情況

表3 C－N／F格式收斂階隨Δt與ν 的變化情況

4.2 混沌行為

受J.Hyman，A.Aceves等人工作的啟發(fā)［1－2，5－6，10，16］，這里將用BD2／F格式考察K－S方程解的混沌和周期性質，我們固定取不同的初值，解隨時間的變化情況如圖1—2所示，我們可以很清晰地看到解的混沌和周期性質.值得一提的是，圖1與文獻［10］中解的結構（14頁，圖4－1）是一致的.這為文獻［16］討論的偏微分方程混沌現(xiàn)象提供了具體的例子.

最后，用BD2／F格式測試參數(shù)ν對數(shù)值解的影響.在圖3—6中，取l＝2π.可以看到解的結構對ν的變化是非常敏感的，解的周期運動與非周期運動相互糾纏，并且表現(xiàn)出很復雜的混沌性質，當ν≥0.25時數(shù)值解是平凡解.

圖3 ν＝0.01，ν＝0.012時解的結構

圖4 ν＝0.015，ν＝0.024時解的結構

圖5 ν＝0.04，ν＝0.045時解的結構

圖6 ν＝0.06，ν＝0.25時解的結構

5 結論

討論了K－S方程的數(shù)值方法，提出了一系列的半隱格式，其優(yōu)點在于每步迭代只需要解一個線性方程.我們用新提出的方法考察了K－S方程解的性質，得到了一些解的混沌性質.

［1］HYMAN J，NICOLAENKO B.The Kuramoto－Sivashinsky equation：a bridge between PDE's and dynamical systems［J］.Physica D：Nonlinear Phenomena，1986，18（1）：113－126.

［2］HYMAN J，NICOLAENKO B，ZALESKI S.Order and complexity in the Kuramoto－Sivashinsky model of weakly turbulent interfaces［J］.Physica D：Nonlinear Phenomena，1986，23（1）：265－292.

［3］KEVREKIDIS I，NICOLAENKO B，SCOVEL J.Back in the saddle again：a computer assisted study of the Kuramoto－Sivashinsky equation［J］.SIAM Journal on Applied Mathematics，1990，50（3）：760－790.

［4］JOLLY M，KEVREKIDIS I，TITI E.Approximate inertial manifolds for the Kuramoto－Sivashinsky equation：analysis and computations［J］.Physica D：Nonlinear Phenomena，1990，44（1）：38－60.

［5］SMYRLIS Y，PAPAGEORGIOU DT.Predicting chaos for infinite dimensional dynamical systems：The Kuramoto－Sivashinsky equation，a case study［J］.Proceedings of the National Academy of Sciences，1991，88（24）：11129－11132.

［6］PAPAGEORGIOU D，SMYRLIS Y.Computer assisted study of strange attractors of the Kuramoto－Sivashinsky equation［J］.Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik，1996，76：57－60.

［7］CUETO FELGUEROSO L，PERAIRE J.A time－adaptive finite volume method for the Cahn－Hilliard and Kuramoto－Sivashinsky equations［J］.Journal of Computational Physics，2008，227（24）：9985－10017.

［8］PAPAGEORGIOU D T，SMYRLIS Y S.The route to chaos for the Kuramoto－Sivashinsky equation［J］.Theoretical and Computational Fluid Dynamics，1991，3（1）：15－42.

［9］LOPEZ－MARCOS M.Numerical analysis of pseudospectral methods for the Kuramoto－Sivashinsky equation［J］.IMA Journal of Numerical Analysis，1994，14（2）：233－242.

［10］KASSAM A，TREFETHEN L N.Fourth－order time－stepping for stiff PDEs［J］.SIAM Journal on Scientific Computing，2005，26（4）：1214－1233.

［11］AKRIVIS D.Finite difference discretization of the Kuramoto－Sivashinsky equation［J］.Numerische Mathematik，1992，63（1）：1－11.

［12］AKRIVIS G，CROUZEIX M，MAKRIDAKIS C.Implicit－explicit multistep finite element methods for nonlinear parabolic problems［J］.Mathematics of Computation of the American Mathematical Society，1998，67（222）：457－477.

［13］GEORGIOS AKRIVIS，MICHEL CROUZEIX，CHARALAMBOS MAKRIDAKIS.Implicit－explicit multistep methods for quasilinear parabolic equations［J］.Numerische Mathematik，1999，82（4）：521－541.

［14］AKRIVIS G，SMYRLIS Y S.Implicit－explicit BDF methods for the Kuramoto－Sivashinsky equation［J］.Applied Numerical Mathematics，2004，51（2）：151－169.

［15］KHATER A，TEMSAH R.Numerical solutions of the generalized Kuramoto－Sivashinsky equation by Chebyshev spectral collocation methods［J］.Computers ＆ Mathematics with Applications，2008，56（6）：1465－1472.

［16］ACEVES A，ADACHIHARA H，JONES C，et al.Chaos and coherent structures in partial differential equations［J］.Physica D：Nonlinear Phenomena，1986，18（1）：85－112.