張文波（農(nóng)安縣萬順鄉(xiāng)中學(xué) 吉林農(nóng)安 130200）

淺談數(shù)學(xué)思維對解題的重要意義

張文波
（農(nóng)安縣萬順鄉(xiāng)中學(xué) 吉林農(nóng)安 130200）

本文以中考例題為切入點(diǎn)，闡述了數(shù)學(xué)思維在解題過程中的重要作用。

數(shù)學(xué) 中考 方法 體驗(yàn) 解題

請看以下例題

（1）連接AC，將△OAC沿直線AC翻折，若點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)O|恰好落在該拋物線的對稱軸上，求實(shí)數(shù)。的值：

（2）在正方形EFGH中，點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別是（4，4）、（4，3），邊HG位于邊EF的右側(cè)。小林同學(xué)經(jīng)過探索后發(fā)現(xiàn)了一個正確的命題：“若點(diǎn)P是邊EH或邊HG上的任意一點(diǎn)，則四條線段PA、PB、PC、PD不能與任何一個平行四邊形的四條邊對應(yīng)相等（即這四條線段不能構(gòu)成平行四邊形）。”若點(diǎn)P是邊EF或邊FG上的任意一點(diǎn)，剛才的結(jié)論是否也成立？請你積極探索，并寫出探索過程；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在拋物線對稱軸上時，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)t是大于3的常數(shù)，試問：是否存在一個正數(shù)a，使得四條線段PA、PB、PC、PD與一個平行四邊形的四條邊對應(yīng)相等（即這四條線段能構(gòu)成平行四邊形）？請說明理由。

【教學(xué)反思】

本題共計(jì)390字符，閱讀量偏大。題中均有拋物線，故以二次函數(shù)為“載體”，考查三角形與四邊形，起點(diǎn)較高，難度較大。主要體現(xiàn)在兩方面：一是考查知識點(diǎn)較多且需深入挖掘；二是數(shù)學(xué)思想運(yùn)用得較為廣泛，對學(xué)生綜合素質(zhì)要求較高。一見到本題，大多數(shù)學(xué)生感覺無從下手，即使是尖子生，面對第（2）題同時也難免一頭霧水。真的這么難嗎？

一、理清基本知識點(diǎn)，尋找解題思路

教學(xué)時，首先讓學(xué)生嘗試說出本題考查的知識點(diǎn)，主要包括折疊問題、三角形的有關(guān)知識、命題、二次函數(shù)的交點(diǎn)式及對稱性、平行四邊形、解直角三角形、垂線段、解方程、解不等式等。從這么多知識點(diǎn)中快速尋找解題思路，對基本能力（特別是化歸能力）要求頗高：同時，本題閱讀量偏大，還應(yīng)關(guān)注學(xué)生獲取、收集、處理和運(yùn)用信息能力；題目新穎，又考查學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。教師在教學(xué)中應(yīng)做到：

1.及時歸納，尋找“突破點(diǎn)”

俗話說，萬變不離其宗。圖形在平移、旋轉(zhuǎn)或翻折過程中，位置和方向會有所改變，但其本質(zhì)是全等變換，其中蘊(yùn)含的不變往往是解決問題的突破口。針對第（1）小題，學(xué)生大都思路清晰，能把握住“折疊”這一全等變換，從而利用對應(yīng)邊、對應(yīng)角的不變性進(jìn)行分析。再聯(lián)系到求解二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及對稱性這經(jīng)常性問題，通過解直角三角形求解。教師在引導(dǎo)學(xué)生歸納解題思路時應(yīng)緊扣不變量，關(guān)注方法，要把解題思維貫穿于一種題型中，讓學(xué)生自我形成知識建構(gòu)。

2.適時提升，體驗(yàn)“全過程”

在日常教學(xué)中，教師要重視學(xué)生體驗(yàn)知識產(chǎn)生和發(fā)展過程，理順知識的來龍去脈，理清知識呈現(xiàn)的過程，理解公式、定理和法則等的推導(dǎo)過程，杜絕死記硬背，給學(xué)生充分反思時間，逐步提升學(xué)生能力。第（2）問考查的知識，需要提醒學(xué)生關(guān)注第一個正確命題，找準(zhǔn)關(guān)鍵點(diǎn)，體會不構(gòu)成平行四邊形是考慮邊的數(shù)量關(guān)系不滿足平行四邊形的判定，從而大膽猜測證明一條與另外三條不相等，類似解決方法在2011年《中考數(shù)學(xué)能力自測》208頁第2題最后一問中有所體現(xiàn)。對于新穎的能力提升題，應(yīng)讓學(xué)生在體驗(yàn)分析和解決問題的全過程，做到事半功倍。

二、挖掘思想方法，體驗(yàn)解題過程

本題運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法較多，包括化歸、數(shù)形結(jié)合、特殊到般，以及方程等思想。解決本題離不開數(shù)學(xué)思想的綜合運(yùn)用，教師在教學(xué)中應(yīng)關(guān)注這幾種思想的展現(xiàn)過程：

1.體驗(yàn)過程，重視思考和交流

“解題就是把要解的題轉(zhuǎn)化為已解過的題”。數(shù)學(xué)解題過程就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡單的化歸轉(zhuǎn)換過程。“學(xué)而不思則罔”，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生解題時勤于思考，不僅立足原題思考，還要有舉一反三和觸類旁通的變式思考。拿到壓軸題后，不要急于動手，而是思維在先。有相當(dāng)一部分學(xué)生在壓軸題上失分，并不是沒有解題思路，而是錯在非?；靖拍詈秃唵斡?jì)算或輸在“審題”上。講解本題時，我讓學(xué)生嘗試把自己體會主動大膽講給其他同學(xué)聽，遇到問題要善于和同學(xué)、老師辯一辯，堅(jiān)持真理，改正錯誤。當(dāng)時第（2）問他們討論得很熱烈，討論重點(diǎn)并不是淺顯的成立不成立，而是如何去說明不構(gòu)成平行四邊形，個別同學(xué)甚至已初步得出PB比另外3條小的突破點(diǎn)。通過思考、交流和體驗(yàn)過程，慢慢展示自己分析問題能力，再加上扎實(shí)基本功，壓軸題也不在話下。

2.優(yōu)化思維，提煉思想和方法

講課時，教師要注意展示學(xué)生解題的思維過程，更要注重典型題目的運(yùn)算技巧。2011年蘇州市中考數(shù)學(xué)閱卷老師深有感觸：許多同學(xué)做壓軸題時存在思維混亂問題。中考時間畢竟有限，要解決這么多問題，應(yīng)在考前沖刺做文章。臺上一分鐘，臺下十年功。日常訓(xùn)練中對待一些疑難問題，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多些思考、探究和嘗試，發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新性解法。要教會學(xué)生“大題小做”，即對一些綜合題應(yīng)化“大”為“小”，以“庖丁解?！钡木?、神，把它“肢解”成小問題，然后對這些小問題逐個推導(dǎo)，找出規(guī)律，再將其融合升華為大題。要注重培養(yǎng)學(xué)生直接觀察、大膽猜測及多種數(shù)學(xué)思想的靈活運(yùn)用，讓學(xué)生碰見難題時“化難為易，化繁為簡，化未知為已知”，切實(shí)提高學(xué)生基本功。

俗話說，“授人以魚不如授人以漁?！庇梢坏李}的解決方法出發(fā)，掌握一類題的普遍做法，是應(yīng)倡導(dǎo)的教學(xué)技巧?；诖耍槍μK州市2011年中考數(shù)學(xué)中的這道壓軸題，要引導(dǎo)學(xué)生理清這類題的大致思路及般解法，找出其共性；更要抓住其中細(xì)微區(qū)別，找出其特殊性。當(dāng)然，更希望學(xué)生不僅會對老師講過的題“依葫蘆畫瓢”，而且對其變式題更要做到求“同”存“異”。其實(shí)，數(shù)學(xué)題目存在無限的數(shù)量，題型類別也豐富多彩，但數(shù)學(xué)的思想方法卻還是相對有限的，特別是還存在中考大綱的范圍限制。因此，相信只要學(xué)好有關(guān)基礎(chǔ)知識，掌握必要數(shù)學(xué)思想方法，就能輕松應(yīng)對各種題目和題型，提升數(shù)學(xué)邏輯和思維能力。