文/羅新軍

淺談高中數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的基本解法

文/羅新軍

數(shù)學(xué)應(yīng)用性問(wèn)題是指有實(shí)際背景或?qū)嶋H意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它反映了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)、科技的聯(lián)系，并要求學(xué)生用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想去建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問(wèn)題?！陡咧袛?shù)學(xué)新課標(biāo)》明確指出：學(xué)好高中數(shù)學(xué)課程有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，形成解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力。

數(shù)學(xué)應(yīng)用性問(wèn)題的題目創(chuàng)設(shè)了新穎的情境，注重考查學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力；其題目編寫(xiě)具有很強(qiáng)的時(shí)代氣息，有良好的教育價(jià)值，體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的社會(huì)性和時(shí)代性；其考查密切結(jié)合課本，注重考查高中數(shù)學(xué)課本中的重點(diǎn)內(nèi)容。應(yīng)用題在數(shù)學(xué)高考中主要考查的基本內(nèi)容為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何等。

范例展示：

1、概率與統(tǒng)計(jì)模型

(2014年安徽高考數(shù)學(xué)文科17題)某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時(shí))

(Ⅰ)應(yīng)收集多少位女生樣本數(shù)據(jù)？

(Ⅲ)在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4個(gè)小時(shí)。請(qǐng)完成每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”。

由頻率分布直方圖得每周平均體育運(yùn)動(dòng)超過(guò)4小時(shí)的頻率為1-2×(0.100+0.025)=0.75，所以該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)的概率的估計(jì)值為0.75。

由(2)知，300位學(xué)生中有300×0.75=225(位)的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)，75人的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過(guò)4小時(shí)．又因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中有210份是關(guān)于男生的，90份是關(guān)于女生的，所以每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表如下：

男生女生總計(jì)每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過(guò)4小時(shí)453075每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)16560225總 計(jì)21090300

所以有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別關(guān)”。

2、三角函數(shù)模型

求實(shí)驗(yàn)室這一天上午8時(shí)的溫度。

故實(shí)驗(yàn)室上午8時(shí)的溫度為10 ℃。

3、線性規(guī)劃模型

(2010年陜西高考數(shù)學(xué)理科14題)鐵礦石A和B的含鐵率a ，冶煉每萬(wàn)噸鐵礦石的CO2排放量b及每萬(wàn)噸鐵礦石的價(jià)格c如下表：

ab(萬(wàn)噸)c(百萬(wàn)元)A50%13B70%0.56

某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9(萬(wàn)噸)鐵，若要求CO2的排放量不超過(guò)2(萬(wàn)噸)則購(gòu)買(mǎi)鐵礦石的最少費(fèi)用為 (萬(wàn)元)

解：設(shè)鐵礦石A購(gòu)買(mǎi)了x萬(wàn)噸，鐵礦石B購(gòu)買(mǎi)了y萬(wàn)噸，購(gòu)買(mǎi)鐵礦石的費(fèi)用為z百萬(wàn)元，則由題設(shè)知，本題即求實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件

由上述示范性例題總結(jié)出解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題的流程如下：

1、從實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題出發(fā)。2、明確題意，找出題設(shè)與結(jié)論的數(shù)學(xué)關(guān)系——數(shù)量關(guān)系或空間位置關(guān)系。3、分析、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、抽象，在分析聯(lián)想的基礎(chǔ)上，將實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型。4、運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，解答數(shù)學(xué)模型。5、依據(jù)題意或現(xiàn)實(shí)生活的實(shí)際情況，將解答的結(jié)果轉(zhuǎn)譯成具體的實(shí)際問(wèn)題的結(jié)論。

上面的有關(guān)數(shù)學(xué)應(yīng)用性問(wèn)題的基本解法和技巧是本人在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中歸納出的一些基本經(jīng)驗(yàn)，希望對(duì)廣大的讀者有所幫助和啟發(fā)，有不足之處望給予指正。

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2095-9214(2015)02-0074-01

新疆疏附縣第二中學(xué))