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非平穩(wěn)到達(dá)的非標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率

胡莎娜，王傳玉，王健

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖241000)

摘要：考慮一種非標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)險(xiǎn)模型，模型中假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程是非平穩(wěn)到達(dá)的，在負(fù)相依場(chǎng)合下，當(dāng)索賠次數(shù)滿足大偏差原理時(shí)，獲得了索賠額分布服從ERV下有限水平和無(wú)限水平的破產(chǎn)概率漸進(jìn)表達(dá)式。

關(guān)鍵詞：風(fēng)險(xiǎn)模型；破產(chǎn)概率；ERV；非平穩(wěn)過(guò)程；負(fù)相依

近幾年來(lái)隨著保險(xiǎn)行業(yè)的發(fā)展，對(duì)保險(xiǎn)公司破產(chǎn)問題的研究已成為熱點(diǎn)。研究對(duì)象從小索賠到大索賠(這里大索賠是指由火險(xiǎn)，風(fēng)暴險(xiǎn)與洪水險(xiǎn)等災(zāi)難性險(xiǎn)種引起的索賠),索賠額分布從輕尾到重尾。研究中通常假設(shè)索賠額分布是獨(dú)立同分布的情形，而實(shí)際中常常不獨(dú)立，因此研究索賠額不獨(dú)立的風(fēng)險(xiǎn)模型更有意義；又經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中的平穩(wěn)假設(shè)條件太苛刻，與保險(xiǎn)公司發(fā)生索賠的較強(qiáng)隨機(jī)性的實(shí)際經(jīng)營(yíng)不符合，因此對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)模型的研究需要從泊松模型延伸到更新風(fēng)險(xiǎn)模型，非平穩(wěn)風(fēng)險(xiǎn)模型等。

Zhu[1]研究了在索賠額服從次指數(shù)的非平穩(wěn)到達(dá)的風(fēng)險(xiǎn)模型，利用大偏差原理來(lái)處理非平穩(wěn)條件，獲得了有限水平和無(wú)限水平的破產(chǎn)概率與整體尾部的漸進(jìn)表達(dá)式；肖鴻民等[2]討論了基于客戶來(lái)到的更新風(fēng)險(xiǎn)模型，在潛在索賠額序列為負(fù)相依同分布的重尾隨機(jī)變量屬于L∩D族的假設(shè)下，得到了有限時(shí)間破產(chǎn)概率的漸近表達(dá)式；胡岸[3]考察了索賠過(guò)程為帶有常數(shù)利息力的延遲更新模型，在負(fù)相依場(chǎng)合下，索賠額分布服從ERV(-α,-β)假設(shè)下，得到了最終破產(chǎn)概率的一個(gè)漸進(jìn)表達(dá)式。

本文在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上研究了重尾索賠下非平穩(wěn)到達(dá)的非標(biāo)準(zhǔn)延遲風(fēng)險(xiǎn)模型，即在文獻(xiàn)[3]模型的基礎(chǔ)上，假設(shè)索賠額序列是負(fù)相依的正值隨機(jī)變量序列，利用負(fù)相依性質(zhì)、重尾分布及大偏差原理，得出該模型的無(wú)限時(shí)間和有限時(shí)間破產(chǎn)概率漸進(jìn)表達(dá)式。本文區(qū)別于胡岸[3]的是考慮風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程N(yùn)t在非平穩(wěn)的情況下，將延遲更新風(fēng)險(xiǎn)模型拓展為非平穩(wěn)到達(dá)的風(fēng)險(xiǎn)模型，再根據(jù)Zhu[1]采用大偏差原理來(lái)處理Nt是非平穩(wěn)的條件。

1預(yù)備知識(shí)

重尾分布的幾個(gè)重要子類：

引理1[4]對(duì)于以上所述的重尾子族存在以下包含關(guān)系：

隨機(jī)變量的相依結(jié)構(gòu)：

定義5[3]如果對(duì)于一切實(shí)數(shù)x1和x2,有

或者等價(jià)地

則稱兩個(gè)隨機(jī)變量是負(fù)相依的。我們稱一個(gè)隨機(jī)變量序列{X1,X2…}是兩兩負(fù)相依的，如果對(duì)于所有正數(shù)i≠j,隨機(jī)變量Xi和Xj是負(fù)相依的。

首先考慮文獻(xiàn)[1]的風(fēng)險(xiǎn)模型：

(1)

其中Xi是獨(dú)立同分布的索賠分布，是一正值的隨機(jī)變量；u>0為保險(xiǎn)公司的初始資本盈余；p>0為保費(fèi)率；Nt表示一個(gè)簡(jiǎn)單的點(diǎn)過(guò)程。

這里我們考慮索賠額Xi是重尾的時(shí)候，分布函數(shù)B是次指數(shù)分布，B∈ζ,即

2模型建立

本文考慮一類非標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)險(xiǎn)模型，該模型的盈余過(guò)程可表示為：

(2)

由引理1可知，對(duì)于模型(1)中索賠額性質(zhì)在模型(2)中同樣滿足。

Ti=τi-τi-1是連續(xù)到達(dá)時(shí)間間隔，為保證保險(xiǎn)公司運(yùn)行上的安全，即凈利潤(rùn)條件應(yīng)為：

(3)

該模型的破產(chǎn)時(shí)刻定義為：

該風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程的最終破產(chǎn)概率定義為：

3無(wú)限水平破產(chǎn)概率的求解

為求解模型(2)的破產(chǎn)概率，我們先介紹大偏差及重要假設(shè)。

大偏差原理的介紹：序列(Pn)n∈N的概率測(cè)度以率函數(shù)I:X→R在拓?fù)淇臻gx滿足大偏差原理，如果I是非負(fù)的下半連續(xù)函數(shù)，且對(duì)任意可測(cè)集A,我們有

下面介紹本文的重點(diǎn)假設(shè)。

假設(shè)1(1)(Nt/t∈·)以率函數(shù)I(·)滿足大偏差原理，并且當(dāng)且僅當(dāng)x=μ時(shí)，I(x)=0。

(2)率函數(shù)I(·)在[μ,∞)是減函數(shù)，在[0,μ]是增函數(shù)。

由于以上假設(shè)條件滿足文獻(xiàn)[1]中的假設(shè)3.1條件，結(jié)合引理1，所以下列引理3和引理4成立。

引理3在假設(shè)1成立的前提下，對(duì)于任意ε,ε′>0,存在M>0,有：

(4)

引理4在假設(shè)1成立的前提下，進(jìn)一步假設(shè)B0∈ζ,則對(duì)任意小的ε>0,有：

(5)

具體證明見文獻(xiàn)[1]。

定理1在假設(shè)1成立的前提下，模型(2)的最終破產(chǎn)概率漸進(jìn)表達(dá)式可為：

(6)

證明：文獻(xiàn)[3]模型中的延遲更新風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程是在更新過(guò)程的基礎(chǔ)上僅放寬第一個(gè)時(shí)間間隔T1,允許其分布不同，所以根據(jù)平穩(wěn)過(guò)程的定義，該過(guò)程在時(shí)間間隔T1之后仍滿足平穩(wěn)性條件。而模型(2)是將延遲更新風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程擴(kuò)展為非平穩(wěn)過(guò)程，因此需要運(yùn)用Asmussen[8]中所提出的只要引理2成立便可放棄平穩(wěn)遍歷性假設(shè)的結(jié)論。所以當(dāng)模型(2)考慮Nt是非平穩(wěn)過(guò)程時(shí)，在滿足引理2的條件下，文獻(xiàn)[3]中的定理2.1仍然成立，即模型(2)的最終破產(chǎn)概率漸進(jìn)表達(dá)式可為：

4有限水平破產(chǎn)概率的求解

設(shè)e(u):=E[C1-u|C1>u]是平均超出函數(shù)，ψ(u,z):=P(τu>z),z>0,表示有限水平破產(chǎn)概率。

注1：[1](對(duì)數(shù)正態(tài)分布)如果

注2：[1](韋伯分布)如果B(u)=e-uα,這里

定理2在假設(shè)1成立的前提下，又B0∈ζ,則對(duì)?T>0,B∈g時(shí)，有：

(7)

證明：因?yàn)镹t滿足假設(shè)1,根據(jù)引理2,所以

所以對(duì)?ε″∈(0,1),對(duì)充分大的u有e(u)≥e(u+M)(1-ε″),可以得到：

(8)

對(duì)于B∈g,根據(jù)文獻(xiàn)[9]中Nt是更新過(guò)程時(shí)的結(jié)論以及引理5,

即

(9)

我們證明了下界，接著證明上界。

(10)

又由文獻(xiàn)[9]的推論1.6和文獻(xiàn)[9]的(2.19)式可得到

(11)

根據(jù)文獻(xiàn)[6]中第十章命題1.9有

(12)

因此對(duì)于?ε>0已經(jīng)證明了上界成立。

5結(jié)語(yǔ)

本文在研究常利息力延遲更新場(chǎng)合破產(chǎn)概率的基礎(chǔ)上，構(gòu)造索賠分布滿足ERV(-α,-β)下非平穩(wěn)風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程風(fēng)險(xiǎn)模型，提出當(dāng)索賠次數(shù)滿足大偏差原理時(shí)，采用大偏差原理來(lái)處理Nt是非平穩(wěn)性的條件，不再考慮模型中的索賠到達(dá)的非平穩(wěn)性條件，最終得到該風(fēng)險(xiǎn)模型下的索賠額滿足ERV(-α,-β)的無(wú)限時(shí)間和有限時(shí)間的破產(chǎn)概率漸近表達(dá)式，以期為保險(xiǎn)公司更好地規(guī)避巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)提供理論依據(jù)。

參考文獻(xiàn)：

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(責(zé)任編輯：李華云)

Ruin Probabilities with Non-Stationary Arrivals for the

Non-Standard Risk Model

HU Shana，WANG Chuanyu，WANG Jian

(College of Math & Phy, Anhui Polytechnic University, Wuhu Anhui241000, China)

Abstract：This paper considered a non-standard risk model, in which it was assumed that claims are negative dependent and the risk processes is non-stationary arrival. We obtain the asymptotic expression of claims that obeys ruin probability in finite level and infinite level under ERV distributions when claim satisfies the large deviation principle.

Keywords：Risk model; Ruin probability; ERV; Non-stationary processes; negative dependent

作者簡(jiǎn)介：胡莎娜(1990-)，女，浙江紹興人，碩士生，主要研究方向?yàn)榫銛?shù)學(xué)。

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61203139);安徽省重點(diǎn)教研項(xiàng)目(2012jyxm277)

收稿日期：2014-10-12

中圖分類號(hào)：O211.9

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1671-5322(2015)01-0016-04

doi:10.16018/j.cnki.cn32-1650/n.201501004