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帶擾動的廣義Erlang(n)風險過程最大虧損問題研究

王健，王傳玉，周金樂

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,安徽 蕪湖241000)

摘要：運用Laplace變換，研究了帶擾動的廣義Erlang(n)風險模型最大虧損的分布，求得滿足生存概率的一個積分-微分方程的解。它的解可以表示為2n階線性獨立特解的一個線性組合，當n=2時，得到最大虧損分布的精確表達式,再通過一個實例來說明該研究結(jié)果。

關(guān)鍵詞：帶擾動的廣義Erlang(n)風險模型；廣義Erlang(n)索賠間隔；積分-微分方程；最大虧損

風險理論是對風險定量分析和預(yù)測的一種理論。保險公司在經(jīng)營過程中面臨許多潛在風險，嚴重影響著保險公司的經(jīng)營成果。當保險公司賠付發(fā)生后，其盈余可能為負，這時如果保費收入遠小于保險公司的賠付，就會導(dǎo)致保險公司破產(chǎn)。最大虧損(公司盈余首次為負后的最大破產(chǎn)值分布)是研究保險公司破產(chǎn)的一個重要指標，保監(jiān)會也需要通過這個指標來衡量保險公司的風險承受能力。研究最大虧損量可以有效控制保險公司的經(jīng)營風險，保護保險公司的經(jīng)營成果，所以對保險公司最大虧損的研究具有非常重要的現(xiàn)實意義。

破產(chǎn)理論的研究可以追溯到瑞典精算師Filip Lundberg在1903年發(fā)表的博士論文[1]。在這篇論文中，Lundberg首次提出了一類重要的隨機過程Poisson過程，但Lundberg的工作還是不太符合現(xiàn)代數(shù)學(xué)的嚴格標準。后來以Harald Cramer為首的瑞典學(xué)派將Lundberg的工作奠定在堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上，同時Cramer也將破產(chǎn)論建立在隨機過程理論的基礎(chǔ)上，并發(fā)展了隨機過程理論。Bergel等[2-3]研究了Erlang(n)風險模型和廣義Erlang(n)風險模型下的Lundberg方程，運用得到的結(jié)果去計算出破產(chǎn)最大虧損的分布，然后考慮一個利息力，研究了預(yù)期紅利貼現(xiàn)，考慮一般索賠額分布，通過Albrecher[4]所提出的更一般的方法去代替。Li等[5]研究了Erlang(n)風險過程中破產(chǎn)前的最大盈余分布所滿足的積分-微分方程及其邊界條件，它的解可以表示為n個線性獨立特解的一個線性組合。特別地，當索賠服從有理分布時，給出了精確結(jié)果。最后運用以上結(jié)果表示出最大虧損的分布和在一個常利率情況下考慮一個障礙策略。

國內(nèi)學(xué)者，張春生等[6]主要研究了帶干擾的Erlang(2)風險模型中的生存概率問題。王珊珊等[7]研究了帶干擾的廣義Erlang(n)風險模型破產(chǎn)前資產(chǎn)余額的最大值的分布問題，推導(dǎo)出破產(chǎn)前資產(chǎn)余額的最大值滿足具有一定邊界條件的齊次積分微分方程，與單純的廣義Erlang(n)風險模型相比較，他們的論證更為復(fù)雜，結(jié)果更為精細。江五元等[8]考慮了索賠時間間距為廣義Erlang(n)分布的帶干擾更新風險過程，建立了破產(chǎn)前最大盈余所滿足的積分微分方程，討論了索賠量分布為Km分布時的特殊情形。以上研究結(jié)果都對本課題的研究提供了理論方法上的借鑒。

本文將在帶干擾的廣義Erlang(n)風險過程，通過Laplace變換求出一個積分-微分方程的解，繼而對最大虧損進行研究。

1模型的建立

本文中，我們將通過以下模型來研究盈余過程：

(1)

我們對(1)模型中感興趣的主要研究對象，設(shè)置一些數(shù)學(xué)定義：

定義1破產(chǎn)時刻表示為

當且僅當?t≥0,U(t)≥0。

定義2最終破產(chǎn)概率定義為Ψ(u)=P(T<∞)和相應(yīng)的不破產(chǎn)概率(生存概率)

定義3盈余水平從最初盈余水平u達到水平b(不包括第1次跌破0)的概率為

其中τb=inf{t>0:U(t)≥b|U(0)=u}表示盈余水平第1次達到水平b的時刻。

2積分-微分方程

定理1χ(u,b)滿足一個n階積分-微分方程，表示為以下形式：

(2)

其中，D表示一個微分算子，

是一個2n階線性微分算子。

證明：通過Gerber等[9]，我們可以得到定理中需要的積分-微分方程。

通過積分微分方程定理[5]，方程(2)的一般解形式為：

(3)

其中，對i=1,2,…,2n，vi(u)是(2)式的2n個線性獨立的特解，ηi(b)是任意實數(shù)。這樣得到：

(4)

其中，η1(b)、η2(b)、…、η2n(b)由下列線性方程組決定

(5)

(6)

通過上述分析，為了方便，我們設(shè)v(u)表示(2)式的特解。下面我們對v(u)進行精細的分析。

3積分-微分方程的解

定理2假設(shè)ρ1、ρ2、…、ρn、ρ0=0是互不相同的，下列方程是積分-微分方程(2)的線性獨立特解：

(7)

其中，

證明：首先，由文獻[10]中的(12)式，我們知道

(8)

這是一個廣義的Lundberg方程。設(shè)ρ1,ρ2,…,ρn,ρ0=0是方程(8)的實部大于0的2n個根。

定義積分實函數(shù)f算子[11]Tr為

r∈C,R(r)≥0,x≥0

對方程(2)兩邊同時進行Laplace變換，左邊有：

右邊有：

這樣得到：

則得：

(9)

因為ρ1,ρ2,…,ρn互不相同，根據(jù)拉格朗日插值定理得：

通過差分定理得：

這樣，(9)式可以寫為：

(10)

轉(zhuǎn)化(10)式，我們就可以得到定理中的結(jié)論。

4最大虧損

假設(shè)破產(chǎn)后盈余過程繼續(xù)，考慮從破產(chǎn)發(fā)生時刻到公司再次盈余時公司破產(chǎn)的最大程度。定義以下概念：

定義4破產(chǎn)后盈余過程首次突破0的時刻為T′=inf{t:t>T，U(t)≥0},T為有限的。

定義5盈余在T≤t≤T′的時間間隔中最大破產(chǎn)為

定義6破產(chǎn)發(fā)生后，最大破產(chǎn)的條件分布函數(shù)定義為

定義7破產(chǎn)發(fā)生后，破產(chǎn)發(fā)生時的赤字最大為y時的概率為

定理3在模型(1)中，當n=2時，最大虧損可以寫成如下形式：

證明由Dickson[12]可知，

(11)

其中，g(u,y)=?G(u,y)/?y

當n=2時，由(4)知：

由Wang等[7]得：

則，

(12)

因此，只要知道v2(u),v4(u)就可以得到χ(u,b)的具體表達式了。

Li[13]中給出，

(13)

(14)

同理可得

(15)

綜合(12)、(14)、(15)，得到χ(u,b)的具體表達式

根據(jù)式(11)，得到

而

整理以上結(jié)論得到破產(chǎn)后最大虧損的精確表達式，即定理所給出的形式。

5實例分析

前述給出了公司破產(chǎn)最大虧損的表達式，下面將通過實例來說明。首先，考慮破產(chǎn)概率Ψ(u)=P(T<∞)。

引理1風險模型(1)的最終破產(chǎn)概率為

(16)

其中，R為調(diào)節(jié)系數(shù)。

證明詳見文獻[14]中的證明。

又由定義(2)得

(17)

考慮調(diào)節(jié)系數(shù)R，文獻[15]詳細地介紹了干擾項{W(t)∶t≥0}對破產(chǎn)概率的影響，其中最重要的影響就是擾動系數(shù)σ對于調(diào)節(jié)系數(shù)R的影響。文中給出調(diào)節(jié)系數(shù)R明顯地依賴于布朗運動擾動系數(shù)σ，具體來說就是調(diào)節(jié)系數(shù)R與擾動強度σ呈負相關(guān)關(guān)系，擾動強度σ越大，調(diào)節(jié)系數(shù)R就越小，破產(chǎn)概率Ψ(u)就越大，這與實際情況是相符合的。

例考慮風險模型(1)為索賠額服從參數(shù)為β的指數(shù)分布，相對安全負載系數(shù)c，設(shè)ρ1=ρ2=ρ是廣義Lundberg方程的一個實部大于0的重根，R為調(diào)節(jié)系數(shù)。

由(17)可得定理3中部分式為：

(18)

(19)

將式(18)(19)帶入定理3，可得

(20)

(21)

(22)

綜合(21)、(22)式，可得

J(z;u)=0.09η4(0.007e4.596z+0.167e-z+

1.043e-0.768z-0.283)+60.093η2(0.007e4.596z+0.043e-0.768z-0.05)

同理，

當擾動強度σ2=1，調(diào)節(jié)系數(shù)R=0.452時，可得

(23)

(24)

綜合(23)、(24)式，可得

J(z;u)=0.18η4(0.011e4.596z+0.098e-z+

1.145e-0.452z-0.667)+60.093η2(0.011e4.596z+0.145e-0.452z-0.119)

當擾動強度σ2=2，調(diào)節(jié)系數(shù)R=0.292時，可得

(25)

(26)

綜合(25)、(26)式，可得

J(z;u)=0.045η4(0.009e4.596z+0.064e-z-

0.292e-0.292z-0.862)+60.093η2(0.009e4.596z+0.184e-0.292z-0.154)

最后，運用Matlab軟件進行模擬。

當σ2=1時，可以得出如圖1結(jié)果。

當σ2等于2和0.5時，結(jié)合σ2=1可得如圖2結(jié)果。

圖1　σ2=1，J(z;u)的值Fig.1　The results of J(z;u) when σ2=1

圖2　σ2為不同值時，J(z;u)值比較Fig.2　The results of J(z;u) when σ2 is different values

由圖2可以明顯的看出擾動系數(shù)越小(σ2=0.5)對保險公司最大破產(chǎn)的干擾就越偏低，擾動系數(shù)越大(σ2=2)對保險公司最大破產(chǎn)的影響就偏大，這也是符合實際的。

上例中我們給出了計算保險公司最大虧損的實例，通過圖1和圖2可以看出擾動的大小對保險公司最大虧損存在著影響。由于本文中所取擾動量相近，圖中所呈現(xiàn)的變化不太大，但是在保險公司的實際經(jīng)營中，干擾的情況會隨時的發(fā)生，而且每個干擾之間可能有很大的區(qū)別，所以可能會給保險公司帶來較大的風險。根據(jù)以上結(jié)果我們建議保險公司在經(jīng)營時應(yīng)該保持穩(wěn)定，避免有大起大落，在簽署保單的時候應(yīng)控制保單的數(shù)量和質(zhì)量，有利于避免騙?，F(xiàn)象，防止出現(xiàn)由于大量質(zhì)量不好的保單造成大額索賠，避免對保險公司經(jīng)營的干擾。

6小結(jié)

最大虧損是研究公司破產(chǎn)的一個重要指標，研究最大虧損量可以有效控制保險公司的賠付，進而有利于保護保險公司和有利于其監(jiān)督機構(gòu)對保險公司的監(jiān)督。本文主要討論了在帶擾動的廣義Erlang(n)風險過程中公司盈余首次為負后，盈余過程繼續(xù)，考慮從破產(chǎn)發(fā)生時刻到公司再次盈余過程公司破產(chǎn)的最大程度，并給出n=2時最大虧損的精確表達式。本文在前學(xué)者研究帶擾動的廣義Erlang(n)風險過程的基礎(chǔ)上進行了進一步研究，使最大虧損得到更好的表達，以期有利于后來學(xué)者對于保險公司破產(chǎn)的研究。

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(責任編輯：張英健)

The Maximum Severity of Ruin in a Generalized Erlang(n)

Risk Process Perturbed by Diffusion

WANG Jian, WANG Chuanyu, ZHOU Jinle

(School of Mathematics and Physics, Anhui Polytechnic University, Wuhu Anhui241000, China)

Abstract：In this paper, we discuss the distribution of the maximum severity of ruin from the time of ruin until the time that the surplus returns to level 0 in a generalized Erlang(n) risk process perturbed by diffusion. Then, we solve an integro-differential equation that is satisfied by the survival probability by the way of Laplace transform. Its solution can be expressed as a linear combination of 2n linearly independent particular solutions of the integro-differential equation. When n=2, the maximum severity of ruin can be expressed explicitly in terms of the non-ruin probability. Finally, the research results of this paper are illustrated through an instance.

Keywords：the generalized Erlang(n) risk process perturbed by diffusion; generalized Erlang(n) claim waiting time; the integro-differential equation; the maximum severity of ruin

作者簡介：王健(1989-)，男，安徽六安人，碩士生，主要研究方向為精算數(shù)學(xué)。

基金項目:國家自然科學(xué)基金項目(61203139);安徽省重點教研項目(2012jyxm277)

收稿日期：2014-11-19

中圖分類號：O211.9

文獻標識碼：A

文章編號：1671-5322(2015)01-0009-07

doi:10.16018/j.cnki.cn32-1650/n.201501003