康寶林,蔡向陽,徐明娜

(鞍山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,遼寧 鞍山 114007)

環(huán)境污染下基于最優(yōu)捕獲的Filippov系統(tǒng)的穩(wěn)定性

康寶林,蔡向陽,徐明娜

(鞍山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,遼寧 鞍山 114007)

建立了一類環(huán)境污染下治理污染物及捕獲種群的Filippov系統(tǒng)，給出了各類平衡點及偽平衡點的穩(wěn)定性.

環(huán)境污染；Filippov系統(tǒng)；平衡點；穩(wěn)定性

我國水環(huán)境問題比較復(fù)雜，在現(xiàn)有經(jīng)濟(jì)技術(shù)條件下，解決水環(huán)境問題需要經(jīng)過一個緩慢的過程.因此,研究河流生態(tài)系統(tǒng)在受污染下的漁業(yè)資源捕獲問題具有重要的意義.本文以非光滑動力系統(tǒng)[1]為理論基礎(chǔ)，建立了環(huán)境污染中漁業(yè)資源管理的Filippov系統(tǒng)[2,3],給出了系統(tǒng)的一些動力學(xué)性質(zhì).

1 模型的相關(guān)知識

考慮如下Filippov模型

(1)

及

(2)

2 動力學(xué)性質(zhì)分析

在模型(1)及(2)中，我們將種群體內(nèi)毒素濃度作為指標(biāo)函數(shù)，則模型(1)和(2)能寫成

(3)

其中，

根據(jù)文獻(xiàn)[4]中定義1.1～1.4，將研究模型(3)的動力學(xué)性質(zhì)，由

可得滑線區(qū)域

即

根據(jù)文獻(xiàn)[4]中定義1.1，可得滑線動力系統(tǒng)

(4)

對于系統(tǒng)(1)平衡點滿足方程

若

則系統(tǒng)(1)存在唯一的真平衡點，記為

反之，若

對于系統(tǒng)(2)平衡點滿足方程

若

則系統(tǒng)(2)存在唯一的真平衡點，記為

反之，若

(i)若

(ii)若

(iii)若

(5)

解得

(6)

通過以上分析，當(dāng)系統(tǒng)(5)成立時，xp為正根，系統(tǒng)(3)的偽平衡點存在.因此可得如下定理：

定理1 如果條件(5)成立，則系統(tǒng)(3)存在一個全局漸近穩(wěn)定的偽平衡點Ep.

證明 通過對(6)式分析，當(dāng)條件(5)成立時，xp>0且唯一，由于

[1]KunzeM.Non-Smoothdynamicalsystems[M].Koln：UniversitatKoln,2000.

[2]FilippovAF.Differentialequationswithdiscontinuousrighthandsides[M].Dordrecht:KluwerAcademic,1988.

[3]BernardoMD,SearaTM,TeixeiraMA.GenericbifurcationsoflowcodimensionofplanarFilippovSystems[J].JournalofDifferentialEquations,2011,250(4):1967-2023.

[4] 尚晉,劉兵,康寶林.一個兩階段結(jié)構(gòu)害蟲治理Filippov模型的動力學(xué)性質(zhì)研究[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報,2013,28(3):485-492.

KANG Baolin，CAI Xiangyang，XU Mingna

(SchoolofMathematicsandInformationScience，AnshanNormalUniversity,AnshanLiaoning114007,China)

(責(zé)任編輯：張冬冬)

Stability of Filippov system concerning optimal harvest in a polluted environment

We formulate a Filippov system on pollution treatment,harvest populations in a polluted environment,and obtain kinds of equilibrium and proof the stability of pseudo equilibrium. Key words environmental pollution;Filippov system;equilibrium;stability

2015-07-21

康寶林(1983-),男，內(nèi)蒙古呼和浩特人，鞍山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院講師.

O29

A

1008-2441(2015)06-0018-03