林梅羽

(莆田學(xué)院 基礎(chǔ)教育學(xué)院，福建 莆田 351100)

Banach空間中線性算子的廣義Drazin逆的幾種新特性

林梅羽

(莆田學(xué)院 基礎(chǔ)教育學(xué)院，福建 莆田 351100)

Banach空間；舒爾補(bǔ)；Drazin逆；分塊矩陣

1958年，美國數(shù)學(xué)家M.P.Drazin利用R.Penrose定義了廣義逆，并在研究結(jié)合環(huán)的代數(shù)結(jié)構(gòu)中還定義了一種偽逆，這里所說的偽逆即為后來被大家廣泛稱為的Drazin廣義逆.1976年，Campbell、Meyer 和Rose[1]對矩陣的Drazin廣義逆的連續(xù)性做了大量的研究并討論了方陣的Drazin逆在奇異系數(shù)線性微分方程中的一些應(yīng)用.從此以后，眾多學(xué)者們開始研究矩陣的Drazin廣義逆，于是使得矩陣的Drazin廣義逆得到了空前的發(fā)展.1979年，Campbell[2]討論了方陣的Drazin逆在奇異常系數(shù)矩陣差分方程中的應(yīng)用，得出了一系列的結(jié)論，同時提出了一種特殊分塊矩陣的Drazin逆的表達(dá)式的open問題，遺憾的是該問題至今仍未得到解決.

1 幾個引理

設(shè)A是幺元為1的B代數(shù)，且a∈A.記σ(a)、r(a)和ρ(a)分別為a的譜、譜半徑和分解集合.記A-1為B代數(shù)A的可逆元素集，A0為B代數(shù)A的冪零元素集，A00為B代數(shù)A的擬冪零元素集.

如果存在元素b∈A滿足：bab=b,ab=ba,a-a2b∈A00，則稱b是a的廣義Drazin逆，且b是唯一的，記作b=ad.

顯然，當(dāng)a-a2b∈A0時，廣義Drazin逆即為Drazin逆，也就是說Drazin逆是廣義Drazin逆的一種特殊情況.當(dāng)a-a2b∈A0換成a=aba時,Drazin逆即為群逆，也就是說群逆是Drazin逆的一種特殊情況，這里記a#為a的群逆.

如果存在元素p=p2∈A滿足：a+p∈A-1，ap=pa∈A00，則稱p是a的譜冪等元，且p是唯一的，記作p=aπ.

再給出本文的幾個重要的新特性之前，先給出幾個即將用到的重要引理.

引理1 設(shè)A是幺元為1的B代數(shù)，p是A冪等元.如果x∈pAp，那么

證明詳細(xì)參見參考文獻(xiàn)[9].

引理2 設(shè)b,q∈A00，且qb=0.則b+q∈A00.

證明詳細(xì)參見參考文獻(xiàn)[9,10].

引理3 設(shè)b∈Ad，a∈A00.

證明詳細(xì)參見參考文獻(xiàn)[9].

和

證明 由廣義Drazin逆的定義可知：

于是

又

證明 由x∈Ad可得，存在a∈A滿足：xax=x，ax=xa，a-a2x∈A00.于是，

則u-1xu∈Ad.又

在滿足遠(yuǎn)景新增110 MW負(fù)荷需求及單臺機(jī)組或柔直單極的備用容量情況下，從投資費用F最低的角度出發(fā)，建立考慮1回80 MW容量的柔直和天然氣供電方案的整數(shù)規(guī)劃模型如下：

證明 首先證明(1)和(2)等價.

由aπbsd=adbsπ和sπcad=sdcaπ易知：aπbsdcad=adbsπcaπ.

于是再次利用矩陣乘法運算驗證可知：

最后證明(2)和(3)等價.

aaπbsd=0和aπbsds=0.

從而bsds=aadbsds=aadb，則

aπb=b-aadb=b-bsds=bsπ.

反之，由aπb=bsπ可知：aπbsd=adbsπ.

同理可證sπcad=sdcaπ等價于sπc=caπ.

因此，(2)和(3)等價.

2 廣義Drazin逆的幾種新特性

caπbssd=0，aaπbssd=0，ssπc=0，aπbsπc=bsπcaad=0，

則a∈Ad，且

(1)

證明 由aπ+aad=p和sπ+sasπ=1-p可知：

利用矩陣乘法結(jié)合已知條件易知：yz=0.

首先證明y∈A00.

由引理1易知：y2∈A00.

容易驗證y1y2=0，從而由引理2可知：y1+y2∈A00.

接著證明z∈Ad.

由引理3可知：x∈Ad且

從而

綜上所述：

根據(jù)定理1中的(1)式很容易得到如下推論，下面給出的推論1即為文獻(xiàn)[8]中定理2.5的推廣形式.

(2)

如果假設(shè)定理1中的廣義舒爾補(bǔ)是可逆的，則易知sπ=0且得到下面的推論2，該推論即為文獻(xiàn)[9]中定理3.1的推廣形式.

(3)

下面給出不同條件的結(jié)論，其證明過程類似上面方法，在此不再給出詳細(xì)證明，感興趣的讀者不妨可以試著推導(dǎo)一下.

aaπ-aπbsdcaπ=0，sπcaπ=0，caπb=0，aπbsπ=0，ssπc=0=bssπ，

則x∈Ad，且

(4)

(5)

(6)

3 結(jié)束語

[1]SLCampbell,CDMeyer,NJRose.ApplicationoftheDrazininversetolinearsystemofdifferentialequationswithsingularconstantcoefficients[J].SIAMJApplMath,1976,31:411-425.

[2]SLCampbell,CDMeyer.GeneralizedInverseofLinearTransformations[M].London：Pitman,1979.

[3]XChen,RobertE,Hartwig.Thegroupinverseofatriangularmatrix[J].LinearAlgebraAppl,1996,237:97-108.

[4]JMiao.ResultsofDrazininverseofa2X2blockmatrices[J].JShanghaiNormalUniversity,1989,18:25-31.

[5] 董鵬飛.Schur補(bǔ)為零的分塊矩陣Drazin逆表示[D].哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)，2011.

[6] 郭美華,劉丁酉.分塊2次冪零矩陣的廣義Schur補(bǔ)[J].武漢大學(xué)學(xué)報，2015,31(3):633-637.

[7] 卜長江,王光輝,宋曉翠.廣義Schur補(bǔ)可逆的一些分塊矩陣的Drazin逆表示[D].哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)，2012.

[8] 朱永林.分塊冪等矩陣中廣義Schur補(bǔ)的冪等性[J].數(shù)學(xué)實踐與認(rèn)識,2014,44(6):295-298.

[9]NCastro-Gonzalez,MFMartinez-Serrano.DrazininverseofpartitionedmatricesintermsodBanachiewicz-Schurforms[J].LinearAlgebraAppl，2010,432:1691-1702.

[10]CUIRunqing,LIXinglan,GAOJingli.ThedrazininverseofAmodifiedmatrixA-CB[J].JofMath,2014,34(1):12-16.

Several representations of the Drazin inverse of the linear operator in a Banach space

LIN Meiyu

(SchoolofBasicEducation,PutianUniversity,PutianFujian351100,China)

(責(zé)任編輯：張冬冬)

2015-10-13

林梅羽(1959-),男，福建莆田人，莆田學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院高級講師.

O177.2

A

1008-2441(2015)06-0012-06