谷曉沛,李樹多

(鞍山師范學(xué)院 教育科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,遼寧 鞍山 114007)

基于Riccati方程和不等式方法的H∞控制

谷曉沛,李樹多

(鞍山師范學(xué)院 教育科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,遼寧 鞍山 114007)

研究了基于Riccati方程和Riccati不等式方法的H∞次優(yōu)控制，比較了兩種方法得到的次優(yōu)值大小關(guān)系，得出一些相關(guān)的結(jié)論.

H∞控制；Riccati方程；Riccati不等式

代數(shù)Riccati方程(簡(jiǎn)寫ARE)在控制系統(tǒng)綜合方面起著重要作用，在H2和H∞最優(yōu)控制理論中扮演著中心角色，下面介紹ARE的有關(guān)內(nèi)容.

設(shè)A、Q和R為n×n矩陣且Q和R為對(duì)稱陣，則稱矩陣方程

ATX+XA+XRX+Q=0

(1)

為一個(gè)代數(shù)Riccati方程.與Riccati方程相關(guān)聯(lián)的一個(gè)2n×2n矩陣

(2)

稱為Hamilton矩陣.

用dom(Ric)表示Riccati方程的定義域,X=Ric(H)表示X是與H相關(guān)的Riccati方程的解.

引理1[1]設(shè)H∈dom(Ric)及X=Ric(H),則

(i)X是實(shí)對(duì)稱的;

(ii)X滿足Riccati方程ATX+XA+XRX+Q=0;

(iii)A+RX是穩(wěn)定的.

引理2[1]設(shè)H在虛軸上無特征值,R或是半正定的,或是半負(fù)定的,則H∈dom(Ric)當(dāng)且僅當(dāng)(A,R)是可鎮(zhèn)定的.

引理3[1]設(shè)H具有形式

則H∈dom(Ric),當(dāng)且僅當(dāng)(A,B)是可鎮(zhèn)定的以及在虛軸上無不可觀的模態(tài).

給定一個(gè)Riccati方程,存在許多可能的解,所有解中我們感興趣的是那些實(shí)的、對(duì)稱的并且是鎮(zhèn)定的解，同時(shí)也對(duì)另外一族解感興趣,稱為極值(最大或最小)解.本節(jié)討論極值解與鎮(zhèn)定解之間的關(guān)系.

若考慮Riccati方程(1)，若X+≥X對(duì)方程(1)的所有Hermit解X成立，則X+稱為(1)的一個(gè)最大解；若X-≤X對(duì)方程(1)的所有Hermit解X成立，則X-稱為(1)的一個(gè)最小解.顯然，最大和最小解若存在則必是唯一的.

式(1)的左側(cè)是一個(gè)二次型矩陣，定義它為Q(X)，則

Q(X)=ATX+XA+XRX+Q.

引理4[1]設(shè)R≥0并設(shè)存在一個(gè)Hermit陣X=XT，使得Q(x)≤0.

(i) 若(A,R)是可鎮(zhèn)定的，則Riccati方程(1)存在唯一的最小解X-，進(jìn)而，對(duì)所有使得Q(x)≤0的X，有X-≤X及σ(A+RX-)?C-.

(ii) 若(-A,R)是可鎮(zhèn)定的，則Riccati方程(1)存在唯一的最大解X+，進(jìn)而，對(duì)所有使得Q(x)≤0的X，有X+≥X及σ(A+RX+)?C+.

1 H∞反饋控制

給定線性時(shí)不變(LTI)系統(tǒng)狀態(tài)方程

(3)

其中，x∈Rnp是系統(tǒng)狀態(tài)變量，u∈Rnu是控制輸入，ω∈Rnω是外部輸入，y∈Rny是測(cè)量輸出，z∈Rnz是固定輸出.

考慮輸出反饋控制器

(4)

其中，ζ∈Rnk是控制變量，閉環(huán)系統(tǒng)可描述為：

(5)

狀態(tài)變量xcl=(xT,ζT)T，傳遞函數(shù)矩陣為

Ccl=(Cz+DzDkCDzCk)，Dcl=Dzω+DzDkDω.

1.1 狀態(tài)反饋

(6)

和

Ps=Ric(H∞)≥0.

進(jìn)一步，如果這些條件滿足，那么u=Fx是一個(gè)次優(yōu)控制器，其中，F(xiàn)=-BTPs.

1.2 輸出反饋

(7)

引理6 給定常數(shù)γ>0，假設(shè)

ρ(PsSs)<γ2.

而且,當(dāng)這些條件成立時(shí),設(shè)計(jì)控制器

其中,

從引理6可以看出,在H∞次優(yōu)控制中,控制器的設(shè)計(jì)依賴于兩個(gè)Riccati方程的解.下面來研究方程的可解性問題.這里以狀態(tài)反饋為例.

1.3 方程

考慮方程

(8)

注意到與方程(8)相關(guān)的Hamilton矩陣是

(9)

本節(jié)重點(diǎn)在基于Riccati方程和Riccati不等式方法的H∞次優(yōu)控制值比較，因此不妨設(shè)X∞=Ric(H∞)，則X∞滿足Riccati方程

(10)

方程(10)左乘-X∞-1，右乘X∞-1，得到

(11)

P1=Ric(H∞(γ1))≥0，P2=Ric(H∞(γ2))≥0，P1>P2，

那么

γopt<γ1(P1)<γ2(P2)，

其中，γ1(P1),γ2(P2)是指由P1，P2設(shè)計(jì)控制器得到閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)范數(shù)的次優(yōu)值.

證明 因?yàn)镻1=Ric(H∞(γ1))≥0，P2=Ric(H∞(γ2))≥0，P1>P2，

(12)

(13)

式(12)減去式(13),得

若當(dāng)

由此可見，P是關(guān)于γ的減函數(shù)，因此γ(P+)是所有可能解設(shè)計(jì)控制器得到閉環(huán)系統(tǒng)函數(shù)傳遞函數(shù)范數(shù)的最小值.

1.4 不等式

考慮系統(tǒng)(6),狀態(tài)反饋H∞次優(yōu)控制特征.

引理7[2]γ是次優(yōu)值的充要條件是存在P>0，使得

(14)

如果P>0滿足(14)，那么F=-BTP使得γ(F)<γ.

定理2 系統(tǒng)(-ATC)T是可鎮(zhèn)定的，那么下列3個(gè)陳述等價(jià)：

(15)

定理2的證明與定理1的證明過程類似,此處略.

定理3 假設(shè)定理2條件成立，那么式(15)的解唯一,最大鎮(zhèn)定解P+>0具有性質(zhì)

定理3的證明與定理1的證明過程相似,此處證明略.

進(jìn)一步，存在序列Pj∈Sn使得

收斂到P+(j→+∞)并且γ(Pj)→γ(P+).

對(duì)于

具有類似的結(jié)果，得到關(guān)于輸出反饋H∞控制結(jié)果,這里不再具體陳述.

[1] 周克敏.魯棒與最優(yōu)控制[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2006.

[2]CScher.ThesolutionsetofthealgebraicRiccatiequationandthealgebraicRiccatiInequality[J].LinearAlgebra,1991,53:99-122.

[3]GZames.Feedbackandoptimalsensitivity:Modelreferencetransformations,multiplicativeseminormsandapproximateinverses[J].IEEETransactiononAutomaticControl,1981,26:301-320.

GU Xiaopei,LI Shuduo

(SchoolofEducationalScienceandTechnology，AnshanNormalUniversity,AnshanLiaoning114007,China)

(責(zé)任編輯：張冬冬)

Based on Riccati equation and inequality methodH∞control

In this paper,we give suboptimal control method based on Riccati equation and Riccati inequality,and compare the relationship between the two methods to get the suboptimal value,and some related conclusions are obtained. Key wordsH∞control;Riccatiequation;Riccatiinequality

2015-08-13

谷曉沛(1974-),女，遼寧鞍山人，鞍山師范學(xué)院教育科學(xué)與技術(shù)學(xué)院教師，博士生.

O231.1

A

1008-2441(2015)06-0007-05