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        高斯束展開法的注記之三:輻射阻抗的簡化計算*

        2015-02-28 17:37:54袁迎春丁德勝
        電子器件 2015年6期
        關(guān)鍵詞:貝塞爾聲場斯特

        袁迎春,丁德勝

        (1.南京信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院電子信息學(xué)院,南京 210023;2.東南大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院,南京 210096)

        高斯束展開方法已廣泛應(yīng)用于快速計算菲涅爾場積分,即聲場分布的計算。這種方法的實質(zhì)是將菲涅爾場積分展開為一系列簡單的基本函數(shù)的疊加,因而復(fù)雜的數(shù)值積分簡化為一些簡單函數(shù)(如Gaussian-Laguerre、Guassian-Hermite、高斯函數(shù)等)且項數(shù)不多的計算,計算量大為降低[1-6]。有關(guān)這一方法的詳細(xì)描述可以參考綜述文獻[6]。

        最近,我們給出高斯函數(shù)展開法的一種推廣[7-11]。將文獻中的圓形或矩形函數(shù)的高斯函數(shù)展開式或系數(shù)作為已知的結(jié)果,通過簡單的數(shù)學(xué)變換,將貝塞爾函數(shù)和一階Struve函數(shù)等特殊函數(shù)表示成高斯函數(shù)或其他簡單函數(shù)的疊加。利用這一方法,給出了聲學(xué)中一類圓形活塞聲源的指向性函數(shù)以及均勻活塞的輻射阻抗函數(shù)的計算結(jié)果,與文獻所給的相符合[9]。

        本文將這種方法直接應(yīng)用于一類圓形活塞聲源輻射阻抗的計算,包括均勻分布、邊緣簡單支撐和邊緣鉗定的情形。所得結(jié)果與直接從特殊函數(shù)計算所得到的值相比,符合很好。本文是文獻[9]研究結(jié)果的一種直接推廣,作為我們一系列研究報告的第三部分。

        1 輻射阻抗及其經(jīng)典結(jié)果[12]

        眾所周知,輻射阻抗是聲學(xué)中一個重要的參量,即由于聲源振動,聲輻射引起的附加于聲源的力阻抗。在電聲器件的設(shè)計中,除了要知道電聲器件振動系統(tǒng)的力學(xué)參數(shù)如質(zhì)量、彈性系數(shù)和力阻外,還必須知道由輻射聲場對聲源的反作用而產(chǎn)生的附加輻射阻和同振質(zhì)量。

        求聲源的輻射阻抗,實際上即求聲源振動時,媒質(zhì)中的輻射聲場對聲源的反作用力。除了少數(shù)幾種非常簡單的聲源,一般情況下,輻射阻抗的計算涉及到雙重面積積分,通常是振蕩型的積分。瑞利(Lord Rayleigh)采用十分巧妙的方法,將無窮剛性平面障板中圓形均勻振動活塞的輻射阻抗雙重面積積分,簡化成1階貝塞爾(Bessel)函數(shù)和1階斯特魯夫(Struve)函數(shù)等特殊函數(shù),已成為聲學(xué)中的經(jīng)典結(jié)果。

        Greenspan推廣了瑞利的經(jīng)典結(jié)果,研究了活塞振動速度分布具有形式

        的聲場輻射問題[12]。為便于讀者參考比較,我們盡量采用Greenspan的表述方式和記號。這里,r0為聲源所在平面z=0上的徑向坐標(biāo),即源點坐標(biāo),a是聲源或輻射器的半徑,V為聲源的體積速度,即

        n為一整數(shù),H表示亥維賽階躍函數(shù)。顯然,n=0對應(yīng)于均勻圓形活塞聲源情形;n=1和n=2分別對應(yīng)于最低階的邊緣(圓周r0=a處)簡單支撐和邊緣鉗定活塞情形。當(dāng)r0>a時,由式(1)總是有v(r0)=0,這意味著活塞聲源帶有無限大剛性平面障板。

        Greenspan研究的基本出發(fā)點乃是根據(jù)圓形軸對稱時諧聲場(隨時間的變化關(guān)系為eiωt,ω是角頻率)的King速度勢公式。一旦求出聲場的速度勢,則相應(yīng)的聲場量,諸如聲壓、質(zhì)點振速分布等皆可隨之而得出。對于具有式(1)振速分布的聲源,Greenspan得出聲場在其表面的反作用力,表示為

        式中,時間因子eiωt已省略。ρ0是媒質(zhì)(一般是空氣)的密度,m=(u2-k2)12,波數(shù)k=ω/c,c為媒質(zhì)的聲速。公式(3)中以及下文出現(xiàn)的Jn(z)和Hn(z)分別代表第一類n階貝塞爾(Bessel)函數(shù)和n階斯特魯夫(Struve)函數(shù)。Greenspan經(jīng)過十分仔細(xì)而繁復(fù)的推導(dǎo),得出了n=1,2,3時式(3)的顯式表示,也就是,將上面的積分簡化成幾項Bessel函數(shù)和Struve函數(shù)。而將比值F/ρ0cV=R+iX,即歸一化阻抗函數(shù),化成這些特殊函數(shù)的計算。以下我們列出這些阻抗函數(shù)公式。

        均勻圓形活塞(n=0)的歸一化的阻函數(shù)為

        這些近似公式可以作為本文計算正確與否以及計算精度的參照。

        通常情況下,高于一階的Struve函數(shù)一般不列表。Greenspan考慮到這一情況,將阻抗函數(shù)中出現(xiàn)的一階以上的貝塞爾(Bessel)函數(shù)和斯特魯夫(Struve)函數(shù),全部化成零階和一階形式。實際上直到如今21世紀(jì),一些常用的數(shù)學(xué)軟件Matlab或Mathcad,以及FORTRAN和C等計算機語言軟件包中,仍然不包括斯特魯夫(Struve)函數(shù)的計算程序或庫函數(shù)。

        由于貝塞爾函數(shù)和斯特魯夫函數(shù)在衍射理論中十分重要,而文獻中有關(guān)這兩種函數(shù)(特別是后者)的計算方法也不很多,所以我們給出貝塞爾函數(shù)Jn(z)和斯特魯夫函數(shù)Hn(z)的一些近似高斯展開表達(dá)式,并用于阻抗函數(shù)的計算。

        2 貝塞爾函數(shù)和斯特魯夫函數(shù)的高斯展開式

        Wen和Breazeale的一篇文章研究了圓形軸對稱活塞聲場分布的簡化計算方法,即高斯束展開法[4-5]。這篇文章的一個附帶結(jié)果表明:數(shù)學(xué)上,圓形函數(shù)

        其中Ak和Bk稱之為展開系數(shù)和高斯系數(shù),可以用計算機最優(yōu)化方法來求得。Wen和Breazeale給出了兩組數(shù)據(jù),其中一組10項的數(shù)據(jù)列在文獻[4]的表1中;文獻[13-14]給出了另外兩組數(shù)據(jù)(項數(shù)稍多,精度稍高,一組25項[13],一組 15項[14])。這個近似展開式(8)在衍射理論中十分重要,可以簡化許多復(fù)雜問題的分析和計算[15-20]。

        以下我們將根據(jù)展開式(8),列出貝塞爾函數(shù)和斯特魯夫(Struve)函數(shù)的高斯展開式。

        零階貝塞爾函數(shù)展開公式

        公式(10)的導(dǎo)出,階數(shù)ν要滿足 Re(ν)>1/2 的條件,因而直接從公式(10),取ν=0,得出 H0(x)的展開式,可能會有問題。利用遞推公式

        這里要注意的是,上列各公式中系數(shù)Ak和Bk與方程(8)為同一組數(shù)據(jù)。有關(guān)這些公式右邊的展開精度,可以參考文獻[7]。文獻[7]中圖2給出了一個比較[n=0 ,公式(9a)]。用10項高斯展開系數(shù)[4]計算,在大約0-20區(qū)間上,與J0符合很好,相對誤差大約1%~2%。而另外一組15項的展開系數(shù)[5]在大約0~30的范圍內(nèi),可以更好地擬合J0。上面這些公式的推導(dǎo)細(xì)節(jié)和和精度等的詳細(xì)分析,這里就不給出了。

        以下我們用這些特殊函數(shù)的近似展開式來計算圓形活塞阻抗函數(shù)。

        3 計算過程與結(jié)果

        這里我們給出均勻活塞(n=0)、邊緣簡單支撐(n=1)和邊緣鉗定這三種聲源分布的輻射阻抗函數(shù)。最近楊某[14]給出了另外一組15項高斯展開系數(shù),精度更高一些。以下計算中,主要用Wen和Breazeale的10項高斯展開系數(shù)[4](第1組)和楊某[14]的這組數(shù)據(jù)(第2組),順便比較一下精度。所用計算軟件為Matlab 6.1。

        對于均勻活塞情形,直接將貝塞爾函數(shù)和斯特魯夫函數(shù)的展開式(10)等代入阻函數(shù)(4a)和抗函數(shù)公式(4b)中計算即可,圖1給出了均勻活塞源歸一化阻函數(shù)和抗函數(shù)的計算結(jié)果。

        圖1 均勻活塞(n=0)的輻射阻抗函數(shù)

        圖1中R0(2ka)分別采用近似展開(9b)和直接計算貝塞爾函數(shù)[Matlab中函數(shù)名為besselj(mu,x)]所得,兩種方法所得結(jié)果頗相符合[第1組數(shù)據(jù)所得結(jié)果的最大絕對誤差約9×10-3,第2組的最大誤差約為5×10-4]。關(guān)于抗函數(shù)X0(2ka),我們把根據(jù)(10a)式的計算結(jié)果,與課本中x=0(0.5)20的數(shù)值相比較,相對誤差大約1%~2%[9]。

        對于n=1,2的情況,編程計算時要有些技巧。將公式(10a)、(12)代入(5),即得簡單支撐活塞的抗函數(shù)近似計算公式

        直接根據(jù)式(13)計算得到歸一化抗函數(shù)曲線,如圖2所示。對比Greenspan文獻中圖5,可見符合很好。但是,在計算阻函數(shù)R1過程中,出現(xiàn)了意外。我們把第1組數(shù)據(jù)[4](Wen和Breazeale的10項系數(shù))代入到式(5a)中,計算時發(fā)現(xiàn):當(dāng)x=2ka較大時(x約大于4),所得結(jié)果,與直接調(diào)用Matlab中的Bessel函數(shù)的計算結(jié)果,符合很好;而當(dāng)x=2ka較小時,卻完全不符。實際上當(dāng)x很小時(接近于0,如取0.01),計算值是發(fā)散的。用第2組數(shù)據(jù)計算,同樣有此錯誤。而根據(jù)阻抗函數(shù)的近似公式(5c),當(dāng)x較小時,R1(x)≈x2/8。將公式(5b)改為如下形式后

        情況變得十分明朗。原來問題出在上面式(14)的最后一項中。當(dāng)J0(x)小近似展開后,最后一項中分子中的常數(shù)項應(yīng)當(dāng)為0。而將近似式(9a)代入(14)后,所得常數(shù)項δ=-1實際上并不等于零(這個值大致取決于(8)式的近似程度,第1組數(shù)據(jù)給出值約為-0.0127,第2組數(shù)約為0.011 5),那么式(14)主要計算誤差由最后一項產(chǎn)生,也就是δ x2。若x=0.01,此時的誤差就會被放大大約104倍。難怪計算結(jié)果發(fā)散!編程時,我們只需加上一些校正項,可以簡單地消除這些誤差,計算結(jié)果如圖2所示。

        圖2 簡單支撐活塞(n=1)的輻射阻抗函數(shù)

        Greenspan實際上已經(jīng)注意到類似的問題。也許他那個時代(1980年代),Bessel函數(shù)等特殊函數(shù)的計算精度不是太高,他的文章[12]中沒有給出x<1的那部分曲線。

        采用類似的步驟,我們計算了邊緣鉗定活塞聲源的輻射阻抗函數(shù),如圖3所示。計算過程中,我們利用貝塞爾函數(shù)和斯特魯夫函數(shù)的遞推公式,分別將式(6a)和(6b)改寫成下面形式

        采用這些表達(dá)式編程時,可以少加一些校正項。直接利用(6a)、(6b)式編程時,校正項可能要多一些,應(yīng)當(dāng)?shù)贸鱿嗤Y(jié)果(或許消去的誤差項更多,精度會更高一些)。讀者不妨一試。

        圖3 邊緣鉗定活塞(n=2)的輻射阻抗函數(shù)

        4 結(jié)語

        我們給出了高斯函數(shù)展開法的推廣,將圓形函數(shù)的高斯展開作為已知結(jié)果,通過簡單的數(shù)學(xué)變換,將貝塞爾函數(shù)和Struve函數(shù)表示成高斯函數(shù)的近似和。計算了聲學(xué)中一類活塞聲源的輻射阻抗函數(shù),與直接計算特殊函數(shù)的結(jié)果相比,我們的方法給出了相當(dāng)一致的結(jié)果。這種方法還可以直接應(yīng)用于活塞聲源的輻射功率的計算。

        最后我們指出,本文提供的這些例子,意味著現(xiàn)在的計算方法,可以作為特殊函數(shù)計算(精度要求不是太高)的補充。計算精度主要取決于方程(8)式的展開系數(shù)。作者希望我們的應(yīng)用數(shù)學(xué)家給出具有更高精度的這類函數(shù)的高斯展開系數(shù)。此外,讀者也許注意到,Bessel函數(shù)的高斯展開,如式(9),是單重級數(shù)形式,而Struve函數(shù)的展開是雙重的形式。直觀上,后者也應(yīng)當(dāng)有類似于式(9)的單重展開形式。有關(guān)Struve函數(shù)這方面的研究結(jié)果,我們將在不久的將來發(fā)表。

        [1]Cook B D,Arnoult III W J.Gaussian-Laguerre/Hermite Formula?tion for the Nearfield of an Ultrasonic Transducer[J].J Acoust Soc Amer,1976,59:9.

        [2]Cavanagh E,Cook B D.Gaussian-Laguerre Description of Ultra?sonic Fields-Numerical Example:Circular Piston[J].J Acoust Soc Amer,1980,67:1136.

        [3]Thompson R B,Gray T A,J,et al.The radiation of Elliptical and Bicylindrically Focused Piston Transducers[J].J Acoust Soc Am?er,1987,82:1818.

        [4]Wen J J,Breazeale M A.A Diffraction Beam Field Expressed as the Superposition of Gaussian Beams[J].J Acoust Soc Amer,1988,83:1752.

        [5]Huang D,Breazeale M A.A Gaussian Finite-Element Method for Description of Sound Diffraction[J].J Acoust Soc Am,1999,106:1771-1781.

        [6]丁德勝,劉曉峻,黃錦煌.高斯束展開法在計算菲涅爾場積分中的應(yīng)用,中國聲學(xué)進展[M].程建春,田靜.北京:科學(xué)出版社,2008:55-68.

        [7]Ding D S,Tong X J,He P Z.Supplementary Notes on the Gauss?ian Beam Expansion[J].J Acoust Soc Am,2005,118:608.

        [8]Dai Yurong,Ding Desheng.Further Notes on the Gaussian Beam Expansion[J].Chinese Physics Letters,2012,29:024301.

        [9]章力軍,丁德勝.高斯束展開法的注記:指向性和輻射阻抗的簡化計算[J].電子器件,2013,36(6):789-792.

        [10]Ding D,Lu H,Shen C.A Novel Algorithm for the Sound Field of El?liptically Shaped Transducers[J].Chin Phys Lett,2014,31:64301.

        [11]鮑冬禺,丁德勝.高斯束展開法的注記之二:簡單支撐矩形換能器聲場[J].電子器件,2015,38(2):278-282.

        [12]Greenspan M.Piston radiator:Some Extensions of the Theory[J].J Acoust Soc Am,1979,65:608-621.

        [13]Kim H J,Schmerr L W,Sedov A.Generation of the Basis Sets for Multi-Gaussian Ultrasonic Beam Models—An Overview[J].J Acoust Soc Amer,2006,119:1971-1978.

        [14]Liu W,Yang J.A Simple and Accurate Method for Calculating the Gaussian Beam Expansion Coefficients[J].Chin Phys Lett,2010,27:124301.

        [15]丁德勝,陸祖宏.活塞類聲場的簡化算法[J].聲學(xué)學(xué)報,1996,21(增刊):421.

        [16]Ding D S,Lu Z H.A Simplified Method to Calculate the Sound Field of Pistonlike Source[J].Chin J Acoust,1996,15:213.

        [17]Ding D S,Liu X J.Approximate Description for Bessel,Bessel-Gauss and Gaussian Beams with Finite Aperture[J].J Opt Soc Amer,1999,A 16:1286.

        [18]Zhang Y,Liu J Q,Ding D S.Sound Field Calculations of Ellipti?cal Pistons by the Superposition of Two-Dimensional Gaussian Beams[J].Chin Phys Lett,2002,19:1825.

        [19]Ding D S,Zhang Y.A Simple Calculation Approach for the Sec?ond-Harmonic Sound Beam Generated by an Arbitrary Distribu?tion Source[J].Chin Phys Lett,2004,21:503.

        [20]謝曉霞,王碩琛,吳逢鐵.Bessel光束經(jīng)橢圓環(huán)形孔徑后的衍射光場[J].物理學(xué)報,2015,64(12):124201.

        袁迎春(1981-),女,碩士,講師,畢業(yè)于東南大學(xué),現(xiàn)任教于南京信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院,電子信息學(xué)院。主要從事微波理論與技術(shù)研究;

        丁德勝(1965-),男,江蘇人。理學(xué)博士,東南大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師。主要從事聲學(xué)和微波技術(shù)的研究及教學(xué),dds@seu.edu.cn。

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