楊小飛， 馬生全

(1.西安工程大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安 710048；2.海南師范大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院， 海南 ?？?571158)

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·數(shù)理科學(xué)·

L-fuzzy拓?fù)錇V子收斂空間

楊小飛1， 馬生全2

(1.西安工程大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安 710048；2.海南師范大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院， 海南 ?？?571158)

為給出一種新的濾子收斂結(jié)構(gòu)，利用邏輯和拓?fù)浞椒?，得到了L-fuzzy拓?fù)錇V子收斂結(jié)構(gòu),該結(jié)構(gòu)和L-fuzzy拓?fù)涫欠懂犕瑯?gòu)的，可以利用它研究多值拓?fù)淇臻g的性質(zhì)。

L-fuzzy拓?fù)錇V子收斂空間;L-fuzzy拓?fù)淇臻g; 范疇同構(gòu)

在拓?fù)鋵W(xué)中,借助于鄰域算子可以得到與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)同構(gòu)的拓?fù)錇V子收斂結(jié)構(gòu)[1-2],用這種濾子收斂描述一些拓?fù)湫再|(zhì)是很直觀和方便的。在多值拓?fù)淇臻g中,由于采用不同的邏輯系統(tǒng)和不同的模糊視角,多值濾子收斂結(jié)構(gòu)出現(xiàn)了許多不同的版本[3-4]。與本文較為接近的是文獻(xiàn)[3],他們采用了L-fuzzy濾子,這種L-fuzzy濾子要么收斂于xλ要么不收斂。本文采用的是L-濾子,這種L-濾子收斂于點(diǎn)xλ是有程度的(具體見(jiàn)下文)。由此可見(jiàn),在多值拓?fù)淇臻g的研究中,由于人們對(duì)模糊事物認(rèn)識(shí)的不同,可能會(huì)出現(xiàn)形式差別較大的濾子收斂結(jié)構(gòu),但幸運(yùn)地,它們都和多值拓?fù)渫瑯?gòu)。由此也說(shuō)明,多值拓?fù)洳皇峭負(fù)涞暮?jiǎn)單推廣,而是一種更豐富的結(jié)構(gòu)。本文中出現(xiàn)的L是帶有逆合對(duì)應(yīng)的完全分配格,未解釋的其他概念參考文獻(xiàn)[5-6]。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[5]1)設(shè)L是完備格,a∈L(a≠0)。若對(duì)滿足a≤b∨c的任意b,c∈L都有a≤b或者a≤c,則稱a是L的余素元。L的余素元的全體記為Copr(L)。對(duì)偶地,可以定義L中的素元,L的素元的全體記為Pr(L)。

2)在完備格上定義關(guān)系?如下:對(duì)任意的a,b∈L,a?b當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)L的任意子集S,當(dāng)∨S≥b時(shí)必存在s∈S使得s≥a。記β(a)={b∈L|b?a}。對(duì)偶地可定義?,記α(a)={b∈L|b?a}。

定義2[7]1)設(shè)L是完備格,X是一個(gè)集合。則稱滿足下面條件的映射τ:LX→L為X上的一個(gè)L-fuzzy拓?fù)?

(LFT1)τ(0x)=τ(1X)=1。

(LFT2)τ(A1)∧τ(A2)≤τ(A1∧A2)(?A1,A2∈LX)。

稱偶對(duì)(X,τ)是L-fuzzy拓?fù)淇臻g。

定義3[8]1)L-fuzzy鄰域算子是一族滿足下列條件的映射(這時(shí)稱序?qū)?X,N )是L-fuzzy鄰域空間)N={Nxλ:LX→L|xλ∈Copr(LX)}(A,B∈LX,xλ,yγ∈Copr(LX)):

(LN1)Nxλ(1X)=1,Nxλ(0X)=0。

(LN2)若xAA,則Nxλ(A)=0。

(LN3)Nxλ(A∧B)=Nxλ(A)∧Nxλ(B)。

若N還滿足

則稱N是L-fuzzy拓?fù)溧徲蛩阕?，且稱序?qū)?X,N )是L-fuzzy拓?fù)溧徲蚩臻g。

2)設(shè)(X,NX)和(Y,NY)是兩個(gè)L-fuzzy鄰域空間，則稱滿足下列條件的映射f:X→Y是一個(gè)連續(xù)映射(?A∈LY,?xλ∈Copr(LX)):

容易驗(yàn)證L-fuzzy鄰域空間(特別地，L-fuzzy拓?fù)溧徲蚩臻g)及其連續(xù)映射構(gòu)成一個(gè)范疇，稱這個(gè)范疇為L(zhǎng)-fuzzy鄰域空間范疇(特別地，L-fuzzy拓?fù)溧徲蚩臻g范疇)，記作LFN(特別地，LFTN)。

定義4[9](1)設(shè)L，M是完備格，則稱滿足下列條件的映射F:LX→M是X上的(L,M)-fuzzy濾子(L=M時(shí)稱F為L(zhǎng)-fuzzy濾子，M=2時(shí)稱F為L(zhǎng)-濾子)：

(LMFil1)F (1X)=1,F (0X)=0。

(LMFil2)若A≤B,則F (A)≤F (B)。

(LMFil3)F (A)∧F (B)=F (A∧B)。

L-濾子的全體記為F(X,L)。

定義5 1)設(shè)X是個(gè)集合，則稱滿足下列條件的映射Conv:F(X,L)→LJ(LX)為L(zhǎng)-fuzzy主濾子收斂結(jié)構(gòu)(這時(shí)稱(X,Conv)為L(zhǎng)-fuzzy主濾子收斂空間)：

(LConvF1)Conv[xλ](xλ)=1(?xλ∈J(LX)),這里[xλ]={A∈LX|xλ≤A}。

(LConvF2)若F ?G，則ConvF≤ConvG。

2)稱滿足下列條件的L-fuzzy主濾子收斂結(jié)構(gòu)Conv為L(zhǎng)-fuzzy拓?fù)錇V子收斂結(jié)構(gòu)(這時(shí)稱(X,Conv)為L(zhǎng)-fuzzy拓?fù)錇V子收斂空間)：

3)設(shè)(X,ConvX)和(Y,ConvY)是L-fuzzy主濾子收斂空間，則稱滿足下列條件的映射f:X→Y是一個(gè)連續(xù)映射(?F∈F(X,L),?xλ∈J(LX))：

L-fuzzy主濾子收斂空間(特別地，L-fuzzy拓?fù)錇V子收斂空間)及連續(xù)映射構(gòu)成一個(gè)范疇，記為L(zhǎng)PFConv(特別地,LTFConv)。

注1 1)稱(X,Conv)為L(zhǎng)-fuzzy主濾子收斂空間的緣由之一是條件(LConvF3)可以推出

2)由(LConvF4)和(LConvF3)可知當(dāng)xλ≤xμ時(shí)ConvF(xλ)≤ConvF(xμ)(這說(shuō)明在這樣的L-fuzzy拓?fù)錇V子收斂空間中有層次結(jié)構(gòu))。

2 主要結(jié)果

(LN2)若xλA,則A?[xλ]。因此

由(LConvF4)知(LN4)成立。

設(shè)(X,N )是L-fuzzy拓?fù)溧徲蚩臻g，xλ∈J(LX)。定義如下映射ConvN:F(X,L)→LJ(LX)

則下面命題成立。

命題2 ConvN是L-fuzzy拓?fù)錇V子收斂結(jié)構(gòu)。

證 明 (LConvF1)對(duì)任意的A?[xλ]，有xλA,從而由(LN2)知Nxλ(A)=0。因此ConvN[xλ] (xλ)=1。

任取α∈α(Nxλ(A))∩Pr(L),令

Fα={C∈LX|Nxλ(C)α}。

下面證明Fα是L-濾子。(LFil1)因?yàn)镹xλ(1X)=1α和Nxλ(0X)=0≤α,所以1X∈Fα和0X?Fα。(LFil2)設(shè)B∈Fα且B≤C，則Nxλ(B)≤Nxλ(C)。又因?yàn)镹xλ(B)α,所以Nxλ(C)α，這說(shuō)明C∈Fα。(LFil3)設(shè)B,C∈Fα,則Nxλ(B∧C)=Nxλ(B)∧Nxλ(C)α,從而B(niǎo)∧C∈Fα。否則，由α是素元可知Nxλ(B)≤α或者Nxλ(C)≤α,這與條件B，C∈Fα矛盾。顯然有A?Fα,從而Fα∈I。對(duì)任意的都有f(Fα)?Fα，從而可得Nxλ(f(Fα))≤α。因此由L是完全分配格和α的任意性知由f的任意性知

命題3 設(shè)(X,N )是L-fuzzy拓?fù)溧徲蚩臻g，則NConvN=N。

證 明 由命題2中的(LConvF3)的證明可得。

命題4 設(shè)(X,Conv)是L-fuzzy拓?fù)錇V子收斂空間，則ConvNConv=Conv。

證 明 對(duì)任意的F∈F(X,L)及xλ∈J(LX)，由命題2及定義5中的條件(LConvF3)知

反之，令I(lǐng)={A∈LX|A?F},JA={G∈F (X,L)|A?G }。因?yàn)長(zhǎng)是完全分配格，所以

命題5 若f:(X,NX)→(Y,NY)是連續(xù)的，則f:(X,ConvNX)→(Y,ConvNY)也是連續(xù)的。

命題6 若f:(X,ConvX)→(Y,ConvNY)是連續(xù)的，則f:(X,NConvX)→(Y,NConvY)也是連續(xù)的。

這說(shuō)明f:(X,NConvX)→(Y,NConvY)是連續(xù)的。

由命題1～6知LTFConv與LFTN范疇同構(gòu),另外,在文獻(xiàn)[8]中證明了LFTN與LFTop范疇同構(gòu)。所以下面定理成立。

定理1 LTFConv與LFTop范疇同構(gòu)。

從上面證明過(guò)程也可以看到,這個(gè)同構(gòu)函子可以擴(kuò)張到更大的范圍。

定理2 LPFConv與LFN范疇同構(gòu)。

[1] PREUSS G. Foundation of Topology[M]. London: Kluwer Academic Publishers, 2002.

[2] 楊小飛,李生剛.用預(yù)鄰域系算子、預(yù)開(kāi)鄰域基算子和預(yù)基確定預(yù)拓?fù)鋄J].西北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008, 38(3): 349-353.

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[6] 王國(guó)俊. 拓?fù)浞肿痈窭碚揫M].西安:陜西師范大學(xué)出版社, 1990.

[7] KUBIAK T. On fuzzy topologies[D].Poland: Adam Mickiewicz University, 1985.

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(編 輯亢小玉)

L-fuzzy topological filter convergence spaces

YANG Xiao-fei1, MA Sheng-quan2

(1.College of Science, Xi′an Polytechnic University, Xi′an 710048, China; 2.College of Information Science and Technology, Hainan Normal University, Haikou 571158， China)

To give a new fuzzy filter convergence structure.Using methods of logical and topological theory.It is proved thatL-fuzzy topological filter convergence spaces are categorically isomorphic toL-fuzzy topological spaces.In this case, some properties in many-valued topological space can be studied by convergence ofL-filters.

L-fuzzy topological filter convergence spaces;L-fuzzy topological spaces; categorical isomorphism

2014-01-18

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11271297)；陜西省教育廳基金資助項(xiàng)目(2013JK0568；2013JK0591)；西安工程大學(xué)博士科研啟動(dòng)費(fèi)基金資助項(xiàng)目(BS1319)

楊小飛,男,河南洛陽(yáng)人,博士,從事格上拓?fù)鋵W(xué)研究。

O157.5

：ADOI：10.16152/j.cnki.xdxbzr.2015-03-004