劉 嚴(yán)，林洪生，李 穎

(沈陽工程學(xué)院 基礎(chǔ)部，遼寧 沈陽 110136)

?

基于規(guī)劃理論的時滯連續(xù)廣義系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

劉 嚴(yán)，林洪生，李 穎

(沈陽工程學(xué)院 基礎(chǔ)部，遼寧 沈陽 110136)

通過對時滯連續(xù)廣義系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的分析，研究了時滯連續(xù)廣義系統(tǒng)保持穩(wěn)定的條件，給出了其對應(yīng)的擾動系統(tǒng)，并針對該擾動系統(tǒng)確定了保持其穩(wěn)定性的最大范圍，即時滯連續(xù)廣義系統(tǒng)的穩(wěn)定半徑。在給出了時滯連續(xù)廣義系統(tǒng)穩(wěn)定半徑的定義以及計算方法之后，將系統(tǒng)指數(shù)不超過1的連續(xù)時滯廣義系統(tǒng)穩(wěn)定半徑問題轉(zhuǎn)化為可以求解的非線性規(guī)劃問題，最后給出具體的算例來檢驗結(jié)論的正確性。

穩(wěn)定半徑；廣義系統(tǒng)；矩陣束；非線性規(guī)劃；正則；時滯

穩(wěn)定性問題是各種控制系統(tǒng)都要面對的一個首要問題。無論系統(tǒng)是正常的、離散的、一般的或者廣義的，在對其施加控制時必須使系統(tǒng)仍然保持穩(wěn)定,不穩(wěn)定的系統(tǒng)一般是沒有實用價值的。許多控制系統(tǒng)易受到一些不確定參數(shù)的干擾,當(dāng)系統(tǒng)矩陣受到某種擾動時,衡量系統(tǒng)穩(wěn)定的指標(biāo)就是穩(wěn)定半徑。近些年來,穩(wěn)定半徑問題吸引了國內(nèi)外許多學(xué)者的興趣,并投入大量的時間和精力來進(jìn)行這方面的研究。

以連續(xù)時滯廣義系統(tǒng)(1)為例，對其穩(wěn)定性問題進(jìn)行研究。

(1)

其中，E、A1、A0∈Rn×n，且rank(E)=q

對于正常的時滯系統(tǒng)(2)的特征方程可以定義為(3)，其形式如下：

(2)

σ(A0,A1)={λ∈C:det(λI-A0-A1e-hλ)=0}

(3)

定義μ(A0,A1)=max{Reλ:λ∈σ(A0,A1)}，可表示最大特征值的實部，且系統(tǒng)(2)穩(wěn)定意味著σ(A0,A1)所有特征根小于0或者具有負(fù)實部，等價定義為所有特征根實部的最大值小于0。

類似的，可以定義連續(xù)時滯廣義系統(tǒng)(1)的特征方程為(4)的形式，即

σ(A0,A1)={λ∈C:det(λE-A0-A1e-hλ)=0}

(4)

等價形式：存在(αj,βj)∈C×C{0,0}，使得

(5)

其中，λj=βj/aj。

對于時不變的連續(xù)廣義系統(tǒng)(6)來說，存在如下受限等價變換，即存在正交矩陣P、Q，使得

(6)

(7)其中，N為冪零矩陣。同時系統(tǒng)(2)對應(yīng)的慢子系統(tǒng)為

(8)

系統(tǒng)(6)穩(wěn)定等價于系統(tǒng)(8)穩(wěn)定。而系統(tǒng)(6)所對應(yīng)的擾動系統(tǒng)(9)保持穩(wěn)定性的條件為系統(tǒng)(6)魯棒穩(wěn)定。

(9)

也就是說系統(tǒng)為容許的，且對應(yīng)的慢子系統(tǒng)穩(wěn)定，即系統(tǒng)保持正則，冪零結(jié)構(gòu)沒有發(fā)生改變且慢子系統(tǒng)穩(wěn)定。

同時，連續(xù)廣義系統(tǒng)的穩(wěn)定半徑在保持正則性以及冪零結(jié)構(gòu)不變的前提下，僅與受限等價變換后對應(yīng)的慢子系統(tǒng)(正常系統(tǒng))的穩(wěn)定性有關(guān)。從而想要分析系統(tǒng)(1)的魯棒穩(wěn)定性，必須分析時滯正常系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于時滯正常系統(tǒng)(2)而言，其穩(wěn)定性等價于特征根具有負(fù)實部。

1 主要結(jié)果以及證明

在前面的討論基礎(chǔ)之上，首先對系統(tǒng)(1)做如下受限等價變換，即存在正交矩陣P、Q使得

第一，數(shù)碼攝影動機、手段和目的存在多重狀態(tài)復(fù)合迭加和諸多疑問不能回答，但攝影圖片觀察卻主要給人清晰和真實的印象。里奇指出：

(10)

經(jīng)過受限等價變換后的系統(tǒng)為

(11)

引理1 連續(xù)廣義系統(tǒng)(2)在受限等價變換下穩(wěn)定半徑保持不變。

引理2 設(shè)連續(xù)時滯正則廣義系統(tǒng)(1)是穩(wěn)定的，且正則指數(shù)m≤1，則存在正交矩陣P、Q使得系統(tǒng)(1)經(jīng)過受限等價變換后化為系統(tǒng)(12)。

(12)

當(dāng)系統(tǒng)(1)受到擾動后變?yōu)槭?13)時，系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定半徑形式如(14)、(15)、(16)所示。

(13)

(14)

un={(E,A1,A0)|?λ∈C,λ≠0,|det(λE-
A1-A0e-hλ)≠0;且?λ∈C,Re(λ)≥0
且|det(λE-A1-A0e-hλ)=0.}

(15)

D={(δE,δA1,δA0)|δE,δA1,δA0∈Cn×n,?λ∈C,
λ≠0,|det(λE-A1-A0e-hλ)≠0
且nil(E,A1,A0)=nil(E+δE,A1+δA1,A0+δA0).}

(16)

為了計算ρ(E,A1,A0)，假設(shè)系統(tǒng)(1)已經(jīng)變換為(12)的形式，定義如下矩陣：

(17)

(18)

在這里,θ、ω∈R，θ2+ω1=1。

定理1 若(E,A1,A0)是正則穩(wěn)定且正則指數(shù)不超過1，則

(19)

1)θ=0,ω=1，并且rank(E+δE)=rank(E)及(E+δE,A1+δA1,A0+δA0)均為正則的且指數(shù)小等于1的系統(tǒng)。

定理2 若(E,A1,A0)是正則穩(wěn)定且正則指數(shù)不超過1,則

(20)

(21)

(22)

定理3 若(E,A1,A0)是正則穩(wěn)定且正則指數(shù)不超過1，則ρ(E,A1,A0)的計算問題可以轉(zhuǎn)化為求解如(21)式的非線性規(guī)劃問題，其中H*(θ,ω)為H(θ,ω)的共軛轉(zhuǎn)置矩陣，σ為矩陣H(θ,ω)的奇異值。

(23)

證明 定理2中的求解最小奇異值問題顯然可以轉(zhuǎn)化為定理3的非線性規(guī)劃問題。

2 算 例

一個經(jīng)過受限等價變換以后的連續(xù)時滯廣義系統(tǒng)如(24)式所示。

(24)

(25)

其中h=1。

(26)

(27)

則穩(wěn)定半徑的計算問題可以轉(zhuǎn)化為如下非線性規(guī)劃問題：

(28)

其中θ、ω∈R，σ≥0最后，用LINGO軟件求得最優(yōu)解為ρ(E,A1,A0)=1.000337。

3 結(jié) 論

通過討論時滯連續(xù)廣義系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，分析了連續(xù)時滯廣義系統(tǒng)保持穩(wěn)定的條件，最終給出了時滯連續(xù)廣義系統(tǒng)受到參數(shù)擾動時，保持魯棒穩(wěn)定的最大范圍，即穩(wěn)定半徑。在具體的算例驗證過程中，首先將穩(wěn)定的最大范圍轉(zhuǎn)化為一個求解下確界的問題，但是這是一個非常復(fù)雜的下確界問題，所以將其轉(zhuǎn)化為可以求解的非線性規(guī)劃問題,最后驗證了結(jié)論的正確性。

[1]SonNK，NgocPHHA.Robuststabilityofpositivelineartime-delaysystemsunderaffineparameterperturbations[J].ACTAMATHEMATICA,1999(24):353-372.

[2]BellmanR，CookeKL，Differential-DifferenceEquations[M].NewYork：Acad.Press，1963.

[3]BermanA，PlemmonsRJ，NonnegativeMatriicesinMathematicalScience[M].NewYork：Acad.Press，1979.

[4]HaleJ.TheoryofFunctionalDifferentialEquations[M].NewYork：Acad.Press，1998.

[5]LuenbergerDG，IntroductiontoDynamicSystemsTheoryModelsandApplications[M].NewYork：J.Wiley，1979.

[6]SonNK，NgocPHHA.Robuststabilityofpositivecontinuoustimesystems[J].NumberFuncAnalOptim，1996(17)：649-659.

[7]SonNK，NgocPHHA.Thecomplexstabilityradiusoflineartimedelaysystems[J].VietnamJmath，1998(26)：379-384.

[8]楊冬梅,張慶靈,姚 波.廣義系統(tǒng)[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

[9]ByersR，NicholsNK.Onthestabilityradiusofgeneralizedstate-spacesystems[J].LinearAlgebra-App，1992: 988.

[10]ByersR.Abisectionmethodformeasuringthedistanceofastablematrixtotheunstablematrices[J].SIAMJournal,OnScientificandStatisticalComputing,1988: 875-881.

[11]VanLoadC.Hownearisastablematrixtoaunstablematrix[J].ContemporaryMathematics,1985(47): 465-477.

[12]MichielsWim,GreenKirk,ThomasWagenkneecht，etal.Pseudospectraandstabilityradiiforanalyticmatrixfunctionswithapplicationtotime-delaysystems[R].NewYork：ReportTW425，2005.

[13]ByersR，NicholsNK.Onthestabilityradiusofgeneralizedstate-spacesystems[J].LinearAlgebra-App，1992：988.

[14]GolubGH，VanLoanC.MatrixComputations[M].Baltimore:JohnsHopkinsPress,1983.

[15]李 麗，王福忠，姚 波.離散T-S模糊系統(tǒng)的狀態(tài)反饋魯棒鎮(zhèn)定[J].沈陽工程學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2014，10(4)：373-377.

(責(zé)任編輯 張 凱 校對 佟金鍇)

Stability Analysis of Time-Delay Continuous Generalized System Based on Programming Theory

LIU Yan,LIN Hong-sheng,LI Ying

(Department of Preparatory Course,Shenyang Institute of Engineering,Shenyang 110136,Liaoning Province)

Based on the analysis of the robust stability of continuous generalized systems with delays and its preserving stability conditions,the corresponding perturbation system was given. At the same time,the maximum range preserving stability of the perturbation system,which is stability radius,was given too. In this paper,the definition and computing formula of stability radius of continuous generalized systems with delays was presented and the stability radius of continuous generalized systems with delays of index no more than one could be transformed into a nonlinear programming problem was proposed. At last,a concrete example was given to confirm the conclusion.

stability radius；generalized system；matrix pencil；Nonlinear programming；positive；time-delay

2015-04-13

沈陽工程學(xué)院科技基金一般項目(LGYB-1401)

劉 嚴(yán)(1976-),女,遼寧沈陽人,副教授。

10.13888/j.cnki.jsie(ns).2015.03.020

O212

A

1673-1603(2015)03-0278-04