馬翠云， 陳公寧

(1.許昌學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，河南 許昌 461000； 2.北京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100875)

Schur矩陣函數(shù)的廣義Pick塊矩陣的秩不變性

馬翠云1， 陳公寧2

(1.許昌學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，河南 許昌 461000； 2.北京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100875)

摘要：討論Schur矩陣函數(shù)在多重插值點(diǎn)的情形下第一型的廣義Pick塊矩陣的秩不變性，得到與經(jīng)典Pick塊矩陣的秩不變性的類似結(jié)論，從而把Schur矩陣函數(shù)經(jīng)典Pick塊矩陣的秩不變性的基本結(jié)果推廣到了多重插值點(diǎn)的情形．

關(guān)鍵詞：Schur矩陣函數(shù)；秩不變；廣義Pick塊矩陣；Carathéodory矩陣函數(shù)

0引言

文獻(xiàn)[1]給出了p×qSchur矩陣函數(shù)的經(jīng)典Pick塊矩陣的秩不變性，即只要給定一個(gè)Schur矩陣函數(shù)f以及任意長(zhǎng)度固定的單重插值點(diǎn)數(shù)據(jù)，對(duì)應(yīng)的經(jīng)典Pick塊矩陣的秩不變，這些矩陣的秩與由f的Taylor系數(shù)的相關(guān)矩陣得到的塊矩陣的秩相等．本文考慮多重插值點(diǎn)的情形，把文獻(xiàn)[1]中秩不變性的部分結(jié)果推廣到多重插值點(diǎn)的情形，得到多重Schur矩陣函數(shù)第一型的廣義Pick塊矩陣秩不變性的類似結(jié)論．主要結(jié)論是定理2，在定理的推證過程中涉及到許多精細(xì)的計(jì)算，限于篇幅，一般只列出最終結(jié)果．

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

參考文獻(xiàn)由[3]知,當(dāng)f∈Sp×q(D)與Ω∈Cq(D)時(shí)，上述兩種廣義Pick塊矩陣及其相關(guān)矩陣都是Hermite半正定的． 引理2[1]按[1]的引理2.6，設(shè)，則有

1引理

為給出本文結(jié)論，先給出如下引理：

引理1設(shè)n+1個(gè)插值點(diǎn)數(shù)據(jù)為{m,β,l}，則有

(1) 廣義Hermite-Cauchy型塊矩陣

(2)廣義Hermite-Cauchy型塊矩陣

同理可證(2)式中的塊矩陣也是Hermite正定的．

(1)f0∈S(p+q)×(p+q)(D)，并且Ω=Ip+q-2f0∈Cp+q(D)．

2Schur矩陣函數(shù)的第一型廣義Pick塊矩陣的秩不變性

定理1設(shè)f為D內(nèi)解析的Cp×q-值函數(shù)，n為非負(fù)整數(shù)．則下列說法是等價(jià)的：

(1)f∈Sp×q(D)；

證明這是關(guān)于Schur矩陣函數(shù)的Nevanlinna-Pick插值可解條件與著名的Schur函數(shù)特征定理的矩陣推廣的直接推論(見文獻(xiàn)[3]，定理9.7.3與9.1.5)．

定理2設(shè)f∈Sp×q(D)，n為某非負(fù)整數(shù)．則對(duì)長(zhǎng)度為n+1的插值點(diǎn){m,β,l}，

并且，特殊地有

Ω=(Ip+q-f0)(Ip+q+f0)-1=Ip+q-2f0∈Cp+q(D)，

更一般地，當(dāng)vw≠1時(shí)，有恒等式

因此，

(6)

另一方面，存在酉矩陣Un(實(shí)為塊行列同步置換)，使得

(7)

其中Fq,m,β,l為引理1(1)中廣義Cauchy型塊矩陣，它是Hermite正定的，因此，

類似地，對(duì)當(dāng)vw≠1時(shí)的恒等式

(8)

這里(n+1)p階矩陣Hp,m,β,l見引理1(2)，它是Hermite正定的．因此，

應(yīng)用引理2與文獻(xiàn)[2]中定理2，

再應(yīng)用引理2(2)，推得

[1]Fritzsche B,Kirstein B , Lasarow A．On rank invariance of Schwarz-Pick-Potapov block matrices of matricial Schur functions[J]. Integr.equ.oper.theory， 2004，48：305-330

[2]Lasarow A.On rank invariance of generalized Schwarz-Pick-Potapov block matrices of matrix-valued Carathéodory functions[J].Linear Algebra Appl， 2006，413：36-58.

[3]陳公寧，胡永建.NevanlinnaPick 插值與矩量問題 [M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2003.

[4]賀勤，馬翠云.Cq(D)上擴(kuò)展型廣義塊Pick矩陣的秩不變性[J].許昌學(xué)院學(xué)報(bào)，2011,30(5):21-24.

On Rank Invariance of Generalized Pick

Block Matrices of Matricial Schur Functions

MA Cui-yun1， CHEN Gong-ning2

(1.SchoolofMathematicalScience,XuchangUniversity,Xuchang461000,China;

2.SchoolofMathematicalSciences,BeijingNormalUniversity,Beijing100875,China)

Abstract:The present paper studies the rank invariance of the first type of generalized pick block matrices of matricial schur functions in the case of multiple interpolation nodes. The findings are similar to that of classical pick block matrices, thus spreading the basic results of the rank invariance of classical pick block matrices of matricial schur functions to the case of multiple interpolation nodes.

Key words:matricial schur functions; rank invariance; generalized pick block matrices; matricial carathéodory functions

責(zé)任編輯：周倫

中圖分類號(hào)：O241.3

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1671-9824(2015)02-0006-04

作者簡(jiǎn)介：馬翠云(1962—)，女，河南太康人，副教授，研究方向：矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用．

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10701009)

收稿日期：2014-06-12