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        基于馬達(dá)代數(shù)的交會(huì)對接相對位姿測量算法

        2015-02-24 02:32:30陳偉陳志明王惠南
        中國空間科學(xué)技術(shù) 2015年4期
        關(guān)鍵詞:交會(huì)位姿馬達(dá)

        陳偉 陳志明 王惠南

        (南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院,南京 210016)

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        基于馬達(dá)代數(shù)的交會(huì)對接相對位姿測量算法

        陳偉 陳志明 王惠南

        (南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院,南京 210016)

        精確測量追蹤航天器與目標(biāo)航天器之間的相對位姿關(guān)系是成功完成航天器交會(huì)對接任務(wù)的關(guān)鍵。傳統(tǒng)的位姿測量算法將旋轉(zhuǎn)和平移分而視之,破壞了三維運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)一性,同時(shí)增加了算法的復(fù)雜性和計(jì)算難度。針對這個(gè)問題,采用雙目視覺測量方法,在馬達(dá)代數(shù)框架內(nèi),以兩個(gè)特征光點(diǎn)確定的特征直線為變換基元,統(tǒng)一描述并設(shè)計(jì)算法測量追蹤與目標(biāo)航天器之間的位姿關(guān)系,最終將兩航天器之間的相對位姿解算問題簡化為求解兩個(gè)線性方程組。該方法在計(jì)算形式上更為簡潔,且測量受特征光點(diǎn)的安裝位置限制較小。仿真結(jié)果表明,算法具有較高的精度和穩(wěn)定性,可以滿足航天器交會(huì)對接任務(wù)的要求。

        馬達(dá)代數(shù);交會(huì)對接;相對位姿;雙目視覺;航天器

        1 引言

        在航天器交會(huì)對接的最終逼近段,追蹤航天器必須自主精確測定與目標(biāo)航天器的相對姿態(tài)和相對位移,并通過控制使其相對狀態(tài)滿足最終逼近段準(zhǔn)直線運(yùn)動(dòng)、逼近速度、安全性及軟對接等多項(xiàng)技術(shù)要求[1-2]。目前普遍的測量方法是在目標(biāo)航天器上設(shè)置光學(xué)特征點(diǎn),利用特征點(diǎn)在CCD相機(jī)視覺系統(tǒng)中的成像位置來確定相對位姿,該方法具有體積小、質(zhì)量小、功耗低、可靠性高等優(yōu)點(diǎn)。傳統(tǒng)單目視覺算法通過迭代法來求解二次非線性方程[3-4],測量結(jié)果受收斂性和求解速度影響較大。而文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]分別采用雙目視覺和三目視覺算法,測量基本方程為線性方程組,存在解析解,大大提高了求解位姿的速度和精度以及系統(tǒng)的可靠性。另外,大多數(shù)位姿測量算法中均采用基于向量代數(shù)的描述方法,通常將剛體運(yùn)動(dòng)拆分為平移和旋轉(zhuǎn)兩部分,需要分別設(shè)計(jì)算法來計(jì)算兩部分操作結(jié)果,不僅破壞了運(yùn)動(dòng)學(xué)的完整性,也增加了算法的復(fù)雜度。而幾何代數(shù)中的馬達(dá)代數(shù)(Motor Algebra)可以很好地解決這個(gè)問題。馬達(dá)代數(shù)是對偶四元數(shù)的擴(kuò)充,它將Grassmann擴(kuò)張代數(shù)、Hamilton四元數(shù)和復(fù)數(shù)等統(tǒng)一起來,避免了計(jì)算時(shí)各種代數(shù)語言之間的轉(zhuǎn)換,可以直觀地表示幾何體的空間運(yùn)動(dòng)[7]。因此,馬達(dá)代數(shù)在涉及運(yùn)動(dòng)目標(biāo)位姿處理的相關(guān)問題中得到了越來越廣泛的應(yīng)用[7-9]。文獻(xiàn)[10]提出了一種基于普呂克直線的交會(huì)對接相對位姿確定算法,并通過奇異值分解的方法統(tǒng)一解算出相對位姿值,求解過程復(fù)雜,同時(shí)對于特征線的安裝也要求較高,而且普呂克直線方程的確定仍然需要識(shí)別該直線上兩個(gè)特征點(diǎn),實(shí)際操作難度較大。文獻(xiàn)[11]利用對偶四元數(shù)描述坐標(biāo)系間的相對位姿,并設(shè)計(jì)算法解算出位置和姿態(tài)信息,但計(jì)算中涉及復(fù)雜的矩陣乘法運(yùn)算,較為繁瑣。

        基于以上幾種方法的研究,本文采用馬達(dá)代數(shù)這一新型數(shù)學(xué)工具,以兩個(gè)特征光點(diǎn)確立一條線實(shí)體并作為變換基元,統(tǒng)一描述追蹤航天器和目標(biāo)航天器之間的相對位姿,通過馬達(dá)代數(shù)實(shí)部和對偶的求解來完成位姿解算。該方法比傳統(tǒng)的歐拉角和四元數(shù)方法更為簡潔有效,且精度較高,具有一定的計(jì)算優(yōu)勢和可研究性。

        2 測量原理

        2.1 坐標(biāo)系

        圖1 各坐標(biāo)系的定義 Fig.1 Definition of all coordinate systems

        本文通過在目標(biāo)航天器上設(shè)置特征光點(diǎn),并使用雙目視覺測量的方法進(jìn)行位姿測量。為了便于分析計(jì)算,建立的坐標(biāo)系如圖1所示。

        1)目標(biāo)航天器坐標(biāo)系O′(x,y,z),簡稱O′系。該坐標(biāo)系根據(jù)特征光點(diǎn)的位置來定義。設(shè)置4個(gè)位于x-y平面內(nèi)且構(gòu)成正方形的特征光點(diǎn)A、B、C、D,坐標(biāo)系原點(diǎn)可設(shè)置為正方形的中點(diǎn),x軸沿O′C方向,y軸沿O′D方向,z軸按右手法則確定。

        2)追蹤航天器坐標(biāo)系O(X,Y,Z),簡稱O系。該坐標(biāo)系定義在追蹤航天器上,其原點(diǎn)定義為追蹤航天器的質(zhì)心,X軸、Y軸、Z軸由追蹤器的形狀來規(guī)定。

        4)攝像機(jī)坐標(biāo)系C1(XC1,YC1,ZC1)和C2(XC2,YC2,ZC2),簡稱C1系和C2系。攝像機(jī)C1和C2與追蹤航天器固連,因此兩坐標(biāo)系相對于O系的位姿是已知的。原點(diǎn)C1、C2位于攝像機(jī)光心,XC軸和YC軸分別與像素坐標(biāo)系中u軸和v軸平行,ZC軸沿主光軸方向并垂直于圖像平面,光心與圖像中心點(diǎn)之間的距離即為攝像機(jī)的焦距。

        2.2 雙目視覺測量原理

        雙目視覺測量原理如圖2所示[12]。追蹤坐標(biāo)系與兩攝像機(jī)坐標(biāo)系固連。測量目的是通過空間中一點(diǎn)P在兩攝像機(jī)圖像平面中成像點(diǎn)PC1和PC2的像素坐標(biāo),推算出該點(diǎn)在攝像機(jī)坐標(biāo)系和追蹤坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值。

        圖2 雙目視覺測量原理 Fig.2 Principle of binocular vision measurement

        P點(diǎn)在追蹤坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(X,Y,Z),PC1和PC2的像素坐標(biāo)分別為(u1,v1)和(u2,v2)。已知兩個(gè)攝像機(jī)的投影矩陣分別為M1和M2,其可由相機(jī)的內(nèi)、外參數(shù)決定,不妨假設(shè):

        (X,Y,Z)的值可采用文獻(xiàn)[5-6]中的最小二乘法來獲得,該方法可以避免測量噪聲和匹配誤差的影響。具體計(jì)算形式為

        3 位姿解算

        若已知特征光點(diǎn)分別在追蹤坐標(biāo)系和目標(biāo)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值,便可以解算出兩坐標(biāo)系間的相對位姿。在傳統(tǒng)的基于向量代數(shù)的位姿解算方法中,需要求出目標(biāo)坐標(biāo)系相對于追蹤坐標(biāo)系的正交余弦矩陣(即旋轉(zhuǎn)矩陣)R3×3和位移向量t3×1。

        假設(shè)空間一點(diǎn)在目標(biāo)坐標(biāo)系和追蹤坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為(x,y,z)和(X,Y,Z),且目標(biāo)坐標(biāo)系原點(diǎn)在追蹤坐標(biāo)系中坐標(biāo)為(tx,ty,tz),則有

        對于方程(2)中R3×3和t3×1的求解,目前有兩種方法——解析法和正交法。解析法的主要思想是,分別將4個(gè)特征點(diǎn)在目標(biāo)和追蹤坐標(biāo)系中的坐標(biāo)代入公式(2)中,得到4組不同的R3×3和t3×1值,再求其平均值。這種方法不僅誤差較大,而且不能滿足所得旋轉(zhuǎn)矩陣R3×3的正交性。為了解決這個(gè)問題,文獻(xiàn)[5]提出了正交法,即在4個(gè)特征點(diǎn)中任選3個(gè)點(diǎn)(A、B、C)構(gòu)造3個(gè)線性無關(guān)的向量,如向量dAB,dAC和它們的向量積dAB×dAC,并通過目標(biāo)和追蹤坐標(biāo)系中向量坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系求解旋轉(zhuǎn)矩陣R3×3,最后再對4種情況求取均值。該方法顯然可以滿足旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性,但是在相對位置的求解過程中必須假定4個(gè)特征點(diǎn)是對稱的,且目標(biāo)坐標(biāo)系原點(diǎn)位于它們的中心,要求相對嚴(yán)格。下面介紹一種新的基于馬達(dá)代數(shù)的求解相對位姿的算法。

        馬達(dá)代數(shù)空間可由如下所示的基張成:

        限于篇幅,作者對于馬達(dá)代數(shù)的具體運(yùn)算法不再贅述,讀者可以參閱文獻(xiàn)[7]。

        LAB=nAB+ImAB= (xB1-xA1)e2e3+(xB2-xA2)e3e1+(xB3-xA3)e1e2+

        (5)

        式中n和n′表示直線AB的方向向量;m和m′為點(diǎn)A和B的外積。

        追蹤航天器相對于目標(biāo)航天器的旋量R和平移量t可表示為:

        則兩坐標(biāo)系間的相對位姿可統(tǒng)一用如下馬達(dá)代數(shù)描述:

        并且有

        根據(jù)式(9)中直線的運(yùn)動(dòng)變化方程,可以列出

        式中n和m已知,n′和m′由視覺測量計(jì)算得到。不妨假設(shè):

        將式(6)、(11)和(12)代入式(10)中第一式,根據(jù)馬達(dá)代數(shù)運(yùn)算法則和等式兩邊實(shí)部、對偶部分別相等的原則,可以寫出一組關(guān)于未知數(shù)r0、r1、r2、r3的線性方程組,用矩陣乘法的形式可表示為

        求得旋量R后便可以進(jìn)一步得到旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角度。旋量R中r0、r1、r2、r3與旋轉(zhuǎn)軸方向向量nR以及旋轉(zhuǎn)角度θR的對應(yīng)關(guān)系為:

        接下來求取目標(biāo)航天器和追蹤航天器之間的相對位移t。將式(10)中第1式代入第2式中可得

        式(15)右邊值可由計(jì)算得知,不妨假設(shè)

        將式(7)、(12)和(16)代入式(15),同理根據(jù)等式兩邊實(shí)部和對偶部分別相等的原則,可得到關(guān)于未知數(shù)t1、t2、t3的方程組:

        同樣地,對于3條直線AB、BC、CD分別可以寫出矩陣Pi、Qi(i=1,2,3),令P=[P1P2P3]T,Q=[Q1Q2Q3]T,則有

        式中P為9×3的矩陣;Q為9×1的矩陣。采用最小二乘法求解該方程組,得:

        至此,追蹤航天器與目標(biāo)航天器之間的相對位姿M的實(shí)部和對偶部便求解完畢。

        由上述算法可知,基于馬達(dá)代數(shù)的位姿解算算法將相對位姿中的旋量和平移量有效地統(tǒng)一起來,并將問題簡化為兩個(gè)線性方程組的求解。同時(shí)也可以看出,該算法以特征直線為變換基元,既可以滿足所得姿態(tài)矩陣的正交性,同時(shí)對特征點(diǎn)位置是否對稱等也并無要求。

        4 數(shù)值仿真

        本節(jié)使用Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真。已知攝像機(jī)鏡頭焦距為35mm,最高分辨率為4 256×2 832,傳感器尺寸為36.0mm×23.9mm,則根據(jù)上述參數(shù)可以得到攝像機(jī)的內(nèi)部參數(shù)矩陣為

        圖3顯示追蹤航天器相對于目標(biāo)航天器的位姿測量誤差均隨像素坐標(biāo)測量誤差的增大而增大,與實(shí)際情況相符。在像素誤差為1像素時(shí),馬達(dá)代數(shù)算法中俯仰角、偏航角、滾動(dòng)角以及相對位置的測量絕對誤差分別為0.09°、0.45°、0.07°和0.003 5m。

        圖3 情況a仿真結(jié)果Fig.3 Simulation under scenario a

        圖4 情況b仿真結(jié)果Fig.4 Simulation under scenario b

        結(jié)合兩組仿真結(jié)果,可知基于馬達(dá)代數(shù)的位姿測量方法的測量誤差在航天器交會(huì)對接測量精度要求范圍之內(nèi),因此本文中所提的位姿測量算法是有效的。另外,在同一噪聲水平下,馬達(dá)代數(shù)算法相對于向量代數(shù)方法具有更高的測量精度,歐拉角測量誤差減少了50%左右,且該測量誤差受像素誤差的影響較小,結(jié)果更為穩(wěn)定。

        5 結(jié)束語

        本文使用馬達(dá)代數(shù)這一新型數(shù)學(xué)工具,描述了交會(huì)對接任務(wù)中目標(biāo)航天器與追蹤航天器之間的相對位姿,相對于傳統(tǒng)的向量代數(shù)描述方法,計(jì)算更為簡潔。另外,在目標(biāo)航天器上設(shè)置特征光點(diǎn),并采用雙目視覺測量方法,設(shè)計(jì)并驗(yàn)證了基于馬達(dá)代數(shù)的位姿參數(shù)解算算法,最后與正交法的測量誤差進(jìn)行比較。仿真結(jié)果表明該方法有效,3個(gè)方向上歐拉角的測量誤差均在0.5%以內(nèi),能夠滿足航天器對接任務(wù)的測量精度要求。同時(shí),該馬達(dá)代數(shù)算法具有更高的精度和穩(wěn)定性。

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        陳 偉 1992年生,2013年畢業(yè)于南京航空航天大學(xué)通信工程專業(yè),現(xiàn)為南京航空航天大學(xué)導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制專業(yè)碩士研究生。研究方向?yàn)榻粫?huì)對接視覺導(dǎo)航。

        (編輯:高珍)

        Measurement Algorithm Based on Motor Algebra for Relative Position and Attitude Determination of RVD Spacecraft

        CHEN Wei CHEN Zhiming WANG Huinan

        (College of Astronautics, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016)

        Accurate measurement of the relative position and attitude between the active spacecraft and the target spacecraft is the key to the successful completion of rendezvous and docking (RVD) mission. In the traditional vector measurement methods, the position and attitude are usually treated separately, which led to the difficulty of algorithm design and computational complexity.A new binocular vision measurement algorithm based on motor algebra was proposed to uniformly describe the relative position and the attitude of the two RVD spacecraft. This new algorithm has a more concise form and some computational advantages compared to the traditional methods. The relative position and attitude determination problem was simplified to solving two linear equations. Simulation results show that the algorithm can meet the measurement accuracy requirements of RVD missions.

        Motor algebra; Rendezvous and docking; Relative position and attitude; Binocular vision;Spacecraft

        2014-12-31。收修改稿日期:2015-03-02

        10.3780/j.issn.1000-758X.2015.04.011

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