張毅

（蘇州科技學(xué)院土木工程學(xué)院，江蘇蘇州215011）

一類非自治Birkhoff系統(tǒng)的梯度表示

張毅

（蘇州科技學(xué)院土木工程學(xué)院，江蘇蘇州215011）

研究非自治Birkhoff系統(tǒng)的梯度表示。給出一類非自治Birkhoff系統(tǒng)和非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)成為梯度系統(tǒng)的條件，并舉例說(shuō)明結(jié)果的應(yīng)用。

非自治Birkhoff系統(tǒng)；梯度系統(tǒng)；勢(shì)函數(shù)；穩(wěn)定性

1 梯度系統(tǒng)

如果存在函數(shù)V=V（x1，x2，…，xm），使系統(tǒng)的微分方程表示為

則該系統(tǒng)稱為梯度系統(tǒng)[1]，其中V=V（x）稱為勢(shì)函數(shù)。

梯度系統(tǒng)是一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)，具有重要性質(zhì)[1]：對(duì)所有x，有，當(dāng)且僅當(dāng)x是平衡點(diǎn)有；在平衡點(diǎn)處特征根是實(shí)的。利用這些性質(zhì)研究力學(xué)系統(tǒng)的平衡位置及其穩(wěn)定性，可先將力學(xué)系統(tǒng)化為梯度系統(tǒng)。

下面，研究非自治Birkhoff系統(tǒng)和非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的梯度表示。

2 非自治Birkhoff系統(tǒng)的梯度表示

Birkhoff系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為[10]

小學(xué)生天性活潑、好玩，如果在練習(xí)聽(tīng)力的過(guò)程中，讓他們進(jìn)行簡(jiǎn)單、單一的練習(xí)，他們肯定會(huì)覺(jué)得很枯燥，進(jìn)而產(chǎn)生討厭聽(tīng)力的學(xué)習(xí)，甚至對(duì)英語(yǔ)學(xué)習(xí)失去興趣。皮亞杰說(shuō)過(guò)：“所有智力方面的工作都要依賴于興趣?！笨梢哉f(shuō)，要想真正提高學(xué)生聽(tīng)力技能，培養(yǎng)興趣是非常重要的。所以，為了讓學(xué)生進(jìn)行有趣的聽(tīng)力練習(xí)，教師在聽(tīng)力教學(xué)中要開(kāi)展靈活多樣的聽(tīng)力活動(dòng)。

其中B=B（t，a）為Birkhoff函數(shù)，Rμ=Rμ（t，a）為Birkhoff函數(shù)組。如果Birkhoff函數(shù)B和Birkhoff函數(shù)組Rμ都顯含時(shí)間t，則稱為非自治的[10]。

假設(shè)系統(tǒng)非奇異，則方程（2）可表為

一般而言，非自治Birkhoff系統(tǒng)不是一個(gè)梯度系統(tǒng)。

如果滿足條件

以及

則方程（3）是一個(gè)梯度系統(tǒng)。此時(shí)，可找到勢(shì)函數(shù)V=V（a），使得

例1某二階Birkhoff系統(tǒng)的Birkhoff函數(shù)和Birkhoff函數(shù)組為

這是一個(gè)非自治Birkhoff系統(tǒng)。

由式（7）得

方程（3）給出

容易驗(yàn)證，條件（4）和（5）滿足。因此，系統(tǒng)（7）是一個(gè)梯度系統(tǒng)，其勢(shì)函數(shù)為

顯然，V相對(duì)于變量a1是負(fù)定的，相對(duì)于變量a2是正定的。將式（10）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并考慮到方程（9），有

3 非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的梯度表示

廣義Birkhoff系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為[11]

如果Birkhoff函數(shù)B，Birkhoff函數(shù)組Rμ以及附加項(xiàng)Λμ都顯含時(shí)間t，則稱為非自治的。

假設(shè)系統(tǒng)非奇異，則方程（12）可表為

一般而言，非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)也不是一個(gè)梯度系統(tǒng)。

如果滿足條件

以及

則方程（13）是一個(gè)梯度系統(tǒng)。此時(shí)，可找到勢(shì)函數(shù)V=V（a），使得

例2二階廣義Birkhoff系統(tǒng)的Birkhoff函數(shù)和Birkhoff函數(shù)組為

附加項(xiàng)為

這是一個(gè)非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)。

由式（17）得

方程（13）給出

容易驗(yàn)證，條件（14）和（15）滿足。系統(tǒng)（17）和（18）是一個(gè)梯度系統(tǒng)，由式（16）求得勢(shì)函數(shù)為

求導(dǎo)得

由Lyapunov定理可知，零解a1＝a2＝0是漸近穩(wěn)定的。

4 結(jié)語(yǔ)

Birkhoff系統(tǒng)和廣義Birkhoff系統(tǒng)在一定條件下可化為梯度系統(tǒng)，這樣便可利用梯度系統(tǒng)的性質(zhì)來(lái)研究Birkhoff系統(tǒng)的積分和穩(wěn)定性問(wèn)題。以往的研究限于自治情形。文中討論了一類非自治Birkhoff系統(tǒng)和非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的梯度表示，算例也表明了結(jié)果的有效性。

[1]Hirsch M W，Smale S，Devaney R L.Differential Equations，Dynamical Systems and An Introduction to Chaos[M].Singapore：Elsevier，2008.

[2]梅鳳翔.關(guān)于梯度系統(tǒng)[J].力學(xué)與實(shí)踐，2012，34（1）：89-90.

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[4]樓智美，梅鳳翔.力學(xué)系統(tǒng)的二階梯度表示[J].物理學(xué)報(bào)，2012，61（2）：024502.

[5]梅鳳翔，李彥敏.弱非完整系統(tǒng)的梯度表示和分?jǐn)?shù)維梯度表示[J].商丘師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，27（9）：1-3.

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[10]梅鳳翔，史榮昌，張永發(fā)，等.Birkhoff系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，1996.

[11]梅鳳翔.廣義Birkhoff系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2013.

A gradient representation for a type of non-autonomous Birkhoffian systems

ZHANG Yi
（School of Civil Engineering，SUST，Suzhou 215011，China）

A gradient representation for a type of non-autonomous Birkhoffian systems is studied.The conditions under which the non-autonomous Birkhoffian system or the non-autonomous generalized Birkhoffian system can be considered as a gradient system are obtained.Two examples are given to illustrate the application of the results.

non-autonomous Birkhoffian system；gradient system；potential function；stability

O316

A

1672－0687（2015）04－0001－03

責(zé)任編輯：謝金春

2015－06－29

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10972151；11272227）

張毅（1964-），男，江蘇吳江人，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：分析力學(xué)，力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法。