張婷　(長江大學(xué)物理與光電工程學(xué)院，湖北 荊州 434023)

鄭春艷，徐大海，程慶華

[引著格式]張婷，鄭春艷，徐大海，等.液晶光柵光場逆衍射計算研究[J].長江大學(xué)學(xué)報(自科版)，2015,12(28)：10~15.

液晶光柵光場逆衍射計算研究

張婷(長江大學(xué)物理與光電工程學(xué)院，湖北 荊州 434023)

[摘要]液晶光柵加電后形成的相位輪廓是二元臺階形狀。為測試液晶光柵的相位輪廓以保證液晶光柵的工作性能,采用閃耀級次(+1級)的近場衍射光場逆衍射計算方法并運(yùn)用Matlab仿真來反演出液晶光柵的相位輪廓,提出了基于菲涅爾逆衍射的反演液晶光柵相位輪廓方法。衍射光場逆衍射反演得到的相位輪廓與模擬實(shí)際應(yīng)用中的二元光柵相位輪廓的差值均方差精度驗(yàn)證了液晶光柵衍射光場逆衍射計算方法切實(shí)可行、準(zhǔn)確。該方法不僅可以用來測試液晶光柵的相位輪廓,在液晶光柵工作性能下降時,也可作為分析、調(diào)試液晶光柵相位輪廓的一個非常有用的工具。

[關(guān)鍵詞]液晶光柵;衍射光場;相位輪廓;逆衍射

液晶[1]在某個溫度范圍內(nèi)是一種介于液體和晶體2種狀態(tài)之間的物質(zhì)，一般分子形狀呈長棒形，具有光學(xué)各向異性和介電各向異性。在電場作用下，液晶光學(xué)各向異性和介電各向異性會發(fā)生變化，從而引起液晶折射率的變化。液晶光柵[2～4]就是利用了液晶折射率變化等光學(xué)特性周期變化產(chǎn)生相位差及偏轉(zhuǎn)特性變化的器件。液晶光柵的電光效應(yīng)是各種液晶光學(xué)器件工作機(jī)制的物理基礎(chǔ)，在光開關(guān)[5]、投影顯示、光學(xué)處理、衍射光學(xué)[6]等許多方面具有潛在的應(yīng)用性。理想情況下，液晶光柵相控陣加電后形成的相位輪廓為二元臺階形，但是在實(shí)際應(yīng)用中很難得到理想的臺階形狀，各種因素的影響會使得相位輪廓偏離理想面型。液晶光柵相位輪廓誤差會對器件性能產(chǎn)生影響，包括光強(qiáng)分布、波前分布、光束指向等。為保證液晶光柵的工作性能，測試液晶光柵相位輪廓很有必要。

目前，國內(nèi)對液晶光柵相位輪廓的研究還比較少。筆者研究的液晶光柵是用二元光柵來模擬鋸齒形的閃耀光柵[7，8]，而二元光柵是在一個周期內(nèi)的相位分布形狀為臺階形。在二元光學(xué)理論[9]的基礎(chǔ)上，各級衍射光都攜帶有全部的相位誤差信息，利用閃耀級次(+1級)液晶光柵近場衍射光場即可反演出液晶光柵的相位輪廓[10，11]。

1逆衍射計算原理

單位平面波正入射時，液晶光柵的衍射過程可以看作是傳播方向垂直于液晶光柵前表面的平面波入射到一塊相位起伏為誤差相位(與理想臺階相位比)的相位屏上再向前傳播的過程。由于各級衍射光都攜帶有全部的相位誤差信息，測出某一個衍射級次的近場光場就可反演出液晶光柵后表面處的光場分布，這為測試液晶光柵相位輪廓提出了理論依據(jù)。理論上，用哪一級次的衍射光場都是可以的，0級光沒有偏轉(zhuǎn)便于計算，但光強(qiáng)與閃耀級次(+1級)的光強(qiáng)相比要弱，測出+1級閃耀光場的分布就可以判斷偏轉(zhuǎn)光的光束質(zhì)量，所以用+1級閃耀光來進(jìn)行反演可以同時知道器件相位輪廓和偏轉(zhuǎn)光的相位分布情況。

單位平面波正入射時透射光場分布為：

U0(x0,y0,0)=exp(iφt)exp(iφr)

(1)

式中，φr為相位誤差分布函數(shù)。

在標(biāo)量衍射理論研究領(lǐng)域，沿著光波傳播方向的衍射逆向運(yùn)算有多種方法求解，主要有角譜反演、傅里葉逆變換、反卷積和菲涅爾逆衍射積分[4.5]4種，筆者用菲涅爾逆衍射積分來反演源光場。

2菲涅爾逆衍射積分

在激光應(yīng)用研究中，衍射的逆運(yùn)算是一件十分重要并且困難的工作。在實(shí)時全息定量測量物體表面的微形變、光學(xué)干涉計量以及設(shè)計二元光學(xué)[5]等實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域，就涉及到衍射的逆運(yùn)算。

液晶光柵相位輪廓測試有2種方法：一種是直接測試出平面波透過液晶光柵后的衍射光場的方法[12～15]。由于光束一離開液晶光柵后表面就開始擴(kuò)散，測得的衍射光場不能準(zhǔn)確的恢復(fù)液晶光柵的相位輪廓。另一種方法是反演法。通過對菲涅爾衍射積分的研究可以發(fā)現(xiàn)，作適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變換便能建立逆運(yùn)算表達(dá)式。按照標(biāo)量衍射理論，菲涅爾衍射積分表述如下：

(2)

式中，U0(x0,y0)為平面X0Y0上的光波場；U(x,y)是經(jīng)過距離zd的衍射后，觀測平面XY上的光波場。

對式(2)兩邊作傅里葉變換[16,17]并利用空域卷積定律得：

(3)

式中， fx、fy是空間坐標(biāo)x、y的頻域坐標(biāo)。于是物平面X0Y0上光波場的傅里葉變換表示為：

(4)

將式(4)兩邊作傅里葉變換即得到與式(2)形式十分對稱的逆運(yùn)算表達(dá)式：

(5)

3液晶光柵相位輪廓測試分析

理想情況下，液晶光柵的相位輪廓為二元臺階形。實(shí)際應(yīng)用中，由于各種因素使得液晶光柵相位輪廓偏離理想二元臺階形，因此可以在理想二元臺階形疊加高斯隨機(jī)相位干擾誤差(誤差為0.1、0.3、0.5π/rad)來模擬仿真實(shí)際應(yīng)用中的液晶光柵相位分布。為了研究方便，筆者只對一維情況進(jìn)行仿真。

8臺階光柵在柵指寬度為5μm及不同干擾誤差(誤差為0.1、0.3、0.5π/rad)的情況下， Matlab仿真模擬實(shí)際應(yīng)用中的一維二元光柵相位分布圖如圖1所示。

為考查逆衍射計算能真實(shí)的反演出液晶光柵的相位輪廓，需要仿真得到+1級近場衍射光場分布。入射口徑為10mm波長為0.6328μm的單位平面波正入射到上面仿真條件下的液晶光柵，模擬8臺階柵指寬度5μm光柵，傳播距離為1.5m，衍射場尺寸為20mm時的+1級衍射光場分布，如圖2所示。

圖1　8臺階光柵相位分布圖

將以上仿真得到的衍射光場進(jìn)行逆衍射計算，并利用Matlab仿真。

3.1　8臺階光柵相位輪廓反演結(jié)果

對8臺階(柵指寬度為5μm)光柵加入誤差頻率變化的高斯隨機(jī)干擾誤差(誤差為0.1、0.3、0.5π/rad)，在入射口徑10mm波長0.6328μm的單位平面波時進(jìn)行反演仿真。衍射場尺寸設(shè)為20mm，則傳播距離為 1.5m時，此時各級光束已完全分開。

圖3是衍射光場尺寸為20mm，高斯相位干擾誤差每隔10μm變化，加入高斯隨機(jī)干擾誤差(誤差分別為0.1、0.3、0.5π/rad)進(jìn)行反演計算的相位展開結(jié)果(截取放大圖)?？梢钥闯?，隨著加入的高斯隨機(jī)干擾誤差越大，反演的光柵相位輪廓會逐漸發(fā)生起伏，高斯隨機(jī)干擾誤差越小，反演結(jié)果也就更為精確。用加入高斯隨機(jī)干擾誤差反演的光柵相位輪廓可以比較準(zhǔn)確方便的反映實(shí)際應(yīng)用中光柵的相位輪廓。

圖2　8臺階光柵衍射場光強(qiáng)分布

圖3　8臺階光柵相位反演結(jié)果

表1　衍射光場尺寸為20mm相位反演結(jié)果比較(8臺階)

表1所示為不同條件下(高斯相位干擾誤差每隔10、20、40μm變化，衍射光場尺寸為20mm)衍射光場逆衍射反演得到的8臺階光柵相位輪廓與對應(yīng)條件下模擬實(shí)際應(yīng)用中二元光柵相位輪廓的差值的均方差。從表1中可以看出，加入高斯隨機(jī)干擾誤差為0.1π/rad時，均方差較小，說明反演得到的8臺階光柵相位輪廓的效果很好；且誤差變化頻率越小，反演效果越好；隨著加入的高斯隨機(jī)干擾誤差變大，反演出的光柵相位輪廓均方差變大。

表2所示為在高斯相位干擾誤差每隔10μm變化、衍射光場尺寸為30mm的情況下，衍射光場逆衍射反演得到的8臺階光柵相位輪廓與對應(yīng)條件下模擬實(shí)際應(yīng)用中的二元光柵相位輪廓的差值的均方差。

比較表1和表2可以觀察到，在衍射距離、高斯相位干擾誤差變化頻率相同的情況下，衍射光場尺寸越大，反演出的光柵相位輪廓誤差越小，反演效果越好。

表2　衍射光場尺寸為30mm相位反演結(jié)果比較(8臺階)

表3　衍射光場尺寸為20mm相位反演結(jié)果比較(4臺階)

3.2　4臺階光柵相位輪廓反演結(jié)果

對4臺階(柵指寬度為5μm)且加入高斯隨機(jī)干擾誤差(誤差分別為0.1、0.3、0.5π/rad)的光柵，在入射口徑10mm波長 0.6328μm的單位平面波時進(jìn)行反演仿真。由于4臺階光柵光束偏轉(zhuǎn)角度大，傳播距離為1m時，各級光束已完全分開。

仿真得到在高斯相位干擾誤差每隔10μm變化、衍射光場尺寸為20mm的情況下，衍射光場逆衍射反演得到的4臺階光柵相位輪廓與對應(yīng)條件下模擬實(shí)際應(yīng)用中的二元光柵相位輪廓的差值的均方差。對表1和表3進(jìn)行分析可知，用逆衍射計算的方法都能反演出光柵的相位輪廓。但在衍射光場尺寸、高斯相位干擾誤差變化頻率相同時，4臺階光柵相位輪廓反演效果要好于8臺階光柵。

4結(jié)語

基于菲涅爾逆衍射反演液晶光柵相位輪廓，通過由衍射光場逆衍射反演得到的相位輪廓與模擬實(shí)際應(yīng)用中的二元光柵相位輪廓的差值的均方差精度驗(yàn)證了液晶光柵衍射光場逆衍射計算方法切實(shí)可行、準(zhǔn)確。該方法不僅可以用來測試液晶光柵的相位輪廓，在液晶光柵工作性能下降時，可以作為分析、調(diào)試液晶光柵相位輪廓的一個非常有用的工具。

[參考文獻(xiàn)]

[1]Mcmanamon P F. Laser radar development[J]. Proceedings of SPIE，1998，3380：50～57.

[2] Wang L，Lu Y X，Huang Z Q，et al. Influence of marginal effect of electric field on properties of Liquid crystal grating [J]. Chinese Journal of Liquid Crystals and Displays，2007，22(1)：61～64.

[3] Gull，Chen X N，Jing W. Fringing-field minimization in liquid-crystal-based high-resolution switchable grating [J]. Applied Physics Letters，2005，87(20)：201106.

[4] Michinori H，Toshiski N. Liquid-crystal blazed grating with azimuthally distributed liquid-crystal directors [J].Applied Optics，2004，43(27)：5193～5197.

[5]Andy Y G，Tsai M S，Huanget L J，et al. Optically switchable gratings based on polymer-dispersed liquid crystal films doped with a guest-host dye [J]. Appl Phys Lett，1999，74(18)：2572～2574.

[6] Zhan He，To shiaki Nose，Susμmu Sato. Diffraction and polarization properties of a liquid crystal grating [J]. Jpn J Appl Phys，1996，35(6A)：3529～3530.

[7] 金國藩，嚴(yán)瑛白，鄔敏賢. 二元光學(xué)[M]. 北京：國防工業(yè)出版社，2006.

[8] 張翠玉，黃子強(qiáng).二元光學(xué)液晶閃耀光柵的特性分析[J].光學(xué)學(xué)報，2008，28(7)：1231～1235.

[9] Max Born，Emil Wolf. Principles of Optics：Electromagnetic Theory of Propagation，Interference and Diffraction of Light [M]. 7thed.Cambridge：Cambridge University Press，1999.

[10] 李俊昌.激光的衍射及熱作用計算[M].北京：科學(xué)出版社，2002:157～160.

[11] 李俊昌.菲涅爾衍射變換及其在二元光學(xué)設(shè)計中的應(yīng)用[J].昆明理工大學(xué)學(xué)報，2009，29(4)：221～225.

[12] Gerchberg R W，Saxton W O. Phase determination for image diffraction plane pictures in the electron microscope[J]. Optik，1971(34)：275～284.

[13] Gerchberg R W，Saxton W O. A practical algorithm for the determination of phase from image and diffraction plane pictures[J]. Optic，1972(35)：227～246.

[14] Fienup J R. Phase retrieval algorithm：a comparison[J]. Appl Opt，1982(21)：2758～2769.

[15] Lauren B. Nμmerical phase retrieval from intensity measurements in three planes[J]. Proceedings of SPIE，2003，4932：590～598.

[16] 秦克誠.傅里葉光學(xué)導(dǎo)論 [M]. 第3版.北京：電子工業(yè)出版社，2006：50～51.

[17] 呂乃光.傅里葉光學(xué)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2007：87.

[編輯]辛長靜

[中圖分類號]O436.1

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[文章編號]1673-1409(2015)28-0010-06

[通信作者]鄭春艷(1975-)，女，博士，講師，現(xiàn)主要從事激光檢測技術(shù)方面的教學(xué)與研究工作；E-mail：cyzheng@yangtzeu.edu.cn。

[作者簡介]張婷(1990-)，女，碩士生，現(xiàn)主要從事激光檢測技術(shù)方面的研究工作。

[基金項目]國家自然科學(xué)基金項目(61308104);湖北省高等學(xué)校優(yōu)秀中青年科技創(chuàng)新團(tuán)隊計劃項目(201204)。

[收稿日期]2015-06-29