史千里　(長江大學(xué)文理學(xué)院，湖北 荊州 434020)

曾祥洲　(江陵縣第一高級中學(xué)，湖北 江陵 434100)

二元函數(shù)積分求導(dǎo)換序性質(zhì)研究

史千里(長江大學(xué)文理學(xué)院，湖北 荊州 434020)

曾祥洲(江陵縣第一高級中學(xué)，湖北 江陵 434100)

[摘要]二元函數(shù)f(x,y)先對一變量求定積分、后對另一變量求導(dǎo)(或先對一變量求不定積分、后對另一變量求導(dǎo))的問題,一部分換序后計算大為簡化,一部分若不換序則不能計算。給出了二元函數(shù)先求定積分、后求導(dǎo)(或先不定積分、后求導(dǎo))換序的性質(zhì)。先對一變量求定積分,后對另一變量求導(dǎo)換序的情形,所給充分條件是只需ddy∫baf(x,y)dx和∫ba??yf(x,y)dx均對y連續(xù),較相關(guān)文獻所給出的充分條件更弱。

[關(guān)鍵詞]二元函數(shù);積分;求導(dǎo);換序

1先定積分后求導(dǎo)換序的一個充分條件

證明

即：

也即：

例。

分析若按原順序求導(dǎo)、后積分，則計算非常繁瑣，依據(jù)定理1換序后計算較簡便：

2先不定積分后求導(dǎo)換序的性質(zhì)

證明因：

所以：

證明由引理1和定理1可得：

分析若按照F(x,y)的原來順序先不定積分、后求導(dǎo)，則計算無法進行,依據(jù)定理2換序后卻可以計算。

依據(jù)定理2，有：

所以：

故：

3結(jié)語

[參考文獻]

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].第3版.北京：高等教育出版社,2001：204, 221.

[2]童麗娟.導(dǎo)數(shù)與積分運算符號可交換性研究[J].長沙民政職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2011，18(4)：106~107.

[編輯]洪云飛

[引著格式]史千里，曾祥洲.二元函數(shù)積分求導(dǎo)換序性質(zhì)研究[J].長江大學(xué)學(xué)報(自科版)，2015,12(28)：8~9，15.

[中圖分類號]O171.2

[文獻標(biāo)志碼]A

[文章編號]1673-1409(2015)28-0008-02

[作者簡介]史千里(1963-)，男，副教授，現(xiàn)主要從事數(shù)論和高等數(shù)學(xué)方面的教學(xué)與研究工作；E-mail: bamsky@126.com。

[基金項目]湖北省教育廳科研技術(shù)項目(B2014281)。

[收稿日期]2015-06-28